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I – Fundamentos para solução de circuitos elétricos
I.1 – Representação fasorial
Nos circuitos elétricos assintoticamente estáveis^1 , a análise do regime permanente senoidal pode ser realizada através da simples operação com números complexos por intermédio da transformada fasorial. Na análise fasorial, todas as correntes e tensões senoidais são representadas por números complexos que quantificam a amplitude e o ângulo de fase das senóides, sendo a freqüência destas considerada implicitamente.
Qualquer função do tipo senoidal pode ser representada pela função
g ( ) t = G cos( ω t + φ)
através da escolha dos valores adequados para:
G – valor máximo (amplitude);
T
f
= 2 = – velocidade angular [rad/s];
f – freqüência [Hz]; T – período [s];
φ – ângulo de fase [rad].
A Figura I.1 apresenta o gráfico de uma função senoidal genérica, indicando os valores de G e φ.
t [rad]
g(t)
−φ
G
-G
ω
Figura I.1 – Função tipo senoidal.
Observar que quando o ângulo de fase φ é igual a −^ π^2 , a função cosseno transforma-se em um seno,
conforme mostra a Figura I.2, ou seja, são válidas as seguintes relações:
cos sen
ω t ω t
sen cos
ω t ω t
(^1) Circuitos assintoticamente estáveis são aqueles que não apresentam nenhuma das raízes de sua equação
característica no eixo imaginário ou no semiplano direito do plano complexo. Neste caso, a resposta natural tende a zero:
lim t →∞ y n ( t ) = 0
e a resposta completa tende à sua resposta forçada:
lim t → ∞ y ( t ) = lim t →∞ yn ( t ) + yf ( t ) = yf ( t )
π/2 ω t [ra
cossen
g 1 ( t )
d]
Figura I.2 – Relação entre as funções seno e cosseno.
Define-se como defasagem a diferença entre os ângulos de fases de duas funções do tipo senoidal de mesma
velocidade angular ω. Sendo g 1 (^) ( ) t = G 1 cos( ω t + φ 1 )e ( ) , a defasagem entre
2 2 cos 1
φ g t G ω t φ α g 1 ( t )e
g 2 ( t ) é dada por φ 1 − φ 2 = φ 1 − ( φ 1 − α)= α, conforme ilustra a Figura I.3.
α
g 2 ( t )
ω t [rad]
Figura I.3 – Defasagem entre duas funções senoidais.
Assim, pode-se dizer que: g 1 ( ) t está^ adiantada^ em relação à^ g 2 (^ t )do ângulo^ α^ e g 2 ( t )está atrasada em relação à g 1 ( t )do ângulo α.
Considere a função senoidal geral:
y ( ) t = Y max cos( ω t + φ) (I.1)
Note que a função tem três parâmetros: Y max – amplitude
ω – velocidade angular
φ – ângulo de fase
Observar que qualquer função senoidal pode ser representada através da escolha adequada de Y max, ω e φ.
Utilizando a identidade de Euler: e j θ^^ =cosθ + j sen θ
I.2 – Impedância [ Ω ] e admitância [ Ω -1^ ou siemens]
A impedância Z de um componente ou circuito é a relação entre os fasores tensão e corrente (vide convenção de sinais da Figura 1.5):
∆ reatância
resistência X
R
R jX I
V
Z j ω (I.4)
A admitância Y de um componente ou circuito é o inverso de sua impedância:
∆ susceptânc ia
1 condutância B
G
G jB V
I
Z j
Y j ω
ω (I.5)
Circuito linear invariante em regime permanente senoidal
v ( t ) = 2 Re[ V ej^ ω t ]
i ( t ) = 2 Re[ I ej^ ω t ]
Y
Z j
1 ω =
Figura I.5 – Definição de impedância e admitância.
Um resumo das relações entre tensão e corrente para os elementos simples encontra-se na Tabela I.1.
Tabela I.1 – Relação tensão/corrente dos elementos simples.
