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IV – O transformador
Os transformadores de força são os equipamentos utilizados para viabilizar a transmissão de energia elétrica
em alta tensão. Desta forma, são instalados nas usinas de geração, para elevar a tensão em níveis de
transmissão (no Brasil de 69 kV a 750 kV), nas subestações dos centros de consumo (subestações de
distribuição ou subestações de grandes consumidores), para rebaixar o nível de tensão em níveis de
distribuição (tipicamente 13,8 e 23 kV) e também nas subestações de interligação para compatibilizar os
diversos níveis de tensão provenientes das diversas linhas de transmissão que aportam.
Para se ter uma noção da importância destes equipamentos no setor elétrico, apresenta-se o Quadro IV.1 no
qual a potência instalada em subestações corresponde aos equipamentos de transformação.
Quadro IV.1 – Potência instalada em subestações do setor elétrico brasileiro.
POTÊNCIA INSTALADA EM SUBESTAÇÕES - MVA
Em 31.12 2001
1999 2000 2001 Entradas Retiradas
25 kV/outras (1) 74.196,0 75.109,0 75.109,0 0,0 0, 69 kV/outras 18.777,1 18.902,1 19.094,4 192,3 0, 88 kV/outras 5.717,2 5.717,2 5.717,2 0,0 0,
138 kV/outras 46.251,6 46.707,1 47.384,0 676,9 0, 230 kV/outras 34.732,7 35.928,7 36.779,7 851,0 0, 345 kV/outras 33.610,4 34.480,4 34.480,4 0,0 0,
440 kV/outras 15.137,0 15.437,0 15.437,0 0,0 0, 500 kV/outras 47.636,9 49.538,9 53.510,9 3.972,0 0, 750 kV/outras 16.200,0 16.750,0 18.250,0 1.500,0 0, (1) Apenas transformadores elevadores de usinas
Fonte: Boletim Semestral do SIESE Síntese 2001 (disponível em: http://www.eletrobras.gov.br/mercado/siese/).
O objetivo deste capítulo é a definição do modelo do transformador para estudos de transmissão de potência
elétrica em regime permanente, ou seja, considerando tensões e correntes senoidais em freqüência industrial.
Além disto, considera-se que os transformadores operam em condições equilibradas. Desta forma, os
modelos e resultados apresentados a seguir não se aplicam a estudos de transitórios de alta freqüência, de
curto-circuito ou de harmônicos.
O modelo dos transformadores de força para estudos de fluxo de potência são similares aos transformadores
de menor porte, desconsiderando-se os efeitos da corrente de magnetização.
IV.1 – Transformador ideal de dois enrolamentos
Em um transformador ideal considera-se que a resistência elétrica dos enrolamentos é nula (logo não existe
queda de tensão na espira em função desta resistência e a tensão induzida pela variação do fluxo é igual à
tensão terminal) e que a permeabilidade do núcleo é infinita (portanto todo o fluxo fica confinado ao
núcleo e enlaça todas as espiras). Levando em conta as polaridades indicadas na Figura IV.1, têm-se as
seguintes relações entre as tensões terminais:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) t dt
d t N dt
d v t N
t dt
d t N dt
d v t N
m
m
2 2 2 2
1 1 1 1
Assim, a relação entre as tensões terminais é dada por:
( )
( ) (^2)
1
2
1
N
N
v t
v t = (^) (IV.1)
i 1 ( ) t
v 1 ( ) t
N 1 espiras φ m ( ) t
v 2 ( ) t
i 2 ( ) t
Fluxo em 1:
φ 1 ( ) t = φ m ( ) t φ 2 ( ) t = φ m ( ) t
N 2 espiras
Fluxo em 2:
Figura IV.1 – Transformador ideal de dois enrolamentos.
