Sequências Numéricas, Notas de estudo de Matemática

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ExercÌcios Complementares 1.

1.2A DÍ exemplo de uma seq¸Íncia fang ; n„o constante, para ilustrar cada situaÁ„o abaixo: (a) limitada e crescente (b) limitada e decrescente (c) limitada e n„o monÛtona (d) n„o limitada e n„o crescente (e) n„o limitada e n„o monÛtona (f) monÛtona e n„o limitada. 1.2B Em cada caso abaixo, encontre os quatro primeiros termos da seq¸Íncia: (a) an = (^2) n 1 1 (b) bn = pn + 1 pn (c) cn = (1)n^ n:

1.2C Esboce o gr·Öco da seq¸Íncia de termo geral an = (^) n n+ 1 e veriÖque quantos pontos da

forma (n; an) est„o fora da faixa horizontal determinada pelas retas y = 4= 5 e y = 6= 5 :

1.2D DÍ exemplo de uma seq¸Íncia limitada e n„o monÛtona que possui uma subseq¸Íncia crescente.

1.2E Expresse pelo seu termo geral cada seq¸Íncia dada abaixo: (a) 1 ; 1 = 2 ; 1 = 3 ; 1 = 4 ; : : : (b) 1 = 2 ; 1 = 4 ; 1 = 8 ; 1 = 16 ; : : : (c) 1 ; 0 ; 1 ; 0 ; 1 ; : : : (d) 0 ; 2 ; 0 ; 2 ; 0 ; 2 ; 0 ; : : : (e) 1 ; 9 ; 25 ; 49 ; 81 ; : : : (f) 0 ; 3 ; 2 ; 5 ; 4 ; : : : (g) 2 ; 1 ; 3 = 2 ; 1 ; 4 = 3 ; 1 ; : : : (h) 0 ; 3 = 2 ; 2 = 3 ; 5 = 4 ; 4 = 5 ; : : : (i) 1 ; 3 = 2 ; 2 ; 5 = 2 ; 3 ; : : : (j) 4 ; 2 ; 4 ; 2 ; : : : (k) 1 = 2 ; 1 = 4 ; 1 = 6 ; 1 = 8 ; : : : (l) 1 ; 10 ; 2 ; 102 ; 3 ; 103 ; : : :

1.2F ClassiÖque as seq¸Íncias do ExercÌcio 1.2E quanto ‡ limitaÁ„o e monotonia e selecione de (e), (f) e (l) uma subseq¸Íncia crescente. Qual daquelas seq¸Íncias possui um subseq¸Íncia constante? Recorde-se que: (i) toda seq¸Íncia È uma subseq¸Íncia dela prÛpria e (ii) uma seq¸Íncia possui uma subseq¸Íncia constante quando essa constante se repetir uma inÖnidade de vÍzes!

1.2G Considere as funÁıes f (x) = cos x, g (x) = sen x e h (x) = (1 + x)^1. Encontre ex- pressıes para as derivadas de ordem n dessas funÁıes, no ponto x = 0.

S…RIES E EQUA«’ES DIFERENCIAIS MPMATOS 3

(k) toda seq¸Íncia decrescente limitada È convergente e seu limite È zero; (l) se uma seq¸Íncia fang diverge, ent„o fjanjg tambÈm diverge; (m) se a seq¸Íncia fjanjg converge ent„o fang tambÈm converge; (n) se a seq¸Íncia fjanjg converge para zero, ent„o fang tambÈm converge para zero; (o) se an  bn; 8 n; fang crescente e fbng convergente, ent„o fang converge; (p) se fang È convergente, ent„o f(1)n^ ang tambÈm converge; (q) a seq¸Íncia fang deÖnida por a 1 = 1 e an+1 = (^) nna + 1n È convergente; (r) a seq¸Íncia fang deÖnida por a 1 = 1 e an+1 = 1 an È convergente; (s) se an 6 = 0; 8 n; e (^) nlim!1^ an a+1n = l < 1 , ent„o (^) nlim!1 an = 0:

1.4B DÍ exemplo de duas seq¸Íncias fang e fbng tais que (^) nlim!1 an = 0 e fanbng seja divergente.

Por que isso n„o contradiz o CritÈrio 1.3.9?

1.4C Usando a deÖniÁ„o de limite, prove que: (a) (^) nlim!1 2 n^ n 1 =^12 (b) (^) nlim!1^ sen^

n (^5) + n
n = 0^ (c)^ nlim!

3 n^2 + 1 n^2 = 3 (d) (^) nlim!1 2 + 3^ 5 +^ nn =^13 (e) (^) nlim!12 + 3^5 n = 0 (f) (^) nlim!

