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III – A linha de transmissão
As linhas de transmissão são os equipamentos empregados para transportar grandes blocos de energia por grandes distâncias, entre os centros consumidores e os centros geradores. No Brasil, em função do parque gerador ser baseado na energia hidrelétrica, o sistema de transmissão desempenha um papel muito importante pois as distâncias entre os centros consumidores e geradores são elevadas.
Os dados do setor elétrico brasileiro podem ser obtidos nos boletins do Sistema de Informações Empresariais do Setor de Energia Elétrica (SIESE) que é parte do Sistema Integrado de Informações Energéticas (SIE) da Secretaria Geral do Ministério das Minas e Energia (MME). Um extrato do relatório, referente às linhas de transmissão encontra-se no Quadro III.1.
Quadro III.1 – Extensão das linhas de transmissão do setor elétrico brasileiro.
EXTENSÃO DE LINHAS DE TRANSMISSÃO - km Em 31.12 2001 1999 2000 2001 Entradas Retiradas 69 kV 40.023,0 39.973,0 39.973,0 0,0 0, 88 kV 3.290,7 3.290,7 3.290,7 0,0 0, 138 kV 55.723,2 56.080,1 56.080,1 0,0 0, 230 kV 33.869,9 34.040,7 34.072,7 32,0 0, 345 kV 8.952,3 8.952,3 8.952,3 0,0 0, 440 kV 6.384,4 6.497,6 7.002,6 505,0 0, 500 kV 16.952,7 18.617,2 18.721,5 104,3 0, 600 kV (corrente contínua) 1.612,0 1.612,0 1.612,0 0,0 0, 750 kV 2.114,0 2.379,0 2.683,0 304,0 0, Fonte: Boletim Semestral do SIESE Síntese 2001 (disponível em: http://www.eletrobras.gov.br/mercado/siese/).
Uma linha de transmissão de energia elétrica possui quatro parâmetros básicos: resistência série, indutância série, capacitância em derivação e condutância em derivação. Estes parâmetros influem diretamente no seu comportamento como componente de um sistema de energia elétrica mas, a condutância em derivação (utilizada para representar a fuga pelos isoladores e corona de linhas aéreas ou isolação dos cabos subterrâneos) geralmente é desprezada por ser muito pequena.
Assim, para a análise do regime permanente de uma linha de transmissão serão considerados apenas três parâmetros: resistência série, indutância série e capacitância em derivação.
III.1 – Tipos de condutores
Na construção de linhas de transmissão são empregados largamente os condutores de alumínio devido aos seguintes fatores:
- Menor custo e peso;
- Maior diâmetro que equivalente em cobre (portanto menor densidade de fluxo elétrico na superfície proporcionando um menor gradiente de potencial e menor tendência à ionização do ar – efeito corona).
Os tipos mais comuns de condutores de alumínio são:
CA Condutor de Alumínio (^) ≡ AAC All Aluminium Conductor
CAA Condutor de Alumínio com alma de Aço (^) ≡ ACSR Aluminium Conductor Steel Reinforced
Os nomes código dos cabos CA são nomes de flores (por exemplo: 4 AWG Rose; 266,8 MCM Daisy; 636 Orchid) e dos cabos CAA são nomes de aves (por exemplo: 1 AWG Robin; 636 MCM Grosbeak; 1590 Falcon).
III.2 – Resistência série
A resistência série é a principal causa das perdas de energia nas linhas de transmissão.
Em corrente contínua (CC) a resistência de um condutor é dada por:
A
l
RCC= ρ [Ω] (III.1)
onde:
ρ – Resistividade do condutor^1 [Ωm]
l – Comprimento [m] A – Área da seção transversal [m^2 ]
Na determinação da resistência dos condutores devem ser levados em conta os seguintes aspectos:
- Para a faixa normal de operação, a variação da resistência de um condutor metálico é praticamente linear, ou seja:
0 1
0 2 (^2 1) T T
T T
R R
= (III.2)
onde: R 1 –^ Resistência à temperatura T 1 [Ω] R 2 –^ Resistência à temperatura T 2 [Ω] T 0 –^ Constante do material (^2) [o (^) C]
- Em cabos encordoados, o comprimento dos fios periféricos é maior que o comprimento do cabo (devido ao encordoamento helicoidal). Isto acresce à resistência efetiva em 1 a 2%.