Como o transformador é ideal, a potência instantânea de entrada, p 1 ( t ), é igual a potência instantânea de
saída, p 2 ( ) t pois as perdas são desprezíveis, ou seja:
p 1 (^) ( ) t = p 2 ( ) t ⇒ v 1 ( ) t ⋅ i 1 ( ) t = v 2 ( ) t ⋅ i 2 ( t )
logo,
( )
( )
( )
( ) (^1)
2
1
2
2
1
N
N
v t
v t
i t
i t = = (IV.2)
As expressões (IV.1) e (IV.2) definem o modo de operação dos transformadores ideais.
Os enrolamentos onde se ligam as fontes de energia e as cargas são geralmente denominados primário e
secundário , respectivamente.
De forma alternativa, as relações (IV.1) e (IV.2) podem ser obtidas levando-se em consideração que um
transformador ideal constitui um caso particular de circuitos magneticamente acoplados no qual o coeficiente
de acoplamento entre os enrolamentos é igual a unidade, ou seja, K = 1. Para as polaridades indicadas na
Figura IV.2, são válidas as seguintes expressões:
( ) ( ) i ( ) t dt
d i t M dt
d v 1 (^) t = L 1 1 − 2 (IV.3)
( ) ( ) i ( ) t dt
d i t L dt
d v (^) 2 t = M 1 − 2 2 (IV.4)
dt
di t M
2
L 1
L 2
i 1 ( t )
v 1 ( t )
i 2 ( t )
v 2 ( t )
K=
v 1 ( t )
v 2 ( t )
i 1 ( t ) i 2 ( t )
dt
di t M
i
1 2
1 2
M L L
M K LL
=
=
N 1 : N 2
Figura IV.2 – Transformador ideal representado por circuito magneticamente acoplado.
Isolando i ( ) t dt
d 2 em (IV.4) e substituindo em (IV.3), tem-se:
( ) ( ) ( )
= i t − v t dt
d M L
i t dt
d 1 2 2
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (^) v ( ) t L
M
i t dt
d
L
M
i t v t L dt
d M L
i t M dt
d v t L 2
2
1 2
2
1 2 1 2
1 1 1
= − − (IV.5)
Exemplo IV.1 – No circuito da Figura IV.3, N 1 (^) = 2000 , N (^) 2 = 500 , 1 12000 V
o V = e 1 5 30 A
o I = − ,
quando uma impedância Z (^) 2 é ligada ao secundário. Determinar V (^) 2 , I (^) 2 , Z (^) 2 e a impedância
ref Z (^) 2 que é
definida como sendo o valor de Z (^) 2 referido ao primário do transformador (impedância refletida).
Solução : Supondo que o transformador é ideal, tem-se:
12000 3000 V
1
1
2 2
o o = V = = N
N
V
5 30 20 30 A
1
2
1 2
o o = I = − = − N
N
I
Pela definição de impedância, tem-se:
2
2 2
o o
o
I
V
Z
1
ref 1 2
o o
o
I
V
Z
ou
=^ Ω
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
1
2
2 2
1
1
ref 1 2
o o Z N
N
I
V
N
N
I
N
N
V
N
N
I
V
Z
A expressão obtida no Exemplo anterior
2
2
2
ref 1 2 Z N
N
Z
é empregada na reflexão de impedâncias, técnica que consiste em colocar no circuito primário uma
impedância que produza o mesmo efeito que a impedância que está colocada no circuito secundário.
Analogamente, é possível realizar a reflexão do primário para o secundário, ou seja,
1
2
1
ref 2 1 Z N
N
Z
Observar que o efeito produzido pela impedância em qualquer um dos enrolamentos deve ser o mesmo.
Assim, quanto maior a tensão do enrolamento (portanto, maior o número de espiras) maior deverá ser o valor
da impedância em ohms.
