Sobre as Funções do 2º Grau, Notas de estudo de Matemática

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1)1)1)1) Esboçar o gráfico, apresentar seu domínio e determinar o conjunto

imagem da função real definida por f(x) = x²-10x+

• A função é do tipo f(x) = ax² + bx + c , onde a = 1 , b=-10 e c=
• Como a>0
  a parábola é côncava para cima.
• A somasomasomasoma das 2 raízes deve ser o valor de b com sinal trocado e

o produtoprodutoprodutoproduto delas deve ser o valor c com o mesmo sinal.

Portanto, as raízes são : x’ = 5 e x’’ = 5.

• Quando x=0 o gráfico corta o eixo y.

Então f(x) = 0-10.0+25
f(x) = y = 25 ( ponto onde o gráfico corta o eixo y ).

• Vértice da parábola :

x 5 2

2 a

b x (^) V = → V =

Substituindo xV = 5 na função dada temos o y (^) V :

y f(x ) f( 5 ) 5 10. 5 25 f(xV) 0

2 V = V = = − + → =

• Podemos usar também 4 a

yV

D = { x ∈R}

Im = { ∈ ∈ ≥ 0 }

y R ou y R/y

333 3)))) Qual das funções reais definidas a seguir tem como gráfico a

parábola representada na figura abaixo?

e)y x 2 x

d)y x x

c)y x x

b)y x 7 x 10

a)y x 7 x 10

2

2

2

2

2

A parábola é côncava para cima, então a>0 (positivo) e a=

Em y ax bx c

2 = + + , cccc é o ponto onde o gráfico corta o eixo y.

Então, no gráfico dado c=

0 x (^) V é positivo, ou seja,

x 1

x

2 a

b x

V

V

V

O y (^) V é negativo, ou seja,

y 1 4

y

y

y

4 a

(b 4 ac) x

4 a

y

V V

V

2

V

2

V

V

ObsObsObsObs.: Como o eixo y corta a parábola na parte decrescentedecrescentedecrescentedecrescente , significa que b < 0b < 0b < 0b < 0

444 4)))) Um avião sobrevoou um campo onde havia um alvo desenhado. Quando

estava exatamente 25m acima do alvo, soltou um bomba que caiu em queda

livre formando uma trajetória parabólica. Se a bomba caiu 5m distante

do alvo, qual a função que descreve a trajetória da bomba?

CCCC é o ponto onde a parábola corta o eixo yeixo yeixo yeixo y. Logo C=

Se b=0b=0b=0b=0 , a parábola é simétrica em relação ao eixo yeixo yeixo yeixo y.

Se a parábola é côncava para baixo , a<

Logo : y x 25

2 =− +

555 5)))) O gráfico da função dada pela lei y ax bx c

2 = + + com a ≠ 0 , é a

parábola esboçada a seguir, que tem vértice no ponto VVV.V A partir do

esboço, o que se pode concluir a respeito de aaaa , bbbb e cccc?

c 0 (pois c y )

a 0

< I

0 b 0 2 .( )

( ). b

2a

• b xV 0 < → >

777 7)))) O gráfico seguinte representa uma função quadrática y = ax²²²²+bx+c Os

valores de aaaa, bbbb e cccc valem respectivamente :

Da figura, C =C =C =C = ----1 11 1 , pois C é o ponto onde a curva corta o eixo y.

x = 1 é raízraízraízraíz de y , então y = 0 ou seja :

0 a. 1 b. 1 1 a b 1 0 ( 1 )

2 = + − → + − =

Note-se no gráfico que para x = 2x = 2x = 2x = 2 temos y =y = -y =y =---1 11 1 , ou seja :

1 a. 2 b. 2 1 4 a 2 b 1 1 4 a 2 b 1 0

2 − = + − → + − =− ∴ + − = (2)

Resolvendo (1) e (2) temos:

+ = × −

• 2b -4 b 2 a -

4 a 2 b 0

4 a 4 b 4

4 a 2 b 0

a b 1 ( 4 )

Portanto: a=-1 , b=2 , c=-

888 8)))) O gráfico seguinte representa a função real f (x) x kx p

2 = + + com k

e p reais. O valor de pppp----kkkk vale :

Temos :

f( 1 ) 1 k. 1 p 4 1 k p p k 3 ( 1 )

f(x) x kx p

2

2

A parábola possui apenas uma raíz
∆= 0

Então :

k k 4. 1 .p 0 k 4 p 0 p

b 4 .a.c 0

2 2 2

2

(2)
(1) :



k 6

k 2 k 3 k 4 k 12 0 4

k (^2)

2

Se



k 6 p 9 p k 15

k 2 p 1 p k 1

( 2 )

( 2 )

Se

vértice de f(x) x 3

x 3 p 9 e k 6 f(x) x 6 x 9

(NÃO SERVE)

x 1

x 1 p 1 e k 2 f(x) x 2 x 1

2

2

Portanto : p – k = 15

101010 10)))) Na figura, temos os esboços dos gráficos das funções

2 f (x)= 4 − x e

g( x) x 4 x m

2 = − + , que se interceptam em um único ponto T de abscissa kkkk.