Elemento Equações Relação defase
Forma fasorial:
i ( t ) = 2 Re[ I ej^ ω t ]
v^ (^ t )^ = 2 Re[ V^ ej^ ω t ]
Diagrama fasorial
Relação no tempo
v ( ) t
i ( ) t
R
v ( ) t = V maxcos(ω + t φ)
i ( ) t = I maxcos(ω + t φ)
i^ ( t^ )e^ v (^ t )
em fase
V = RI
I
φ
V v(t)
v ( ) t
i ( ) t
L
v ( ) t = V maxcos(ω + t φ)
( ) (^) = ^ + − maxcos 2 it I ω t φ^ π
i ( t ) atrasada
de v ( t ) de 90°
V = j ω L I
X (^) L = ω L I
φ
V
v(t)
v ( ) t
i ( ) t
C
v^ ( ) t^ = V maxcos(ω +^ t φ)
( ) (^)
= ^ + + maxcos 2 it I ω t φ^ π
i ( t ) adiantada
de v ( t ) de 90°
I
j C
V
ω
C
X C
I
φ
V v(t)
i(t)
i(t)
i(t)
I.3 – Associação de impedâncias
Para a associação série de impedâncias (vide Figura I.6), a impedância equivalente é dada pela soma das impedâncias de cada um dos componentes, ou seja:
Z (^) eq = Z 1 + Z 2 +K+ Z n (I.6)
V
I +^ V 1 – +^ V 2 –^ + Vn
Z (^) 1 Z 2 Zn
V
I
≡ Z eq
Figura I.6 – Diagrama para associação série de impedâncias.
A expressão (I.6) pode ser demonstrada utilizando-se a Lei de Kirchhoff das Tensões, da forma como segue:
n
n n eq Z Z Z I
V
I
V
I
V
I
V V V
I
V
Z = + + + = + + +
= = K K
K
1 2
LKT 1 2 1 2
Sabendo que Y
Z
= , pode-se determinar a expressão da admitância equivalente da associação série, a partir
da expressão (I.6):
n
eq eq n Y Y Y
Y
Y Y Y Y^111
1 2
K
K
Para a associação paralela de impedâncias (vide Figura I.7), a impedância equivalente é dada pelo inverso da soma dos inversos das impedâncias de cada um dos componentes, ou seja:
n
eq eq n Z Z Z
Z
Z Z Z Z^111
1 2
K
K (I.7)
V
I
Z (^) 1 Z 2 Z n V
I
≡ Z eq
I 1 I 2 In
Figura I.7 – Diagrama para associação em paralelo de impedâncias.
A expressão (I.7) pode ser demonstrada utilizando-se a Lei de Kirchhoff das Correntes, da forma como segue:
n^ n
n
eq
Z Z Z Z
V
Z
V
Z
V
V
I I I
V
I
V
Z
1 2 1 2
1 2
LKC
K K K
Novamente, sabendo que 1 Y
Z = , pode-se determinar a expressão da admitância equivalente da associação
série, a partir da expressão (I.7):
Y (^) eq = Y 1 + Y 2 +K+ Y n
0 1 2 3 4 5 6
0
5
10
Corrente em fase com a tensão
wt
v(t), i(t), p(t) v(t)
i(t) p(t)
Figura I.9 – Gráfico da potência no tempo – corrente em fase com a tensão.
Quando a corrente está atrasada de 90 ° em relação à tensão, os gráficos das funções tensão, corrente e potência instantâneas são de acordo com a Figura a seguir. Observar que a função potência é oscilante e apresenta valor médio nulo.
0 1 2 3 4 5 6
0
5
Corrente atrasada de 90 graus
wt
v(t), i(t), p(t)
v(t) i(t) p(t)
Figura I.10 – Gráfico da potência no tempo – corrente atrasada de 90o^ em relação à tensão.
Quando a corrente está adiantada de 90 ° em relação à tensão, os gráficos das funções tensão, corrente e potência instantâneas são de acordo com a Figura a seguir. Novamente, observar que a função potência é oscilante e apresenta valor médio nulo.
0 1 2 3 4 5 6
0
5
Corrente adiantada de 90 graus
wt
v(t), i(t), p(t) v(t)
i(t) p(t)
Figura I.11 – Gráfico da potência no tempo – corrente adiantada de 90o^ em relação à tensão.
