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[sinais] [C]Transformada Z, Notas de estudo de Sinais e Sistemas

Universidade Federal de Uberlândia (UFU)Sinais e Sistemas

[sinais] [C]Transformada Z tabela

Tipologia: Notas de estudo

2020

Compartilhado em 26/03/2020

fabio-campos-63
fabio-campos-63 🇧🇷

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bg1
Table of Laplace and Z-transforms
X(s) x(t) x(kT) or x(k) X(z)
1. – –
Kronecker delta
δ
0(k)
1 k = 0
0 k ≠ 0 1
2. – –
δ
0(n-k)
1 n = k
0 n ≠ k z-k
3. s
1 1(t) 1(k) 1
1
1
−
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4. as +
1 e-at e-akT 1
1
1
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6. 3
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112
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1
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41
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8.
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a
+ 1 – e-at 1 – e-akT
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11
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9.
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11.
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+ (1 – at)e-at (1 – akT)e-akT
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aT
12.
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as + t2e-at (kT)2e-akT
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1
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13.
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ass
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+
2
2 at – 1 + e-at akT – 1 + e-akT
(
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11
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14. 22
ω
ω
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ω
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1
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Tz
ω
ω
15. 22
ω
+s
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ω
t cos
ω
kT 21
1
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+−
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Tz
ω
ω
16.
()
2
2
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ω
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ω
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1
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17.
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as e-at cos
ω
t e-akT cos
ω
kT 221
1
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cos1
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−−
+−
−
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Tze
aTaT
aT
ω
ω
18. – – ak
1
1
1
−
−az
19. – –
ak-1
k = 1, 2, 3, … 1
1
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−
−az
z
20. – – kak-1
()
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1
1
1−
−
−az
z
21. – – k2ak-1
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1
1
−
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−
+
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azz
22. – – k3ak-1
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1
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1
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−
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−
++
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23. – – k4ak-1
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−−−−
−
+++
az
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24. – –
ak cos k
π
1
1
1
−
+az
x(t) = 0 for t < 0
x(kT) = x(k) = 0 for k < 0
Unless otherwise noted, k = 0, 1, 2, 3, …
pf2

Pré-visualização parcial do texto

Baixe [sinais] [C]Transformada Z e outras Notas de estudo em PDF para Sinais e Sistemas, somente na Docsity!

Table of Laplace and Z-transforms

X ( s ) x ( t ) x ( kT ) or x ( k ) X ( z )

  1. – –

Kronecker delta δ 0 (k)

1 k = 0

0 k ≠ 0

1

  1. – –

δ 0 (n-k)

1 n = k

0 n ≠ k

z

-k

s

1 1(t) 1(k) (^1) 1

1 − − z

s +a

1 e

-at e

-akT 1 1

1 − − − e z

aT

2

1

s

t kT ( )

12

1

1

−

−

− z

Tz

3

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s

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2 (kT)

2 ( )

( )

13

2 1 1

1

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−

− −

−

z

T z z

4

6

s

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( )

14

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1

1 4

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− − −

−

z

Tz z z

s( s a)

a

1 – e

-at 1 – e

-akT ( )

( )( )

1 1

1

1 1

1 − − −

− −

− −

−

z e z

e z aT

aT

( s a)( s b)

b a

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- e

-bt e

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- e

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( )( )

1 1

1

1 1

− − − −

− − −

− −

−

e z e z

e e z aT bT

aT bT

2

1

s + a

te

-at kTe

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12

1

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− −

− −

− e z

Te z

aT

aT

2 s a

s

(1 – at)e

-at (1 – akT)e

-akT ( )

( )

12

1

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− −

−

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e z

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aT

3

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s + a

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2 e

-at (kT)

2 e

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2 1 1

1

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− −

− − − −

−

e z

Te e z z

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aT aT

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a

2

2

at – 1 + e

-at akT – 1 + e

-akT

[( ) ( ) ]

( ) ( )