IV.1.2 – Modelo do transformador ideal em pu
Utilizando a magnitude das tensões terminais nominais como tensões de base tem-se, os seguintes valores de
base para o primário e secundário, respectivamente:
pri V base –^ Tensão de base do primário [kV]
sec V base –^ Tensão de base do secundário:
pri base 1
sec 2 base V N
N
V = [kV]
Sendo a potência de base do sistema, as correntes de base para o primário e secundário,
respectivamente, são:
S base
pri base
pri base base V
S
I =
pri base 2
1
pri base 1
2
base sec base
sec base base I N
N
V
N
N
S
V
S
I = = =
Desta forma, os valores em pu serão dados por:
pri base
1 1 pu V
V
V =
pri base
1
pri base 1
2
1
1
2
sec base
2 2 pu V
V
V
N
N
V
N
N
V
V
V V (^) 2 pu= V 1 pu (IV.8)
pri base
1 1 pu I
I
I =
pri base
1
pri base 2
1
1
2
1
sec base
2 2 pu I
I
I
N
N
I
N
N
I
I
I I 2 pu= I 1 pu (IV.9)
Portanto, quando as grandezas estiverem em pu, o transformador ideal com relação nominal pode ser
substituído por um curto-circuito , conforme mostrado na Figura IV.4, pois tanto a tensão quanto a corrente
apresentam o mesmo valor em ambos enrolamentos – vide equações (IV.8) e (IV.9).
I 1 (^) pu I 2 pu
V 1 pu
V 2 pu
Transformador
Ideal em pu
I 2 pu
V 2 pu
I 1 pu
V 1 pu
Figura IV.4 – Circuito equivalente do transformador ideal de dois enrolamentos em pu.
IV.2 – Circuito equivalente do transformador real de dois enrolamentos
No transformador real de dois enrolamentos, as resistências dos enrolamentos não são nulas (serão notadas
por e , respectivamente, para o primário e secundário), nem todo o fluxo que enlaça um enrolamento
enlaça o outro pois a permeabilidade do núcleo não é infinita, isto é, existem fluxos dispersos nos
enrolamentos cujos efeitos são representados por intermédio das reatâncias de dispersão e ,
respectivamente, para o primário e secundário. Além disto, ocorrem perdas devido às variações cíclicas do
sentido do fluxo ( histerese ) e também devido às correntes parasitas induzidas no núcleo. Assim, mesmo
com o secundário em aberto, existe uma pequena corrente circulando no primário quando este é energizado,
denominada corrente de magnetização – o efeito deste fenômeno é representado pela impedância de
magnetização e , colocada em derivação no primário do transformador (ou no secundário).
r 1 r 2
x 1 x 2
r m xm
neste ensaio é significativamente menor que o valor nominal e a corrente de magnetização corresponde a
uma fração muito pequena do valor nominal. Considerando que o enrolamento secundário tenha sido curto-
circuitado e que a corrente que circula por este é igual ao seu valor nominal ( I 2 = 10 pu), o circuito
equivalente do ensaio de curto-circuito é dado pela Figura IV.7. Neste circuito equivalente, a impedância
medida nos terminais do enrolamento energizado é dada por:
1 1 2 2 1
1 r jx r jx I
V
Z = = + + +
jx m
I (^) 1 ≈ I 2 = 10 pu I 2 = 10 pu
V 1
V 2 = 0
r 1 (^) + jx 1 r 2 (^) + jx 2
r m
Im ≈ 0
Figura IV.7 – Ensaio de curto-circuito (circuito equivalente em pu).
A impedância de magnetização é determinada por intermédio do ensaio de circuito aberto no qual os
enrolamentos são submetidos à tensão nominal. No ensaio de circuito aberto é aplicada tensão nominal a um
dos enrolamentos e mede-se a corrente que circula neste enrolamento enquanto o(s) outro(s) enrolamento(s)
permanece(m) em circuito aberto. Considerando que o enrolamento primário tenha sido energizado com
tensão nominal ( V 1 = 10 pu), o circuito equivalente do ensaio em vazio de um transformador é dado pela
Figura IV.8. Neste circuito equivalente, a impedância medida nos terminais do enrolamento energizado é
dada por:
m m
m m
r jx
r jx r jx I
V
Z
1
1
jx m
I (^) 1 = I m I 2 = 0
V 1 = 10 pu
V 2
r 1 (^) + jx 1 r 2 (^) + jx 2
r m
I m
Figura IV.8 – Ensaio de circuito aberto (circuito equivalente em pu).