Uma situação intermediária é aquela na qual a corrente está atrasada de um ângulo qualquer (por exemplo, 30 °, conforme Figura a seguir). Neste caso a potência apresenta valores positivos e negativos, sendo a predominância dos positivos.
0 1 2 3 4 5 6
0
5
10
Corrente atrasada de 30 graus
wt
v(t), i(t), p(t)
v(t) i(t) p(t)
Figura I.12 – Gráfico da potência no tempo – corrente atrasada de 30o^ em relação à tensão.
A partir da expressão (I.12) é fácil determinar o valor da potência ativa ( eficaz ou útil , que produz trabalho) que é igual ao valor médio da potência instantânea fornecida ao sistema:
∆ (^) ∫ = ∫[ [ + ( + )] + ( + )]
T T VI t VI t dt T
ptdt T
P
0 0
cos 1 cos 2 2 sen sen 2 2
P = VI cos θ [W] (I.13)
A potência reativa corresponde ao valor máximo da parcela em sen ( 2 ω t + 2 φ)da potência instantânea:
Q ∆ V I sen θ = VI sen θ [var] (I.14)
para a qual adota-se a seguinte convenção^3 : INDUTOR: “consome” potência reativa CAPACITOR: “gera” potência reativa
A potência aparente é obtida pela combinação das potências ativa e reativa P e Q :
S = VI = P^2 + Q^2 [VA] (I.15)
As expressões (I.13), (I.14) e (I.15) sugerem uma relação de triângulo retângulo (similar ao triângulo das impedâncias) na qual a potência aparente S é a hipotenusa, conforme ilustra a Figura I.13. S
P
θ=∠ V −∠ I S
P θ=∠ V −∠ I
Característica INDUTIVA Característica CAPACITIVA
jQ
jQ
Figura I.13 – Triângulo das potências.
(^3) Observar que para qualquer elemento ou combinação de elementos, a parcela representada pela potência reativa
apresenta valor médio nulo, ou seja, não existe geração nem consumo efetivo, na metade do ciclo o elemento absorve energia que será devolvida na metade seguinte do ciclo. A convenção é adequada porque na metade do ciclo em que o indutor está absorvendo energia o capacitor está devolvendo e vice-versa.
Na Figura I.15, observar que quando o ângulo de abertura é igual a 100o^ ( ψ= 100 o), o valor de cos ψ é
negativo e, portanto, o fluxo de potência ativa de A para B também é pois P = VI cos ψ. Isto significa que o
fluxo de potência ativa neste caso é de B para A. Por outro lado, o valor desen ψ é positivo e, portanto, o
fluxo de potência reativa de A para B também é pois Q = VI sen ψ. Isto significa que o fluxo de potência
reativa neste caso é de A para B. Observar que dependendo do ângulo de abertura existente entre os fasores tensão e corrente, é possível qualquer combinação de fluxo de potências ativa e reativa entre os dois sistemas.
I.6 – Fonte trifásica ideal
Uma fonte trifásica ideal é constituída por três fontes de tensão em conexão estrela ou triângulo, conforme ilustra a Figura I.16.
V BN
V AN
N
V CN
V AB
V BC
V CA
(opcional)
A
B
C
V AB
V BC
V CA
V AB
V BC
V CA
N
(a) Conexão estrela (b) Conexão triângulo.
Figura I.16 – Fonte trifásica, ligação estrela.