2 +^1 n

1.4D Calcule o limite das seguintes seq¸Íncias: (a) n n^ + 1^1 (b) n sen

n

(c) lne^ nn (d) 4 n

(^2) 3 n n^2 + 5n 6 (e)^

n^2 n + 1 ^

n^2 n + 2 (f)

1 + (^31) n

n (g)

pn! + e 2 n 5 p n! en^ (h)^

n en^ (i)^

3 npn + 1 7 2 npn (j)

1 + n^2

n

(k) n n^1 (l) (^3) n^1 +1 +

n 3 (m) 2

n en^ (n)^

pnn (^2) + n (o) pn + 1 pn

(p) pna ; a > 0 (q) 3

n (^) + (2)n 3 n+1^ + (2)n+1^ (r)^

n! 3 n+1^ (s)^

(n + 1)n nn+1^ (t)

p (^3) n (^2) sen n 2
n + 2

1.4E Em cada caso veriÖque se a seq¸Íncia È convergente ou divergente:

4 SEQ‹ NCIAS NUM…RICAS CAP. 1

(a) pn^2 + 1 pn (b) 2

n n! (c)^ p^1 n^2 + 1 pn (d)^

2 n 1 + 2n (e) n

2 2 n 1 ^

n^2 2 n + 1 (f)^

(1)n n (g)^

1
3
5
:::
(2n 1) n!2n^ (h)^

n 2 n^ +

(1)n n (i) n

n n! (j)^

n 2 n^ (k)^

n! 1
3
5
:::
(2n 1) (l)^

n^2 ln (n + 1) (m) ln (en^ 1) n (n) 1 + (1)n^ (o) p^8 n^2 + 1 p^4 n + 1 (p) sen (n=2) 1.4F Prove que (^) nlim!1 (3n^ + 4n)^1 =n^ = 4. Se a; b  0 ; mostre que (^) nlim!1 (an^ + bn)^1 =n^ = max fa; bg :

1.4G Se jrj < 1 , use o CritÈrio da Raz„o 1.3.17 para mostrar que (^) nlim!1 nrn^ = 0: Se r > 1 , mostre que (^) nlim!1 rn^ = 1 : E se r < 1?

1.4H Mostre que 1 + r + r^2 +


+ rn^1
^ (1 r) = 1 rn. Se jrj < 1 ; use essa relaÁ„o e deduza que

n^ lim!1^ 1 +^ r^ +^


^ +^ rn^1
^ =^1 ^1 r :

Agora, identiÖque a seq¸Íncia p 2 ;

p 2 p 2 ;

q 2

p 2 p 2 ; : : : com aquela de termo geral an = 2 12 +^14 +


+^21 n e calcule seu limite.

1.4I Seja fbng uma seq¸Íncia convergente, com bn 6 = 0; 8 n; e (^) nlim!1 bn 6 = 0: A partir da deÖniÁ„o de limite, mostre que a sequÍncia f 1 =bng È limitada. Isto foi usado na demonstraÁ„o da Propriedade 1.3.7(e).

1.4J Mostre que (^) nlim!

h sen( 2  2 )
sen( 3  2 )
sen( 4  2 )
: : :
sen( (^) n 2 )

i = 0: (n„o use o produto de limites!)

1.4K Considere a seq¸Íncia cujos termos s„o deÖnidos pela recorrÍncia: a 1 = 5 e an+1 = pan: Estes termos podem ser gerados em uma calculadora, introduzindo-se o n˙mero 5 e pressionando-se a tecla px.

(a) Descreva o comportamento de fang quando n aumenta; (b) ConvenÁa-se de que an = 5^1 =^2 n e calcule (^) nlim!1 an:

1.4L Em uma calculadora uma seq¸Íncia È gerada introduzindo-se um n˙mero e pressionando- se a tecla 1 =x. Em que condiÁıes a seq¸Íncia tem limite?

6 SEQ‹ NCIAS NUM…RICAS CAP. 1

1.6D Represente por

n k

o coeÖciente binomial (^) k! (nn ! k)! , onde k e n s„o n˙meros inteiros

positivos e k  n: Mostre que:

(a)

 (^) n k 1

n k

n + 1 k

(b) (x + y)n^ = Pn k=

n k

xkynk^.

