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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS
SÉRIES NUMÉRICAS
- Convergência absoluta e séries alternadas-
Trabalho apresentado à disciplina de Cálculo II, ministrada pelo Prof.º Felix Pedro Quispe Gomez, no Curso de Matemática Licenciatura da Universidade Federal de Santa Catarina.
FLORIANÓPOLIS
DEZEMBRO/
Sumário
- Introdução ................................................................................................. 03
- Séries Alternadas ...................................................................................... 04
- Convergência Absoluta ............................................................................ 09
- Referências ................................................................................................ 10
- Anexo ......................................................................................................... 11
Introdução Vários matemáticos contribuíram para o entendimento de seqüência e series. Dentre eles, destacam-se, Arquimedes (287-212 a.C.) que descobriu muitos dos elementos da análise moderna de seqüência e séries. Fibonacci (1170-1240) descobriu
, quando é negativo (2) sendo.
Um exemplo de série alternada do tipo (1) é:
E um exemplo de série alternada do tipo (2) é:
O n- ésimo termo de uma série alternada é dado por: ou onde é um número positivo. De fato,.
Teorema 1: Teste da série alternada/ Critério de Leibniz/ Teste de Leibniz: (Proposto por Leibniz em 1705) É um método para determinar a convergência e estimar o erro de truncamento de séries numéricas. Se a série alternada: ou , ( ) satisfizer: (i) , (ii) então a série alternada converge. Se a segunda condição do teorema não se verifica, podemos concluir, pelo critério do termo 1 , que a série é divergente.
Demonstração: Suponhamos que o primeiro termo da série alternada seja positivo. Com essa hipótese não há perda de generalidade, pois, se assim não for, descartamos o primeiro termo, o que não afeta a convergência da série. Assim, temos a série alternada. Considere a soma parcial
Como por hipótese , cada quantidade entre parênteses é positiva. Logo: (3) Podemos também escrever como:
1
Como , sendo então cada quantidade entre parênteses positiva temos que para todo n inteiro positivo. (4) De (3) e (4), para todo n inteiro positivo. Assim sendo, a sequência é limitada. Além disso, de (3), a sequência é crescente. Logo, pelo Teorema: Uma sequência monótona limitada é convergente; a sequência é convergente. Seja, e, do Teorema: Seja uma sequência crescente, e suponhamos que D seja um limitante superior da sequência. Então, será convergente e ;. Como ,. Mas, por hipótese, , logo. Assim sendo, a sequência das somas parciais dos termos de índice par e a sequência das somas parciais dos termos de índice ímpar têm o mesmo limite S. Vamos mostrar que Como , então para todo existe um inteiro tal que se então. E como , existe um inteiro tal que se 2n+1 ≥ , então. Se N for maior do que os dois inteiros e , segue que se n for qualquer inteiro, par ou ímpar, e se n ≥ N, então. Logo, e assim sendo, a série alternada é convergente.
Exemplo 1: Use o teste da série alternada para mostrar a convergência da seguinte série: Solução: Temos que e. Logo, as duas condições do teste da série alternada são satisfeitas, e então a série é convergente. Exemplo 2: Determine se a série é convergente ou divergente: Solução: Sendo a série dada uma série alternada, primeiro devemos verificar que ou, equivalentemente,.
Com a primeira condição satisfeita, iremos verificar se
Logo, a série dada é uma série alternada convergente.
Aproximando a soma de séries alternadas
Definição 2: Se uma série infinita for convergente e sua soma for S, então o resto obtido quando aproximamos a soma da série pela n-ésima soma parcial será denotado por e.
Ache um limitante superior para o erro cometido quando aproximamos o valor de ln(1, 1) pela soma dos três primeiros termos da série. Solução: Vamos usar a série dada com x = 0,1 para obter
Tal série satisfaz as condições do Teorema 2; assim, se R, for a diferença entre o valor de ln 1,1 e a soma dos três primeiros termos, então
Assim sendo, a soma dos três primeiros termos fornece um valor para ln 1,1 com precisão de até pelo menos quatro casas decimais. Usando os três primeiros termos, obtemos: ln 1,.
Convergência Absoluta Definição: Uma série é chamada absolutamente convergente se a série de valores absolutos for convergente.
Teorema 3: Se a série convergir, então a série também converge. Demonstração: Vamos escrever a série como (12) Estamos supondo que converge, logo se pudermos mostrar que converge, então irá seguir de (12) e do Teorema 1 do anexo que converge. Ocorre que o valor de é 0 ou 2 dependendo do sinal de. Assim, em todos os casos, é verdadeiro que. Mas, converge, uma vez que é uma constante vezes a série convergente. Logo, converge pelo teste da comparação.
Exemplo 4: Considere a série (13) Essa série será absolutamente convergente se a série
for convergente. Como se trata de uma série geométrica com , ela será convergente. Logo, a série (13) é absolutamente convergente.
Uma série que é convergente, mas não é absolutamente convergente é denominada condicionalmente convergente, mas não trataremos deste tópico neste trabalho.
Referências
Séries Alternadas, Convergência Absoluta e Condicional. Disponível em: <http:// www.sorocaba.unesp.br/professor/luiza/CDI-III/series5.pdf>. Acesso em: 29 nov. 2010
LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. 3 ed. São Paulo: HARBRA ltda,
HOWARD, A. Anton.; BIVENS, I .; DAVIS, Stephen. Cálculo – vol. 2}; 8 ed. 2005.