Como exemplo das características elétricas dos transformadores em nível de distribuição, têm-se os valores
do Quadro IV.2. Em transformadores de maior potência e nível de tensão, as perdas em vazio e as perdas
totais apresentam valores percentuais (em função da potência nominal) menores, sendo inferiores a 0,1 e
0,5%, respectivamente.
Levando em conta as características reais dos grandes transformadores, as perdas nos enrolamentos
1 (devido
a r 1 e r 2 ) e no núcleo
2 (devido a e ) são muito pequenas quando comparadas com a potência do
transformador sendo, geralmente, desprezadas. Desta forma, o modelo equivalente do transformador fica
bastante simplificado, conforme mostra a Figura IV.9.
r m xm
1 Cujo valor nominal corresponde à diferença entre as perdas totais e as perdas em vazio. 2 Ou perdas em vazio.
I 1
I 2
V 1
V 2
jx
jx = jx 1 + jx 2
Figura IV.9 – Circuito simplificado em pu do transformador real de dois enrolamentos.
Quadro IV.2 – Características de perdas, correntes de excitação e impedâncias.
TRANSFORMADORES TRIFÁSICOS DE TENSÃO MÁXIMA 15 kV
Potência
[kVA]
Corrente de excitação
máxima [%]
Perdas em vazio
máximo [W]
Perdas totais
máximas [W]
Impedância
75° C [%]
30 4,1 170 740
45 3,7 220 1.
75 3,1 330 1.
112,5 2,8 440 1.
150 2,6 540 2.
3,
225 2,3 765 3.
300 2,2 950 4.
4,
TRANSFORMADORES TRIFÁSICOS DE TENSÕES MÁXIMAS 24,2 e 36,2 kV
Potência [kVA]
Corrente de excitação máxima [%]
Perdas em vazio máximo [W]
Perdas totais máximas [W]
Impedância 75° C [%]
30 4,8 180 825
45 4,3 250 1.
75 3,6 360 1.
112,5 3,2 490 2.
150 3,0 610 2.
4,
225 2,7 820 3.
300 2,5 1.020 4.
5,
Fonte: Trafo Equipamentos Elétricos S.A. (disponível em http://www.trafo.com.br/)
Exemplo IV.2 – Um transformador monofásico tem 2000 espiras no enrolamento primário e 500 no
secundário. As resistências dos enrolamentos são r 1 = 2 Ω e r 2 = 0 , 125 Ω; as reatâncias de dispersão são
e. A carga ligada ao secundário é resistiva e igual a 12 Ω. A tensão aplicada ao
enrolamento primário é de 1200 V. Determinar o fasor tensão secundária e a regulação de tensão do
transformador:
x 1 = 8 Ω x 2 = 0 , 5 Ω
Regulação % 100 % carga 2
carga 2
vazio 2
V
V − V
onde
carga V (^) 2 é a magnitude da tensão no secundário com plena carga e
vazio V (^) 2 é a magnitude da tensão no
secundário em vazio.
Solução alternativa:
A mesma solução anterior poderia ter sido obtida sem transformar as grandezas para pu, utilizando reflexão
de impedâncias.
A relação nominal do transformador é dada por: 4 500
2
1 NOM =^ = = N
N
a
Refletindo a impedância série do secundário para o circuito primário, tem-se a seguinte impedância série
equivalente do primário e secundário:
= + ( ) = 2 + 0 , 125 ⋅ 4 = 4 Ω
(^22) R r 1 r 2 a NOM
= + ( ) = 8 + 0 , 5 ⋅ 4 = 16 Ω
(^22) X x 1 x 2 a NOM
= (^ )^ = 12 ⋅ 4 = 192 Ω
(^22) NOM
carga 2
carga Z ref Z a
Assim, tem-se o seguinte circuito equivalente do ponto de vista do primário.