12 1

1 1

1 1

1 1

− − −

− − − − −

− −

− + + − −

z e z

aT e e aTe z z

aT

aT aT aT

2 2 ω

ω

s +

sin ωt sin ωkT 1 2

1

1 2 cos

sin − −

−

− z T+z

z T

ω

ω

  1. (^22) s + ω

s cos ωt cos ωkT 1 2

1

1 2 cos

1 cos − −

−

− +

−

z T z

z T

ω

ω

2 2 ω

ω

s + a +

e

-at sin ωt e

-akT sin ωkT 1 2 2

1

1 2 cos

sin − − − −

− −

− e z T+e z

e z T aT aT

aT

ω

ω

(^22)

    • ω

s a

s a e

-at cos ωt e

-akT cos ωkT 1 2 2

1

1 2 cos

1 cos − − − −

− −

− +

−

e z T e z

e z T aT aT

aT

ω

ω

  1. – – a

k 1 1

1 − − az

  1. – –

a

k -

k = 1, 2, 3, … 1

1

1

−

−

− az

z

  1. – – ka

k-

( )

12

1

1

−

−

− az

z

  1. – – k

2 a

k-

( )

( )

13

1 1

1

1

−

− −

−

az

z az

  1. – – k

3 a

k-

( )

( )

14

1 1 2 2

1

1 4

−

− − −

−

az

z az az

  1. – – k

4 a

k- ( )

( )

15

1 1 2 2 3 3

1

1 11 11

−

− − − −

−

az

z az az az

  1. – – a

k cos k π 1 1

1 −

  • az

x(t) = 0 for t < 0

x(kT) = x(k) = 0 for k < 0

Unless otherwise noted, k = 0, 1, 2, 3, …

Definition of the Z-transform

Z{x(k)} ∑

∞

=

− = =

0

k

k Xz xkz

Important properties and theorems of the Z-transform

x ( t ) or x ( k ) Z { x ( t )} or^ Z^ { x ( k )}

  1. ax( t) aX(z)
  2. ax (t) bx(t) 1 2 + aX 1 (^ z)+bX 2 (z)
  3. x(^ t+^ T) or^ x(^ k+^1 ) zX^ (z)−zx(^0 )
  4. x(^ t+^2 T) z X(z)− zx( 0 )−zx(T)

2 2

  1. x( k+ 2 ) z X(z) zx( 0 ) zx( 1 )

2 2 − −

  1. x(^ t+^ kT) z X(z) zx( ) z x(T) zx(kT T)

k k k − − − − −

− K

1 0

  1. x(^ t−^ kT) z X(z)

−k

  1. x( n+ k) z X(z) zx( ) z x( ) zx(k )

k k k 0 1 1 1

1 − − − − −

− K

  1. x(^ n−^ k) z X(z)

−k

  1. tx(^ t) X(z) dz

d −Tz

  1. kx(^ k) X(z) dz

d −z

  1. e x(t)

− at X (ze )

aT

  1. e x(k)

−ak X (ze )

a

  1. a x(k)

k ⎟ ⎠

a

z X

  1. ka x(k)

k ⎟ ⎠

a

z X dz

d z

  1. x(^0 )

lim X(z) z →∞

if the limit exists

17. x( ∞ ) lim[^ (^1 ) ()]

1

1

z Xz z

−

→

− if ( z )X (z)

1 1

− − is analytic on and outside the unit circle

18. ∇x^ (^ k)=x(k)−x(k−^1 ) ( z ) X(z)

1 1

− −

19. ∆x ( k)=x(k+ 1 )−x(k) ( z − 1 ) X(z)−zx( 0 )

=

n

k

x(k) 0

X(z ) z

1 1

− −

  1. x(t,a) ∂a

X(z,a) ∂a

  1. k x(k)

m X(z) dz

d z

m

=

n

k

x(kT)y(nT kT)

0

X(z)Y(z )

∞

k= 0

x( k) X ( 1 )