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simplex, Notas de estudo de Química

Metodologia utilizada em pesquisa operacional

Tipologia: Notas de estudo

2013

Compartilhado em 16/02/2013

fernando-castro-20
fernando-castro-20 🇧🇷

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O etodo Simplex para
Programa¸ao Linear
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Baixe simplex e outras Notas de estudo em PDF para Química, somente na Docsity!

O M´etodo Simplex para

Programa¸c˜ao Linear

Formas de Programas Lineares

O problema de Programa¸c˜ao Matem´atica con-

siste na determina¸c˜ao do valor de n vari´aveis

x

, x

,... , x

n

que tornam m´ınimo ou m´aximo o

valor da fun¸c˜ao

f (x

, x

,... , x

n

sujeito a m restri¸c˜oes

g

i

(x

, x

,... , x

n

) ≥ b

i

, i = 1, 2 ,... , m

podendo ainda ter-se

x

j

≥ 0 , j = 1, 2 ,... , n.

Coeficientes b

i

: termos independentes.

Viu-se que no entanto nem sempre um pro-

grama linear se apresenta na forma can´onica.

Seguidamente veremos como fazer a convers˜ao.

  • Qualquer problema de maximiza¸c˜ao pode-

se converter num problema de minimiza¸c˜ao,

uma vez que

max

n

j=

c

j

x

j

= − min

n

j=

c

j

x

j

Ap´os a resolu¸c˜ao do novo problema, o valor

da fun¸c˜ao objectivo pretendido ´e o sim´etrico

do obtido.

  • Qualquer inequa¸c˜ao do tipo ≤ ´e convert´ıvel

numa inequa¸c˜ao do tipo ≥, multiplicando

ambos os membros por −1:

a

i 1

x

+ a

i 2

x

+... + a

in

x

n

≤ b

i

m

−a

i 1

x

− a

i 2

x

−... − a

in

x

n

≥ −b

i

  • Qualquer restri¸c˜ao de igualdade pode ser

convertida em duas inequa¸c˜oes:

a

i 1

x

+ a

i 2

x

+... + a

in

x

n

= b

i

m

a

i 1

x

+ a

i 2

x

+... + a

in

x

n

≤ b

i

a

i 1

x

+ a

i 2

x

+... + a

in

x

n

≥ b

i

  • Qualquer vari´avel x

j

sem restri¸c˜ao de si-

nal pode ser substitu´ıda por x

j

− x

j

, com

x

j

, x

j

Resolu¸c˜ao gr´afica de Programas Lineares

Como exemplo, consideremos o programa li-

near

Minimize x

− 2 x

sujeito a x

+ x

x

− x

Graficamente,

x

− 2 x

x

− 2 x

solu¸c˜ao ´optima

Constata-se que a solu¸c˜ao ´optima ´e x

com valor para a fun¸c˜ao objectivo z = −2.

Solu¸c˜ao ´optima finita ´unica- Nas figuras se-

guintes esquematizamos em que situa¸c˜oes po-

demos ter solu¸c˜ao ´optima finita ´unica, que

ter´a que corresponder a um ponto extremo da

regi˜ao admiss´ıvel.

´optimo ´unico

(a)

(b)

O M´etodo Simplex

O M´etodo Simplex pesquisa a solu¸c˜ao ´optima

apenas entre as solu¸c˜oes b´asicas admiss´ıveis,

atrav´es de um processo iterativo efectuado de

modo que o valor da fun¸c˜ao objectivo decres¸ca

em cada itera¸c˜ao. Considere-se o programa

linear na sua forma normal:

Minimize c

T

x

sujeito a Ax = b

x ≥ 0

Podemos transformar a fun¸c˜ao objectivo z =

c

x

+ c

x

+... + c

n

x

n

numa restri¸c˜ao

c

x

+ c

x

+... + c

n

x

n

− z = 0

sendo ent˜ao poss´ıvel escrever o problema na

forma tabular seguinte:

x

x

... x

n

−z

a

a

... a

1 n

0 b

a

a

... a

2 n

0 b

a

m 1

a

m 2

... a

mn

0 b

m

c

c

... c

n

O algoritmo requer uma solu¸c˜ao b´asica ad-

miss´ıvel inicial. Supohamos que sem perda de

generalidade, tal solu¸c˜ao corresponde a J =

{ 1 ,... , m}. Usando Elimina¸c˜ao de Gauss-Jordan

´e poss´ıvel obter o seguinte quadro:

x

x

... x

m

x

s

... x

n

−z

x

1 0... 0 a

1 s

... a

1 n

0 b

x

0 1... 0 a

2 s

... a

2 n

0 b

x

m

0 0... 1 a

ms

... a

mn

0 b

m

−z 0 0... 0 c

s

... c

n

1 −z

Assim, a solu¸c˜ao b´asica ´e dada por

x

i

= b

i

, i = 1,... , m e x

j

= 0, j = m+1,... , n

e o valor da fun¸c˜ao objectivo ´e z = z. Al´em

disso, b ≥ 0, por se tratar de uma solu¸c˜ao ad-

miss´ıvel.