I 1
NOM
2
a
I
V 1 = 1200 V
a NOM V 2
R + jX
carga Z ref
Com a carga conectada, a tensão nos terminais do secundário do transformador é dada por:
1200 1171 , 6 4 , 67 V
1 carga ref
carga carga ref NOM^2
o = −
j
V
Z Z
Z
a V
NOM
carga 2
o o − =
a
V 292 , 9 4 , 67 V
carga 2
o V = −
Em vazio (sem a carga conectada), como não existe corrente circulando, não existe queda de tensão na
impedância série e a tensão nos terminais do secundário do transformador é igual à tensão primária:
1 1200 V
vazio a NOM V 2 = V =
NOM
vazio 2 =^ = a
V 300 V
vazio V 2 =
Daí, a regulação percentual do transformador é:
Regulação % 100 % carga 2
carga 2
vazio 2 − =
V
V V
Regulação %= 2 , 42 %
Exemplo IV.3 (Provão 2000) – Questão relativa às matérias de Formação Profissional Específica (Ênfase
Eletrotécnica).
Média (escala de 0 a 100) % escolha
Brasil Região Instituição Brasil Região Instituição
19,3 19,2 12,9 16,4 14,5 13,
IV.3 – Transformador com relação não-nominal
Com o objetivo de possibilitar um melhor controle da tensão no sistema elétrico, muitas vezes os
transformadores operam com relação de transformação diferentes da nominal ( )
NOM 2
NOM N 1 (^) : N. Neste caso,
os transformadores apresentam um enrolamento especial provido de diversas derivações ( taps ), comutáveis
sob carga ou não. Quando a seleção da derivação é realizada sob carga , o transformador apresenta um
dispositivo denominado comutador de derivações em carga (ou comutador sob carga) que se encarrega de
realizar as conexões necessárias para que seja selecionada a relação de transformação desejada. Para operar
tais comutadores utilizam-se acionamentos motorizados, possibilitando comando local ou à distância,
inclusive com controle automático de tensão. Quando a seleção da derivação é realizada sem carga o
dispositivo é muito mais simples, sendo utilizada apenas uma chave seletora que opera quando o
transformador está desligado.
Por norma, as derivações são numeradas, sendo a derivação “1” a de maior tensão, conforme mostra o
Quadro IV.3 no qual encontram-se exemplos de valores de derivações e relações de tensão para
transformadores em nível de distribuição. Neste caso, no interior do tanque o transformador apresenta uma
chave seletora que possibilita o ajuste do tap quando este estiver desligado.
Quadro IV.3 – Derivações e relações de tensões.
Tensão [V]
Primário Secundário
Tensão máxima do equipamento
[KV eficaz]
Derivação N° (^) Trifásicos e
Monofásicos (FF)
Monofásicos
(FN)
Trifásicos Monofásicos
1 13.800 7.
15,0 2 13.200 7.
3 12.600 7.
1 23.100 13.
24,2 2 22.000 12.
3 20.900 12.
1 34.500 19.
36,2 2 33.000 19.
3 31.500 18.
380/
ou 220/
2 terminais
220 ou 127 ou 3 terminais
440/220 ou 254/127 ou 240/120 ou
230/
(FF) - tensão entre fases
(FN) - tensão entre fase e neutro
Fonte: Trafo Equipamentos Elétricos S.A. (disponível em http://www.trafo.com.br/)
Em nível transmissão de energia elétrica os transformadores podem possuir dispositivos para comutação sob
carga, apresentando um maior número de derivações, conforme exemplifica a Tabela IV.1. Observar que as
derivações são realizadas no enrolamento de maior tensão, visando operar com menores correntes no
comutador sob carga.
Tabela IV.1 – Derivações típicas da regulação sob carga.
Tensão primária [kV] Tensão secundária [kV]
138 230 ± 8 × 1 , 875 % 69
69
138 ± 8 × 1 , 875 % 23
69 ± 8 × 1 , 875 %
IV.4 – Transformador de três enrolamentos
Em sistemas de energia elétrica é bastante comum a presença de um terceiro enrolamento nos
transformadores de força, além dos enrolamentos primário e secundário. Este enrolamento é denominado
terciário e é empregado para fornecer caminho para as correntes de seqüência zero, para a conexão dos
alimentadores de distribuição, para alimentar os serviços auxiliares das subestações de energia ou para
conexão dos equipamentos empregados na compensação de reativos (normalmente bancos de capacitores).