As diferenças de potencial entre as fases e o neutro (referência) são denominadas tensões de fase; as diferenças de potencial entre as fases 2 a dois são denominadas tensões de linha. Na seqüência ABC, o
sistema é formado pelas seguintes tensões de fase ( V (^) AN , V (^) BN , VCN ) e de linha
( V (^) AB = − VBA , V (^) BC =− VCB , VCA =− VAC ), ilustradas na Figura I.17: V (^) AN = V φ 0 VAB = V (^) AN − VBN = 3 V (^) φ 30 o^ = VL 30 o
= − 120 o V (^) BN V φ = − = 3 − 90 o^ = − 90 o VBC VBN VCN V φ VL
120 o V (^) CN = V φ 3 150 o^150 o V (^) CA = VCN − VAN = V φ = VL
Tensões de Fase ( φ):
V AN
VCN ω
V BN
V (^) AN ; VBN ; V CN
V AB V BC
V CA
V AN
ω
V CN
V BN
V AB
V BC
V CA
Tensões de Linha ( L ):
V AB ; VBC ; VCA V (^) BA ; VCB ; V CA
V BA
V CB
V AC
Figura I.17 – Tensão de fase e de linha em um sistema trifásico simétrico (seqüência ABC).
A constante que relaciona a magnitude da tensão de fase com a de linha ( V L = 3 V φ) pode ser obtida,
conforme mostrado na Figura I.18.
V AN
V BN
V AB = VAN − V BN
120 o
30 o
30 o V V φ
V V V V
L
L AB AN AN 3
2 cos 30 3
= = o=
− V BN
60 o
Figura I.18 – Relação entre as tensões de fase e de linha.
I.7 – Carga trifásica ideal
A carga trifásica ideal é constituída por três impedâncias de igual valor conectadas em estrela ou triângulo, conforme mostra a Figura I.19.
N
Z Y
Z Y
Z Y
A
B
C
N
Z ∆
Z ∆
Z ∆
A
B
C
(a) Ligação estrela. (b) Ligação malha ou triângulo. Figura I.19 – Carga trifásica equilibrada.
A equivalência entre uma carga equilibrada conectada em estrela com outra em triângulo é:
Z (^) ∆ = 3 Z Y (I.17)
I.8 – Potência complexa em circuitos trifásicos equilibrados
Para um sistema trifásico qualquer (a três ou quatro fios, ou seja, com ou sem condutor neutro), conforme o ilustrado na Figura I.20, a potência complexa fornecida pelo Sistema A para o Sistema B é dada por:
1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3
3 3
2 2
S (^) 3 φ = V 1 N ⋅ I 1 + V N ⋅ I + V N ⋅ I = VNI α −β + VNI α −β + VNI α − β
Substituindo θ (^) i = α i − β i e separando a parte real da imaginária, chega-se a:
P 3 φ =Re ( S 3 φ) = V 1 N I 1 cosθ 1 + V 2 NI 2 cosθ 2 + V 3 NI 3 cos θ 3
Q 3 φ =Im ( S 3 φ) = V 1 N I 1 senθ 1 + V 2 NI 2 senθ 2 + V 3 NI 3 sen θ 3
S (^) 3 φ = P 3 φ+ jQ 3 φ
Ainda, para um sistema trifásico simétrico alimentando uma carga equilibrada , tem-se^4 :
ω φ ω φ θ
ω φ ω φ θ
o o
o o
cos 120 cos 120
cos 120 cos 120
cos cos
max max
max max
max max
v t V t i t I t
v t V t i t I t
v t V t i t I t
C C
B B
A A
Utilizando a definição de potência instantânea, tem-se:
p A ( ) t = vA ( ) ti A ( ) t = V max I maxcos( ω t + φ) cos( ω t + φ− θ) (I.18)
p B ( ) t = vB ( ) ti B ( ) t = V max I maxcos(ω t +φ− 120 o^ )cos (ω t +φ− 120 o− θ) (I.19)
p C ( ) t = vC ( ) ti C ( ) t = V max I maxcos(ω t +φ+ 120 o^ ) cos(ω t +φ+ 120 o− θ) (I.20)
sendo a potência total dada por:
p 3 φ^ ( ) t^ = pA ( ) t^ + pB ( ) t^ + pC ( ) t
( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )
(ω φ ) (ω φ θ)]
o o
o o
cos 120 cos 120
3 cos cos cos^120 cos^120 t t
p t Vm Im t t t t (I.21)
Das expressões (I.18), (I.19) e (I.20), têm-se^5 :
( ) ( ) [ ( )]
( ) ( ) [ ( )]
[ ( )]
( ) ( ) [ ( )]
[ ( o)]
o o o
o
o o o
cos cos 2 2 120 2
cos cos 2 2 240 2
cos 120 cos 120
cos cos 2 2 120 2
cos cos 2 2 240 2
cos 120 cos 120
cos cos 2 2 2
cos cos
t
t t t
t
t t t
t t t
Substituindo as expressões anteriores na expressão (I.21), chega-se a:
θ θ θ
θ ω φ θ ω φ θ ω φ θ
φ
φ
cos 3 3 cos 2
3 cos 3 2
3 cos cos 2 2 cos 2 2 120 cos 2 2 120 2
1
0 3
P VI
V I
V I
p t V I t t t
m m m m
m m
64 4 444444444447 =^44
o o
Deste modo, a potência trifásica instantânea fornecida para um sistema equilibrado^6 , através de tensões simétricas, é constante. Assim, embora a potência instantânea fornecida por intermédio de cada uma das fases seja variável, o somatório de todas as contribuições é constante.