Em corrente alternada (CA) , devido ao efeito pelicular (skin), a corrente tende a concentrar-se na superfície do condutor. Isto provoca um acréscimo na resistência efetiva (proporcional à freqüência) observável a 60 Hz (em torno de 3%).
Exemplo III.1 – Para o cabo de alumínio Marigold 1113 MCM ( 61 × 3 , 432 mm), a resistência em CC a
20 oC é igual a 0,05112 Ω/km e a resistência CA-60 Hz a 50oC é 0,05940 Ω/km. Determinar:
a) O acréscimo percentual na resistência devido ao encordoamento.
b) O acréscimo percentual na resistência devido ao efeito pelicular.
Solução: a) A área da seção transversal do condutor é:
4 2
3 2 (^2 5) , 643 10 m 2
− = ×
×
A=Nπr = π
Utilizando a expressão (III.1), tem-se:
4 km
−
×
= = ×
A
R l
CC^ ρ
Portanto, o acréscimo devido ao encordoamento , ∆enc , é:
1 , 019 1 , 9 % 0 , 05015
= = ⇒ ∆enc = CC
ef CC R
R
(^1) Para o alumínio têmpera dura a 20o (^) C, ρ= 2 , 83 × 10 − (^8) Ωm.
(^2) Para o alumínio têmpera dura a 20 o (^) C, (^) T 228 C. 0 =^ o
A indutância do condutor composto x é igual ao valor médio da indutância dos fios dividido pelo número de fios (associação em paralelo), ou seja:
2
médio n
L L L L
n
n
L L L L
n
L
L a b c n
a b c n x x
K
K
[H/m]
Segue daí que:
( )( ) ( ) (^2) ( )( ) ( ) ln 2 n^ aa ab an ba bb bn na nb nn
Mn (^) aA aB aM bA bB bM nA nB nM x (^) D D D D D D D D D
D D D D D D D D D
L
L L L L
L L L L
= [H/m] (III.3)
onde. O numerador da expressão (III.3) é chamado de Distância Média Geométrica (DMG) e é
notado por ; o denominador é chamado de Raio Médio Geométrico (RMG) e é notado por. Assim,
Dαα =r α′ D m Ds
s
m x (^) D
D
L ln
= [H/m] (III.4)
com: D m –^ Distância Média Geométrica (DMG): Dm = Mn^ ( DaADaBLDaM)( DbADbBLDbM) L( DnADnBLDnM) [m] D s –^ Raio Médio Geométrico (RMG): Ds = n^2 ( DaaDabLDan)( DbaDbbLDbn) L( DnaDnbLDnn) [m]
Sendo f a freqüência de operação da linha, a reatância indutiva é dada por:
XL = 2 πfL x [Ω/m]
Em uma linha trifásica, com espaçamento assimétrico, a indutância das fases é diferente e o circuito é desequilibrado. Por intermédio da transposição da linha, é possível restaurar o equilíbrio das fases, do ponto de vista dos terminais da linha. A transposição consiste em fazer com que cada fase ocupe cada uma das posições nas torres por igual distância (para uma linha trifásica, três são as posições possíveis e deve-se fazer com que cada fase ocupe 1/3 do comprimento da linha em cada uma das três posições).
Considere a linha trifásica transposta com espaçamento assimétrico mostrada na Figura III.2.
3
1
2 D 13
D 12
D 23
Condutor B
Condutor C
Condutor C
Condutor B
Condutor C
Condutor B (^) Posição 1
Posição 2
Posição 3
(^1) / 3 comprimento 1 / 3 comprimento 1 / 3 comprimento Transposição Transposição
Condutor A
Condutor A
Condutor A
Figura III.2 – Linha trifásica com um ciclo de transposição.