1.6E Demonstre a seguinte regra de Leibniz para derivaÁ„o:

f g^ =

X^ n k=

n k

f (nk)g(k):

1.6F Seja r  0 um n˙mero real. Mostre que (1 + r)n^  1 + nr + n^ (n^2 1)r^2 e deduza a

partir daÌ a desigualdade de Bernoulli: (1 + r)n^  1 + nr:

1.6G Se r È um n˙mero real 6 = 1, mostre que 1 + r + r^2 + ::: + rn^1 =^1 ^ r

n 1 r :^ De forma mais geral, vocÍ pode demonstrar que se x e y s„o n˙meros reais, ent„o:

xn^ yn^ = (x y) xn^1 + xn^2 y +


+ xyn^2 + yn^1
^ ; n 2 N:

1.6H Mostre que 1
2 3
^
4 5
^
6 : : :
: : :^
^ (2
n(2^ n)^ 1)  (^21) n ; 8 n 2 N: 1.6I Mostre que (^) xlim!1 (ln^ x x)n = 1 ; 8 n = 0; 1 ; 2 ; 3 ; : : :

1.6J Uma seq¸Íncia fbng È deÖnida por: b 1 = 1 e bn = (1^ ^ n n) 2 bn^1 ; n  2 : Use o MÈtodo

de InduÁ„o Finita e prove que bn = (1)

n n!n : 1.6K Considere a seq¸Íncia de Fibonacci: a 1 = 1; a 2 = 1 e an = an 1 + an 2 ; para n  3. Mostre que

an = (^2) n^1 p 5

h 1 + p 5

n

p 5

ni :

1.6L Considere a seq¸Íncia an = (^) (n + 1)!n e mostre por induÁ„o que

a 1 + a 2 + a 3 + : : : + an = 1 (^) (n + 1)!^1 :

S…RIES E EQUA«’ES DIFERENCIAIS MPMATOS 7

1.6M Em cada caso abaixo, encontre o primeiro inteiro positivo n 0 para o qual a sentenÁa È verdadeira e, usando a extens„o do MÈtodo de InduÁ„o, prove que a sentenÁa matem·tica È verdadeira para qualquer n˙mero inteiro maior do que n 0 :

(a) 10 n^  nn^ (b) n^2 + 18  n^3 (c) 5 + log 2 n  n (d) 2 n + 2  2 n (e) 2 n^  n! (f) n + 12  n^2 (g) n log 2 n + 9  n^2 (h) n^2  2 n:

S…RIES E EQUA«’ES DIFERENCIAIS MPMATOS 9

1.4B Considerando as seq¸Íncias an = 1=n e bn = n^2 ; ent„o a seq¸Íncia anbn = n È divergente com limite 1. Nesse caso, a seq¸Íncia bn n„o È limitada, como exige o Teorema 1.2.9.

1.4D (a) 1 (b)  (c) 0 (d) 4 (e) 1 (f) p^3 e (g) 1/5 (h) 0 (i) 3 = 2 (j) e^2 (k) 1 (l) 0 (m) 0 (n) 1 (o) 0 (p) 1 (q) 1/3 (r) 1 (s) 0 (t) 0

1.4E (a) D (b) C (c) C (d) C (e) C (f) C (g) C (h) C (i) D (j) C (k) C (l) D (m) C (n) C (o) D

1.4H Para comprovar a relaÁ„o 1 + r + r +


+ rn^1
^ (1 r) = 1 rn^ È suÖciente distribuir o produto do lado esquerdo. Se jrj < 1 , ent„o rn^! 0 e, sendo assim, lim r + r^2 +


+ rn
^ = r 1 r. Para^ r^ = 1=^2 , obtemos^ lim^

2 +^14 +^18 +^


^ +^21 n

(^) = 1 e, conseq¸entemente, lim a n = 2: 1.4L A seq¸Íncia convergir· se o n˙mero r introduzido na calculadora for igual a  1 : 1.4M Usando a deÖniÁ„o de derivada, È f·cil deduzir que (^) nlim!1 nf 0 (1=n) = f 0 (0) : Para f (x) =

arctg x; temos f 0 (x) = (^) 1 +^1 x 2 e daÌ f 0 (0) = 1: Assim, (^) nlim!1 n arctg(1=n) = 1:

1.4N A funÁ„o f (x) = exp 1 =x^2
, para x 6 = 0 e f (0) = 0 atende ‡s condiÁıes exigidas e lim an = 1:

1.4P Temos que An+1 = 0: 9 An + 0: 05 Cn; Bn+1 = 0: 1 An + 0: 8 Bn e Cn+1 = 0: 95 Cn + 0: 2 Bn. Denotando, respectivamente, por A; B e C os limites das seq¸Íncias fAng ; fBng e fCng, encon- tramos 10.000 na ilha A, 5.000 na ilha B e 20.000 na ilha C.