(^4) Foi utilizada a seqüência ABC mas o resultado permanece válido para a seqüência ACB.
5 Lembrar que: a b = [ cos( a − b ) +cos( a + b ]
2
1 cos cos )
(^6) Observar que o resultado obtido pode ser estendido para qualquer sistema polifásico simétrico que alimente cargas
equilibradas, ou seja, a potência polifásica instantânea fornecida para um sistema equilibrado, alimentado por tensões simétricas, é constante.
I.9 – Análise por fase e diagrama unifilar
No estudo do regime permanente do sistema de energia elétrica, utiliza-se a análise por fase pois o sistema é considerado equilibrado, da geração ao consumo, ou seja:
- as fontes do sistema são consideradas simétricas;
- as impedâncias das fases são consideradas iguais e
- as cargas são consideradas equilibradas.
Desta forma, o resultado (tensão, corrente, etc.) de uma fase pode ser utilizado para as demais desde que se façam os ajustes de fase necessários.
Exemplo I.1 – Uma fonte trifásica, 2400 V, seqüência ABC, alimenta duas cargas conectadas em paralelo:
- Carga 1: 300 kVA, fator de potência igual a 0,8 indutivo e
- Carga 2: 144 kW, fator de potência igual a 0,6 capacitivo.
Se a fase A é utilizada como referência angular (ou seja o ângulo de fase de V (^) AN é igual a zero), determinar:
a) O circuito equivalente por fase (diagrama de impedância).
b) As três correntes de linha das fases A, B e C.
Solução Exemplo I.1:
a) Inicialmente, determina-se o fasor potência complexa referente a cada uma das cargas:
Carga 1: S 3 carga φ^1 = 300 kVA
P 3 cargaφ 1 = FP 1 × S 3 cargaφ^1 = 0 , 8 × 300 = 240 kW
( ) ( ) 300 2 2402 180 kvar carga 12 3
carga 12 3
carga 1 Q 3 φ = S φ − P φ = − =
( 240 180 ) kVA 300 36,9 kVA
carga 1 S 3 φ = + j = o
Carga 2: P 3 cargaφ 2 = 144 kW
240 kVA 0 , 6
2
carga 2 carga 2 3 3 =^ FP = =
P
S φ^ φ
( ) ( ) 240 2 1442 192 kvar carga 2 2 3
carga 22 3
carga 2 Q 3 φ =− S φ − P φ = − =−
( 144 192 ) kVA 240 53,1 kVA
carga 2 S 3 φ = − j = − o
Para a fase A, tem-se:
Carga 1: ( 80 60 ) kVA 100 36,9 kVA 3
carga 1 S^1 = S^3 = + j = o A
φ
Carga 2: ( 48 64 ) kVA 80 531 kVA 3
carga 2 S^2 S^3 j , o A = = − = −
φ
Na Figura I.22, observa-se a representação de um sistema de energia elétrica através do diagrama unifilar, do diagrama trifásico (trifilar) de impedâncias e do diagrama de impedância por fase. No diagrama unifilar é possível representar a topologia do sistema (ligações), os valores das grandezas elétricas dos componentes e sua forma de conexão. O diagrama trifilar de impedâncias representa o circuito elétrico equivalente ao sistema de energia elétrica. O diagrama de impedância por fase representa uma simplificação do diagrama trifásico sendo utilizado para determinar os valores das grandezas elétricas do sistema para uma fase (posteriormente, este resultado é estendido para as demais fases).