A Figura IV.11 mostra um transformador monofásico de três enrolamentos juntamente com o seu circuito
equivalente em pu. Observar que o ponto comum O representado no circuito equivalente, mostrado na Figura
IV.11(b), é fictício e não tem qualquer relação com o neutro do sistema.
jx m
i 1 ( ) t
v 1 ( ) t
N 1 espiras
φ m ( t )
v 2 ( ) t
i 2 ( ) t
Fluxo disperso em 1:
( ) t
disp φ 1
( ) t
disp φ 2
I 1
I 3
V 1
V 3
(a) Transformador de três enrolamentos.
(b) Circuito equivalente em pu.
Z 1 = r 1 + jx 1
Z (^) 3 = r 3 + jx 3
r m
v 3 ( ) t
i 3 ( ) t
N 3 espiras
Fluxo disperso em 3:
( ) t
disp φ 3
I 2
Z (^) 2 = r 2 + jx 2
V 2
O
N 2 espiras
Fluxo disperso em 2:
Figura IV.11 – Transformador de três enrolamentos.
As impedâncias de qualquer ramo da Figura IV.11(b) podem ser determinadas através da impedância de
curto-circuito entre os respectivos pares de enrolamentos, mantendo o enrolamento restante em aberto
(ensaio de curto-circuito). Desta forma, sendo z (^) 12 a impedância obtida no ensaio no qual é aplicada tensão
no enrolamento primário suficiente para fazer circular a corrente nominal quando o secundário está em curto-
circuito e o terciário aberto (vide Figura IV.12), tem-se (desprezando o ramo de magnetização):
Z 12 = Z 1 + Z 2
jx m
I 1 ≈ I 2 = 10 pu
I 3
V 1
V 3
Z (^) 1 = r 1 + jx 1
Z 3 = r 3 + jx 3
r m
I 2 = 10 pu Z 2 = r 2 + jx 2
O
Im ≈ 0
V 2 = 0
Figura IV.12 – Exemplo de ensaio de curto-circuito em um transformador de três enrolamentos.
Para as demais combinações, tem-se:
Z 23 = Z 2 + Z 3
Z 13 = Z 1 + Z 3
As impedâncias de quaisquer ramos da Figura IV.11(b) podem ser determinadas resolvendo-se o sistema
formado pelas três equações anteriores (três ensaios de curto-circuito), cuja solução é dada por:
1 (^121323 ) 2
Z = Z + Z − Z
2 (^122313 ) 2
Z = Z + Z − Z
3 (^132312 ) 2
Z = Z + Z − Z
Notar que este modelo pode apresentar resistências e/ou reatâncias negativas. O significado físico de tais
parâmetros pode parecer contrariar a natureza do equipamento mas deve-se levar em conta que o circuito
equivalente representa o transformador a partir de seus terminais (portanto, os componentes não precisam
possuir individualmente ligação direta com um enrolamento específico).
Diferentemente dos transformadores de dois enrolamentos, os transformadores de três enrolamentos
geralmente apresentam enrolamentos com potências nominais diferentes.
IV.5 – Autotransformador
Um autotransformador é um transformador no qual, além do acoplamento magnético entre os enrolamentos,
existe uma conexão elétrica conforme mostra a Figura IV.13. São duas as formas possíveis de conexão
elétrica: aditiva ou subtrativa.
I (^) 1 I 2
Ideal
V 1
V 2
N
I
I
N a
N
V
V
N
N a
= =
= =
=
1
2
2
1
2
1
2
1
1
2
1
Conexões Aditivas Conexões Subtrativas
a
N N
1 :
1 :^2
Figura IV.13 – Transformador ideal conectado como autotransformador.
