O M´etodo Simplex para
Programa¸c˜ao Linear
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Metodologia utilizada em pesquisa operacional
Tipologia: Notas de estudo
2013
1 / 89
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O M´etodo Simplex para
Programa¸c˜ao Linear
Formas de Programas Lineares
O problema de Programa¸c˜ao Matem´atica con-
siste na determina¸c˜ao do valor de n vari´aveis
x
, x
,... , x
n
que tornam m´ınimo ou m´aximo o
valor da fun¸c˜ao
f (x
, x
,... , x
n
sujeito a m restri¸c˜oes
g
i
(x
, x
,... , x
n
) ≥ b
i
, i = 1, 2 ,... , m
podendo ainda ter-se
x
j
≥ 0 , j = 1, 2 ,... , n.
Coeficientes b
i
: termos independentes.
Viu-se que no entanto nem sempre um pro-
grama linear se apresenta na forma can´onica.
Seguidamente veremos como fazer a convers˜ao.
- Qualquer problema de maximiza¸c˜ao pode-
se converter num problema de minimiza¸c˜ao,
uma vez que
max
n
j=
c
j
x
j
= − min
n
j=
c
j
x
j
Ap´os a resolu¸c˜ao do novo problema, o valor
da fun¸c˜ao objectivo pretendido ´e o sim´etrico
do obtido.
- Qualquer inequa¸c˜ao do tipo ≤ ´e convert´ıvel
numa inequa¸c˜ao do tipo ≥, multiplicando
ambos os membros por −1:
a
i 1
x
+ a
i 2
x
+... + a
in
x
n
≤ b
i
m
−a
i 1
x
− a
i 2
x
−... − a
in
x
n
≥ −b
i
- Qualquer restri¸c˜ao de igualdade pode ser
convertida em duas inequa¸c˜oes:
a
i 1
x
+ a
i 2
x
+... + a
in
x
n
= b
i
m
a
i 1
x
+ a
i 2
x
+... + a
in
x
n
≤ b
i
a
i 1
x
+ a
i 2
x
+... + a
in
x
n
≥ b
i
- Qualquer vari´avel x
j
sem restri¸c˜ao de si-
nal pode ser substitu´ıda por x
j
− x
j
, com
x
j
, x
j
Resolu¸c˜ao gr´afica de Programas Lineares
Como exemplo, consideremos o programa li-
near
Minimize x
− 2 x
sujeito a x
+ x
x
− x
Graficamente,
x
− 2 x
x
− 2 x
solu¸c˜ao ´optima
Constata-se que a solu¸c˜ao ´optima ´e x
com valor para a fun¸c˜ao objectivo z = −2.
Solu¸c˜ao ´optima finita ´unica- Nas figuras se-
guintes esquematizamos em que situa¸c˜oes po-
demos ter solu¸c˜ao ´optima finita ´unica, que
ter´a que corresponder a um ponto extremo da
regi˜ao admiss´ıvel.
´optimo ´unico
(a)
(b)
O M´etodo Simplex
O M´etodo Simplex pesquisa a solu¸c˜ao ´optima
apenas entre as solu¸c˜oes b´asicas admiss´ıveis,
atrav´es de um processo iterativo efectuado de
modo que o valor da fun¸c˜ao objectivo decres¸ca
em cada itera¸c˜ao. Considere-se o programa
linear na sua forma normal:
Minimize c
T
x
sujeito a Ax = b
x ≥ 0
Podemos transformar a fun¸c˜ao objectivo z =
c
x
+ c
x
+... + c
n
x
n
numa restri¸c˜ao
c
x
+ c
x
+... + c
n
x
n
− z = 0
sendo ent˜ao poss´ıvel escrever o problema na
forma tabular seguinte:
x
x
... x
n
−z
a
a
... a
1 n
0 b
a
a
... a
2 n
0 b
a
m 1
a
m 2
... a
mn
0 b
m
c
c
... c
n
O algoritmo requer uma solu¸c˜ao b´asica ad-
miss´ıvel inicial. Supohamos que sem perda de
generalidade, tal solu¸c˜ao corresponde a J =
{ 1 ,... , m}. Usando Elimina¸c˜ao de Gauss-Jordan
´e poss´ıvel obter o seguinte quadro:
x
x
... x
m
x
s
... x
n
−z
x
1 0... 0 a
1 s
... a
1 n
0 b
x
0 1... 0 a
2 s
... a
2 n
0 b
x
m
0 0... 1 a
ms
... a
mn
0 b
m
−z 0 0... 0 c
s
... c
n
1 −z
Assim, a solu¸c˜ao b´asica ´e dada por
x
i
= b
i
, i = 1,... , m e x
j
= 0, j = m+1,... , n
e o valor da fun¸c˜ao objectivo ´e z = z. Al´em
disso, b ≥ 0, por se tratar de uma solu¸c˜ao ad-
miss´ıvel.