G (^2)
(^1 2 )
4 T 1 T (^2)
Y-Y Y-Y
(a) Diagrama unifilar.
- • • •
- • • •
- • •
- • •
- • •
- • • • • • •
- • • • • • •
(b) Diagrama trifilar de impedância.
- • •
- • • (c) Diagrama de impedância por fase (em pu).
Gerador Transformador 1 Transformador 2 (^) Gerador 2Carga e
G 1
G 1
G 1
G 1
G 2
G 2
G 2
G 2
Linha de Transmissão
G 1
Figura I.22 – Representação do sistema de energia elétrica.
I.10 – O sistema por unidade (pu)
Freqüentemente, na análise de sistemas de energia elétrica ao invés de serem utilizadas as unidades originais para as grandezas envolvidas (tensão, corrente, potência, etc.) são utilizadas unidades relativas (por unidade ou, simplesmente, pu), obtidas através da normalização dos valores originais destas grandezas (em V, A, W, etc.) por valores pré-estabelecidos para cada grandeza, denominados valores de base. Realizando esta normalização em todas as grandezas do sistema, é possível:
- Manter os parâmetros do sistema elétrico dentro de uma faixa de valores conhecidos evitando, portanto, erros grosseiros. Por exemplo, quando se utiliza o valor nominal da tensão como valor de referência (valor de base), pode-se verificar a partir do valor normalizado da tensão (em pu) sua distância do valor desejado (nominal). Valores em pu próximos a unidade significam proximidades do valor nominal; valores de tensão muito abaixo ou acima de 1 pu representam condições anormais de operação.
- Eliminar todos os transformadores ideais do sistema elétrico.
- A tensão de operação do sistema permanece sempre próxima da unidade.
- Todas as grandezas possuem a mesma unidade ou pu (embora os valores de base sejam diferentes para cada uma das grandezas).
Para realizar a transformação das grandezas para pu basta dividir o valor destas pelo seu valor de base, ou seja:
valor base
valoratual valor empu= (I.22)
O valor de base deve ser um número real; o valor atual pode ser um número complexo (se for utilizada a forma polar, transforma-se apenas a magnitude da grandeza, mantendo-se o ângulo na unidade original).
A grandeza de base definida para todo o sistema de energia elétrica é a potência elétrica,
(geralmente 100 MVA):
S 3 φ base
3 base base
3 base base 3 φ^3 φ
φ φ S S
S
S = ⇔ = [MVA] (I.23)
A tensão base , V (^) base, geralmente corresponde à tensão nominal do sistema na região de interesse :
base base
base base 3 3
φ V V φ
V
V = L^ ⇔ L = [kV] (I.24)
A corrente base , I (^) base, e a impedância base , Z base, são obtidas a partir da potência e da tensão de base:
base
3 base base
3 base
base
base base base 3 3
L L
L Y V
S
V
S
V
S
I I^ φ
φ
φ
= = φ^ = = [kA] (I.25)
base
base^3 base base (^3) (^3) L
L V
I S
I ∆ = =^ φ [kA] (I.26)
3 base
2 base base
base base φ
φ S
V
I
V
Z L
Y
Y =^ = [W] (I.27)
3 base
2 base base
base base 3 base^33 φ
φ S
V
I
V
Z Z L
Y
∆ = Y = = [Ω]^ (I.28)
Solução Exemplo I.2 (continuação) :
1 , 25 5 3,1 pu ( 0 , 75 1 , 00 ) pu 19 , 2
base
2 2 pu j Z
Z
Z
Y
Y Y = − = −
= = o
o
10 pu ( 1 0 ) pu 1386
base
pu j V
V
V (^) AN = AN = = o = +
o
φ
O circuito equivalente por fase em valores por unidade encontra-se na Figura I.23.