IV.6 – O modelo do transformador em fase
A representação de transformadores em fase, mostrada na Figura IV.15, consiste de um transformador ideal
com relação de transformação 1 : akm e uma impedância série Z (^) km. Observar que neste modelo as perdas no
núcleo são desprezadas.
k I km
Z (^) km = rkm + jxkm m I mk
Vk = Vk θ k
p
I pm 1 : a km
Vp = akmVk = akmVk θ k
Vm = Vm θ m
Figura IV.15 – Representação de um transformador em fase.
Da relação do transformador ideal em fase
4 :
p km k p km
k V a V V a
V
km km km km^ pm pm
km a a I a I I
I
As correntes I pm , I km e I mk são obtidas a partir dos fasores tensão das barras k , p e m ( V k = Vk θ k ,
Vp = Vp θ p = akmVk θ k e V m = Vm θ m , respectivamente) e do valor da admitância série
km
km Z
Y = :
I pm = Ykm ( V p − Vm ) = Ykm ( akmVk − Vm )
I km = akmIpm = akmYkm^ (^ akmVk − Vm ) I km = akmYkmVk − akmYkmVm
2 (IV.12)
I mk = − Ipm =− Ykm ( a kmVk − Vm ) I mk = − akmYkmVk + YkmVm (IV.13)
Deste modo, o transformador em fase pode ser representado por um circuito equivalente do tipo π, conforme
está ilustrado na Figura IV.16.
k I (^) km
m I mk
V k A Vm
B C
A , B , C admitâncias
Figura IV.16 – Circuito equivalente π de um transformador em fase.
Para o modelo π da Figura IV.16, onde A , B e C são as admitâncias dos componentes, as correntes I km e
I mk são dadas por:
4 Lembrar que não há dissipação de potência ativa ou reativa no transformador ideal, logo:
= ⇒ = ⇒ = ⇒ = k
p
pm
km
k
p
pm
km km pm k km p pm V
V
I
I
V
V
I
I S S V I V I
I (^) km = A ( V (^) k − Vm ) + BVk =( A + B ) V (^) k − AVm I (^) km = ( A + B ) V (^) k +(− A ) V (^) m (IV.14)
I mk = A^ ( V^ m − Vk )^ + CVm =− AVk +(^ A + C ) V^ m I^ mk =^ (^ − A ) V^ k +(^ A + C ) V^ m (IV.15)
Comparando as expressões (IV.12) com (IV.14) e (IV.13) com (IV.15), tem-se:
( )
( (^) km ) (^) km
km km km
km km
C a Y
B a a Y
A a y
Observar que o valor de a determina o valor e a natureza dos componentes do modelo π da Figura IV.15:
a (^) km = 1 pu, ou seja, a (^) km = a NOM: A = ykm , B = C = 0
a (^) km < 1 pu, ou seja, a (^) km < a NOM: B < 0 (capacitivo) e C > 0 (indutivo)
a (^) km > 1 pu, ou seja, a (^) km > a NOM: B > 0 (indutivo) e C < 0 (capacitivo)
Exemplo IV.4 – Dado um transformador trifásico, 138/13,8 kV, 100 MVA, cuja reatância de dispersão vale
5% (na base do transformador), determinar o circuito equivalente do transformador se as bases do sistema
são:
a) 138/13,8 kV, 100 MVA
b) 169/16,9 kV, 200 MVA
c) 169/15 kV, 250 MVA
Solução:
a) Como x = 5 %= 0 , 05 pu, tem-se que:
Z (^) TR = j 0 , 05 pu
Y (^) TR =− j 20 pu
e o circuito equivalente é dado por:
I (^) (^1) I 2
V 1
V 2
− j 20
Admitância em pu
b) Observar que 0 , 1
138
a NOM (^) = = a = =.
( ) ( )
( )
( )
( )
3 pu(^ base 1 )
3 pu base 2
2
pu base 2
pu base 1 pu base 2 pubase 1
φ
φ
S
S
V
V
Z Z
L
L
0 , 0667 pu 100
2
Z (^) TR j = j
Y (^) TR =− j 15 pu
e o circuito equivalente é dado por:
I (^1) I 2
V 1
V 2
− j 15
Admitância em pu