Para a linha da Figura III.2, a indutância média por fase é dada por:
s
eq D
D
L ln
= [H/m] (III.5)
onde: D eq –^ Distância média geométrica entre condutores Deq = 3 D 12 D 23 D 31 [m]
D s –^ Raio médio geométrico do condutor [m]
Observar a semelhança entre as expressões (III.4) e (III.5). Em linhas constituídas por mais de um condutor por fase, o raio médio geométrico deve ser calculado como anteriormente, ou seja:
Ds =^ n^2 ( DaaDabLDan)( DbaDbbLDbn) L( DnaDnbLDnn)
e os termos empregados no cálculo da distância média geométrica (^ D 12 , D 23 eD 31 )
DxY
correspondem às
distâncias médias geométricas entre cada uma das combinações das fases, ou seja, é dado por:
D (^) xY =Dm=Mn^ ( DaADaBLDaM)( DbADbBLDbM) L( DnADnBLDnM)
III.4 – Capacitância em derivação
Para uma linha de transmissão monofásica formada por condutores de raio r, conforme a mostra Figura III.3, a capacitância entre os dois fios desta linha é dada por:
r
D
k C (^) ab ln
π = [F/m]
onde k é a permissividade do meio ( k 0 = 8 , 85 × 10 −^12 Fm= 8 , 85 × 10 −^9 Fkm, é a permissividade do vácuo,
geralmente empregada no cálculo de linhas aéreas). a b D Figura III.3 – Seção transversal de uma linha monofásica.
Assim, a capacitância de qualquer um dos fios ao neutro corresponde ao dobro do valor determinado pela expressão anterior (associação série de capacitores), conforme ilustra a Figura III.4.
a
Capacitância linha/linha
b
C (^) ab a
Capacitância linha/neutro
b
CaN CbN N
C (^) aN =CbN= 2 Cab
Figura III.4 – Capacitâncias linha/linha e linha neutro.
Desta forma, a expressão da capacitância entre linha/neutro , para uma linha monofásica é dada por:
r
D
k C (^) N ln
= [F/m] (III.6)
Para uma linha de transmissão trifásica espaçada igualmente e formada por condutores de raio r, conforme mostra a Figura III.5, a capacitância entre linha/neutro de qualquer uma das fases pode ser obtida, também, pela expressão (III.6).
D D
D
a
b
c
Figura III.5 – Seção transversal de uma linha trifásica.
Exemplo III.2 – Para as duas configurações abaixo (vertical e horizontal), determinar a indutância série e a capacitância em derivação por unidade de comprimento (km). Considerar que ambas as linhas são transpostas.
D
a b c
H
Horizontal
Superfície do solo
D D
H
D
20 m
7 , 0 m
1 , 021 cm(RMG)
1 , 257 cm
Cabo 636 MCMGrosbeak
8 , 85 10
410 0 9 Fkm
0 4 Hkm
=
=
=
=
= = ×
= = −
−
H
D
D
r
k k
s
μ μ π
a
b
c
Vertical
Solução: Para ambas as configurações, têm-se:
Deq= 3 D 12 D 23 D 31 =^3 D⋅D⋅ 2 D=D^32 ≈ 1 , 26 D= 8 , 82 m
logo, pela expressão (III.5):
H km
Hkm 3 4 (^0 1) , 35 10 0,01021m
8 , 82 m ln 2
ln 2
−
− = = = ×
s
eq D
D
L
Para a configuração vertical , tem-se: (^3) D (^) aβDbχDc α = 3 ( 2 H+ 3 D)( 2 H+D)( 2 H+ 2 D) =^3154818 ≈ 53 , 70 m
(^3) D (^) aαDbβDc χ = 3 ( 2 H+ 4 D)( 2 H+ 2 D) 2 H=^3146880 ≈ 52 , 76 m
logo, pela expressão (III.7), tem-se:
F km
(^9) Fkm 9
3
3
52,76m
ln^53 ,^70 m 0,01257m
ln^8 ,^82 m
ln ln
= ×
×
α β χ
β χ α a b c
eq a b c
N
D D D
D D D
r
D
k C
Negligenciando o efeito do solo, observar que a capacitância das configurações vertical e horizontal seria igual a:
F km Fkm 9 9 8 , 48 10
0,01257m
8 , 82 m ln
ln
= ×
×
π π
r
D
k C eq
N
Neste caso, a capacitância com relação ao neutro sem considerar o solo, CN′^ , corresponde a 99,6% de C (^) N^5.