Do quadro, tem-se

z = z + c

m+

x

m+

+... + c

s

x

s

+ c

n

x

n

Se a

is

≤ 0 para todo i = 1,... , m ent˜ao θ pode

aumentar indefinidamente e o problema ´e ili-

mitado.

Se pelo contr´ario existe um i ∈ { 1 ,... , m} tal

que a

is

> 0 ent˜ao θ tem que satisfazer `a condi¸c˜ao

b

i

a

is

, para todo i ∈ { 1 ,... , m} tal que a

is

Seja

b

r

a

rs

= min

b

i

a

is

: a

is

Se x

s

tomar o valor

b

r

a

rs

ent˜ao x

r

= 0 e passa a n˜ao b´asica por troca

com x

s

No quadro de elimina¸c˜ao troca-se x

s

com x

r

obtendo-se uma nova solu¸c˜ao b´asica admiss´ıvel,

`a qual est´a associado um valor da fun¸c˜ao ob-

jectivo dado por

z − c

s

b

r

a

rs

≤ z

O processo ´e novamente repetido at´e se atin-

gir uma solu¸c˜ao ´optima. Resumidamente, o

M´etodo Simplex ´e composto dos seguintes pas-

sos:

Fase 1 do M´etodo Simplex

Como se afirmou anteriormente, o m´etodo sim-

plex necessita de uma solu¸c˜ao b´asica admiss´ıvel

inicial. Em geral, tal solu¸c˜ao ´e dif´ıcil de obter,

pelo que vamos apresentar a chamada Fase

1 do m´etodo simplex, desenvolvida com esse

prop´osito.

Seja o programa linear

min c

T

x

s.a Ax = b

x ≥ 0

Seja J o conjunto das vari´aveis b´asicas associ-

adas a uma solu¸c˜ao b´asica do sistema Ax = b,

e

B = [A

.j

]

j∈J

Ent˜ao

Bx

J

+ N x

L

= b

com L = { 1 ,... , n} − J e N = [A

.j

]

j∈L

Como B ´e n˜ao singular,

x

J

+ B

N x

L

= B

b

Substituindo em z = c

T

x, vem

z = c

T

J

x

J

+ c

T

L

x

L

= c

T

J

B

b − B

N x

L

+ c

T

L

x

L

= c

T

J

B

b +

c

T

L

− c

T

J

B

N

x

L

A forma tabular associada a esta solu¸c˜ao ´e

ent˜ao

x

J

x

L

−z

x

J

I A

L

0 b

−z 0 c

L

1 −z

com

A

.j

= B

A

.j

c

j

= c

J

− c

T

J

A

.j

= c

J

T

A

.j

para j ∈ L e π tal que B

T

π = c

J

Para isso procura-se resolver o programa linear

min x

s.a −z + c

T

x = 0

Ax + (Bp)x

= b

x ≥ 0 , x

A seguir mostramos que ´e f´acil obter uma solu¸c˜ao

b´asica admiss´ıvel inicial para este programa li-

near. Sem perda de generalidade, suponha-

mos J = { 1 ,... , m} e construamos o quadro

na forma:

x

1

x

2

... x

m

x

m+

... x

n

x

0

−z

x

1

1 0... 0 a

1 ,m+

... a

1 n

p

1

0 b

1

x

2

0 1... 0 a

2 ,m+

... a

2 n

p

2

0 b

2

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

x m

0 0... 1 a

m,m+

... a mn

p m

0 b m

−z 0 0... 0 c

m+

... c

n

0 1 −z

Da defini¸c˜ao de p, sabemos que existe um valor

para x

para o qual

x

i

= b

i

− p

i

x

≥ 0 , i = 1,... , m

Como p

i

= 0 para b

i

≥ 0 ent˜ao

p

i

x

≤ b

i

para todo o i tal que b

i

Ent˜ao

x

b

i

p

i

para todo o i tal que b

i

Deste modo, se r for definido por

b

r

p

r

= max

b

i

p

i

: p

i

ent˜ao a troca de x

com x

r

estabelece uma

solu¸c˜ao b´asica admiss´ıvel para o programa li-

near alargado.

Ao resolvermos este programa linear usando o

m´etodo simplex, duas situa¸c˜oes podem ocor-

rer:

1. min x

= 0 e obt´em-se uma solu¸c˜ao b´asica

admiss´ıvel para o programa linear original;

2. min x

> 0 e o conjunto admiss´ıvel do pro-

grama linear original ´e vazio.