1 0 o pu
IA pu
2 IA pu
1 IA pu
0 , 8 pu
j 0 , 6 pu
0 , 75 pu
− j 1 , 00 pu
Figura I.23 – Circuito equivalente para a fase A em pu.
c) Do circuito da Figura I.23, tem-se:
1 36 , 87 pu ( 0 , 8 0 , 6 ) pu 0 , 8 0 , 6
pu j j
I A = − = −
= o
o
0 , 853 , 13 pu ( 0 , 48 0 , 64 ) pu 0 , 75 1 , 00
pu j j
I A = = +
= o
o
0 , 8 0 , 6 0 , 48 0 , 64 1 , 281 , 8 pu ( 1 , 28 0 , 04 ) pu
2 pu
1 I A pu = IA pu+ IA = − j + + = o = + j
I A = IA pu IY base= 1 , 281 , 8 o×72,2=92,4 1 , 8 o A= ( 92 , 38 + j 2 , 89 ) A
Observar que o valor obtido em ampères é o mesmo calculado no Exemplo I.1.
Exemplo I.3 – A Figura I.24 mostra o diagrama unifilar de um sistema elétrico trifásico.
G (^1)
(^1) T 1 : N 2 : N 1 2 3 4
Y-Y Y-Y
T 2 : N 1 ′ : N 2 ′
2,4 kV 24 kV 12 kV
1000 A
Figura I.24 – Diagrama unifilar do Exemplo I.3.
Considere que o comprimento da linha entre os dois transformadores é desprezível, que a capacidade do gerador 3 φ é de 4160 kVA (2,4 kV e 1000 A), que este opera em condição nominal
alimentando uma carga puramente indutiva. A potência nominal do transformador trifásico T
( IL = 1000 A) 1 é 6000 kVA (2,4/24 kV Y/Y) com reatância de 0,04 pu. T 2 tem capacidade nominal de 4000 kVA, sendo constituído por um banco de três transformadores monofásicos (24/12 kV Y/Y) com reatância de 4% cada. Determinar:
a) A potência base.
b) A tensão de linha base.
c) A impedância base.
d) A corrente base.
e) Resuma os valores base em uma tabela.
f) Os valores das correntes em A.
g) A corrente em pu.
h) O novo valor das reatâncias dos transformadores considerando sua nova base.
i) O valor pu das tensões das barras 1,2 e 4.
j) A potência aparente nas barras 1,2 e 4.
Solução Exemplo I.3:
a) A potência base é selecionada arbitrariamente como: S 3 (^) φ base= 2080 kVA.
b) Para o circuito em 2,4 kV arbitra-se o valor de VL (^) base = 2 , 5 kV. As demais tensões de base são
calculadas utilizando as relações de transformação de T 1 e T 2 :
2
1 2
N
N
N
N
Assim, para os demais circuitos: Circuito em 24 kV: VL base = 25 kV Circuito em 12 kV: VL base = 12 , 5 kV
c) As impedâncias de base são calculadas a partir dos valores base da potência e da tensão:
Circuito em 2,4 kV: = = = 3 , 005 Ω 2080000
3 base
2 base base S φ
V
Z Y L
Circuito em 24 kV: (^) = = = 300 , 5 Ω 2080000
3 base
2 base base S φ
V
Z Y L
Circuito em 12 kV: = = = 75 , 1 Ω 2080000
3 base
2 base base S φ
V
Z Y L
d) As correntes de base são calculadas a partir dos valores base da potência e da tensão:
Circuito em 2,4 kV: 480 A 32500
(^3) base
3 base base = = = L
L V
S
I^ φ
Circuito em 24 kV: 48 A 325000
(^3) base
3 base base = = = L
L V
S
I^ φ
Circuito em 12 kV: 96 A 312500
(^3) base
3 base base = = = L
L V
S
I^ φ
Caso fossem escolhidos outros valores base nos itens (a) e (b), os valores calculados para a impedância e corrente base poderiam ser diferentes dos valores obtidos nos itens (c) e (d).