Para a configuração horizontal , tem-se:
(^3) D (^) aβDbχDc α = 3 ( 2 H) 2 +D^2 ( 2 H) 2 +D^2 ( 2 H) 2 +( 2 D) 2 =^369883 , 37 ≈ 41 , 19 m
(^3) D (^) aαDbβDc χ = 32 H⋅ 2 H⋅ 2 H= 2 H= 40 , 00 m
logo, pela expressão (III.7), tem-se:
F km
(^9) Fkm 9
3
3
40,00m
ln^41 ,^18 m 0,01257m
ln^8 ,^82 m
ln ln
= ×
×
π π
α β χ
β χ α a b c
eq a b c
N
D D D
D D D
r
D
k C
Neste caso, a capacitância com relação ao neutro sem considerar o solo, CN′^ , corresponde a 99,5% de CN.
(^5) Isto explica porque o efeito da terra é muitas vezes desprezado no cálculo da capacitância das linhas de transmissão.
Exemplo III.3 (Provão 2002) – Questão relativa às matérias de Formação Profissional Específica (Ênfase Eletrotécnica).
Exercício III.1 – Descrever e demonstrar com exemplo as alterações necessárias na disposição dos cabos (altura, arranjo das fases, arranjo do bundle, etc.) para:
a) Reduzir a indutância série de uma linha de transmissão.
b) Aumentar a capacitância em derivação de uma linha de transmissão.
III.5 – O modelo da linha de transmissão
As linhas de transmissão são classificadas de acordo com seu comprimento:
- Linhas curtas: até 80 km.
- Linhas médias:até 240 km.
- Linhas longas: mais de 240 km
Embora as linhas nem sempre possuam espaçamento eqüilátero e sejam plenamente transpostas, a assimetria resultante em sistemas de alta e extra-alta tensão é pequena e as fases podem, geralmente, ser consideradas equilibradas (via de regra, a carga é bastante equilibrada).
Os parâmetros utilizados nos estudos de fluxo de carga para representar linhas curtas e médias podem ser obtidos diretamente das expressões anteriores – basta multiplicá-los pelo comprimento da linha de transmissão. Para linhas longas é necessário fazer uma correção para considerar que os parâmetros são distribuídos.
Qualquer linha de transmissão pode ser representada de modo exato, a partir dos seus terminais, por um
circuito π equivalente, como mostrado na Figura III.7, onde:
Z km –^ Impedância série total da linha de transmissão [Ω] Y km –^ Admitância em derivação (linha/neutro) total da linha de transmissão [S]
γ – Constante de propagação da linha: γ =α+j β= z⋅y [1/km]
z –^ Impedância série por unidade de comprimento [
km] y –^ Admitância em derivação (linha/neutro) por unidade de comprimento [
S/
km]
α – Constante de atenuação [neper/km]
β – Constante de fase [rad/km]
l – Comprimento da linha [km]
k (^) l Z Z l km km ⋅
′ = ⋅ γ
senh γ
2
Y km
′
m
2
2
tanh
2 2 l
l Y km Ykm ⋅
⋅
′
γ
γ
Figura III.7 – Circuito π equivalente de uma linha de transmissão.
Para linhas de transmissão médias , tem-se que:
1
senh ≈ ⋅
l
l
e 1
tanh
2
⋅
⋅ l
l γ
γ
Logo, para linhas de transmissão médias , pode-se utilizar diretamente a impedância série total da linha (pois
Z km =Z km
′ (^) ) e a metade da admitância em derivação total (pois Y km 2 =Zkm 2
′ (^) ), resultando no chamado
circuito π nominal.