Do quadro, tem-se
z = z + c
m+
x
m+
+... + c
s
x
s
+ c
n
x
n
Se a
is
≤ 0 para todo i = 1,... , m ent˜ao θ pode
aumentar indefinidamente e o problema ´e ili-
mitado.
Se pelo contr´ario existe um i ∈ { 1 ,... , m} tal
que a
is
> 0 ent˜ao θ tem que satisfazer `a condi¸c˜ao
b
i
a
is
, para todo i ∈ { 1 ,... , m} tal que a
is
Seja
b
r
a
rs
= min
b
i
a
is
: a
is
Se x
s
tomar o valor
b
r
a
rs
ent˜ao x
r
= 0 e passa a n˜ao b´asica por troca
com x
s
No quadro de elimina¸c˜ao troca-se x
s
com x
r
obtendo-se uma nova solu¸c˜ao b´asica admiss´ıvel,
`a qual est´a associado um valor da fun¸c˜ao ob-
jectivo dado por
z − c
s
b
r
a
rs
≤ z
O processo ´e novamente repetido at´e se atin-
gir uma solu¸c˜ao ´optima. Resumidamente, o
M´etodo Simplex ´e composto dos seguintes pas-
sos:
Fase 1 do M´etodo Simplex
Como se afirmou anteriormente, o m´etodo sim-
plex necessita de uma solu¸c˜ao b´asica admiss´ıvel
inicial. Em geral, tal solu¸c˜ao ´e dif´ıcil de obter,
pelo que vamos apresentar a chamada Fase
1 do m´etodo simplex, desenvolvida com esse
prop´osito.
Seja o programa linear
min c
T
x
s.a Ax = b
x ≥ 0
Seja J o conjunto das vari´aveis b´asicas associ-
adas a uma solu¸c˜ao b´asica do sistema Ax = b,
e
B = [A
.j
]
j∈J
Ent˜ao
Bx
J
+ N x
L
= b
com L = { 1 ,... , n} − J e N = [A
.j
]
j∈L
Como B ´e n˜ao singular,
x
J
+ B
N x
L
= B
b
Substituindo em z = c
T
x, vem
z = c
T
J
x
J
+ c
T
L
x
L
= c
T
J
B
b − B
N x
L
+ c
T
L
x
L
= c
T
J
B
b +
c
T
L
− c
T
J
B
N
x
L
A forma tabular associada a esta solu¸c˜ao ´e
ent˜ao
x
J
x
L
−z
x
J
I A
L
0 b
−z 0 c
L
1 −z
com
A
.j
= B
A
.j
c
j
= c
J
− c
T
J
A
.j
= c
J
T
A
.j
para j ∈ L e π tal que B
T
π = c
J
Para isso procura-se resolver o programa linear
min x
s.a −z + c
T
x = 0
Ax + (Bp)x
= b
x ≥ 0 , x
A seguir mostramos que ´e f´acil obter uma solu¸c˜ao
b´asica admiss´ıvel inicial para este programa li-
near. Sem perda de generalidade, suponha-
mos J = { 1 ,... , m} e construamos o quadro
na forma:
x
1
x
2
... x
m
x
m+
... x
n
x
0
−z
x
1
1 0... 0 a
1 ,m+
... a
1 n
p
1
0 b
1
x
2
0 1... 0 a
2 ,m+
... a
2 n
p
2
0 b
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x m
0 0... 1 a
m,m+
... a mn
p m
0 b m
−z 0 0... 0 c
m+
... c
n
0 1 −z