Para linhas de transmissão curtas , pode-se desprezar a admitância em derivação e utilizar-se somente a impedância série total da linha.
Observar que, geralmente, a condutância em derivação é insignificante, ou seja, a admitância em derivação é composta apenas pela susceptância em derivação shunt
Exercício III.2 – Para a configuração vertical do Exemplo III.2, determinar o circuito equivalente, considerando a resistência em corrente alternada por unidade de comprimento igual a r = 0 , 10054 Ωkm, 60
Hz, e que o comprimento da linha é:
a) 500 km (linha longa)
b) 150 km (linha média)
c) 50 km (linha curta).
Após realizadas as correções necessárias para levar em conta o comprimento, a representação das linhas de transmissão no fluxo de carga é realizada pelo seu equivalente π, mostrado na Figura III.8 que é definido por
três parâmetros: a resistência série rkm ; a reatância série xkm e a susceptância em derivação (shunt) bkmsh.
k (^) rkm jxkm I km
sh jbkm jbkmsh
m I I mk
Vk = Vk θ k Vm =Vm θm
Figura III.8 – Modelo equivalente π de uma linha de transmissão.
A impedância e admitância do elemento série são dadas por:
Z (^) km =rkm+jx km
2 2 2 2
km km
km km km
km km km
km km km r x
x j r x
r r jx
Y g jb
Para uma linha de transmissão, e são positivos (portanto, é positivo e é negativo) e o
elemento em derivação, b , também é positivo em função de representar a capacitância linha/neutro da
linha de transmissão.
r km xkm g (^) km bkm sh km
As correntes I km e I mk são obtidas a partir dos fasores tensão das barras k e m ( V k =Vk θk e
Vm = Vm θ m, respectivamente):
I km = Ykm (V k−Vm) +jbkmshVk=(Y km+jbkmsh)V k−YkmVm (III.8)
I mk = Ykm (V m−Vk) +jbkmshVm=(Y km+jbkmsh)V m−YkmVk (III.9)
As expressões (III.8) e (III.9), podem ser arranjadas de outra forma, tendo em vista possibilitar a representação da linha de transmissão por um quadripolo, conforme mostrado na Figura III.10.
I (^) km Imk
Vk = Vk θ k Vm =Vm θm
⋅
=
km
k mk
m I
V C D
AB I
V
Figura III.10 – Linha de transmissão representada por um quadripolo.
Isolando V mem (III.8), chega-se a:
[ ( ) ] km ( km kmsh) k km km
km
k km
shkm km kmsh k km km
m I Z jb V Z I Y
V Y
Y jb V I jb Y
V (^) − = + −
= + − = + 1
1 1
1 (III.15)
Em (III.9), substituindo V (^) m, pela expressão (III.15), tem-se:
( ) km
km
sh k km km
sh km kmsh kmsh kmsh km km
sh km k km km
sh km kmsh km kmsh km
km km k km
sh k km km km
sh km k km kmsh km
V
km km
k km
sh mk km kmsh km
I Y
jb V Y
jb I jb jb jb Y
jb Y V Y
jb Y jb Y jb
I Y V Y
V Y jb Y
I Y V Y jb jb Y
V Y
I Y jb jb
m
− +
= + +
− +
= + + + −
− + − =
− = + +
−
= + +
1 1
1 1 1
644 44744 448
km kmsh^ (^ km kmsh)^ k (^ km kmsh)^ km
km
sh k km km
sh sh km mk (^) km Y I jb Z jb V Z jb I V jb Y
I jb jb = + − +
− +
= 2 + 1 2 1 (III.16)
Assim, os parâmetros do quadripolo são: A = 1 +Zkm jbkmsh B =−Zkm
C = jbkmsh ( 2 +Zkmjbkmsh) D = −( 1 +Zkm jbkmsh).
Exemplo III.4 (Provão 2000) – Questão relativa às matérias de Formação Profissional Específica (Ênfase Eletrotécnica).