O valor de k + m vale :

[ ]

T [k ,g(k)] g(x) g(k) k 4 k m

Tk,f(k) f(x) f(k) 4 k

2

2

T ∈ f(x) e T∈g(x) ⇒ T∈ ( f(x)Ig(x)) → f(k)=g(k)

Daí, 4 k k 4 k m 2 k 4 k m 4 0 ( 1 )

2 2 2 − = − + → − + − =

Resolvendo (1) temos :

12 2 m k 1

1. 2

( 4 ) ( 4 ) 4. 2 .(m 4 ) k

2 − ∴ = ±

Como o ponto TTT é únicoT únicoúnicoúnico então em (2) ∆ = 0 , isto é ,

12 − 2 m= 0 ∴ m= 6

Daí , k 1

2

k 1 2

k 1 → = ± ∴ =

Portanto , k +m= 7

11)11)11)11) Se um cabo suporta um peso homogêneo muito maior que o seu

próprio peso, ele toma a forma de uma parábola.

As torres AD e BC de uma ponte pênsil medem 200 metros e são

perpendiculares à pista de rolamento CD que mede 1.000 metros. O cabo

de sustentação preso às torres nos pontos A e B tem a forma de uma

parábola com vértice no ponto médio O de CD, conforme a figura a

seguir:

a) Determine, em relação ao sistema Oxy, a equação da parábola de

vértice O que passa pelos pontos A e B.

b) Se o fio de aço EF de 72 metros de comprimento é preso ao cabo de

sustentação n ponto E e é perpendicular à pista de rolamento no ponto

F (conforme mostra a figura), calcule a medida de FC.

Seja f (x) ax bx c

2 = + +

Da figura :

Logo, b 0

ográfico é simétrico em relação ao eixo y

c 0 pois f(x) intercepta o eixo y em 0

a 0

a)

1250

x f(x) ax 200 a. 500 f(x)

2 2 2 = → = ∴ =

b) .x x 90. 000 x 300 x 300 F

1250

2 = → =± → =± ∴ = =

Portanto, FC = 500 − 300 ∴ FC= 200

13)13)13)13) A relação entre o preço ppp de determinado produto e a quantidade qp qqq

disponível no mercado obedece à seguinte lei: 5 q p 2 p 3

2 = + − , sendo

pppp e qqqq quantidades positivas e q ∈[ 1 ; 9 ]

Determine uma expressão que defina pppp em função de qqqq

1ª Maneira :1ª Maneira :1ª Maneira :1ª Maneira :

Completando quadrado :

Temos que : p 2 p 3 ( p 1 ) 4

2 2

• − = + −

Logo :

p 1 4 5 q p 1 4 5 q

p 1 4 5 q

p 1 4 5 q

2

2

2ª maneira :2ª maneira :2ª maneira :2ª maneira :

Usando a fórmula de Bháskara:

Temos :

p 1 4 5 q

2 2 4 5 q p

2 4. 4 5 q p

2 16 20 q p

2 4 12 20 q p

2 2 4. 1. 3 5 q p

p 2 p 3 5 q 0

p 2 p 3 5 q 0

p 2 p 3 5 q

2

2

2

2

Como pppp é uma quantidade positiva temos : p =− 1 + 4 + 5 q

14)14)14)14) Sejam f e g funções quadráticas, com f (x) ax bx c

2 = + +. Sabe-se

que o gráfico de g é simétrico ao de f em relação ao eixo y, como mostra

a figura.

Os pontos P e Q localizam-se nos

maiores zeros das funções f e g, e o

ponto R é o intercepto de f e g com o

eixo y. Portanto, a área do triângulo

PQR, em função dos parâmetros a, b e c

da função f vale :

a)

a − b. c b)

a + b. c c) 2

a .b. c d) 2 .a

b. c − e) 2 .a

c

2

Temos que :

2

base. altura S (^) ∆PQR =

Da figura :

( )

x x. c S

1 2 PQR

Sabemos que

a

b x 1 + x 2 =− ( Relação de GirardRelação de GirardRelação de GirardRelação de Girard ) (2)

Substituindo (2) em (1) teremos :

2 a

b. c S (^) ∆PQR =−

2ª solução :2ª solução :2ª solução :2ª solução :

( 1 ) 2

bd

8

ad h 2

bd

8

ad h 2 h 4

bd

16

ad

2

h 2 h

4

bd

16

ad h 2

h h 4

bd

16

ad

2

h y

y ax bx c

2 2 2

2 2

4

d

2

−

− = + → − = + → =

− →

∈ → = + + → − = + →

= + +

( 2 ) 2

bd

4

ad h h 2 2

bd

4

ad y 2

2 2

2

d ∈ → = + + → = − −

Resolvendo (1) e (2) :

2 ad ad 4 bd 4 bd 16 ad 16 ( 3 )

8

16 2 ad 4 bd

8

ad 4 bd

2

bd

4

ad 2 2

bd

8

ad

2 2 2

2 2

2 2

− + − = → =

− −

− −

− = − −

−

Como dddd ∈∈∈∈ yyyy e tendo em vista (3) , temos :

h ad bd h ad bd 0 16 bd 0 bd 16 ( 4 )

2 2 = + + → + = → + = → =−

Substituindo (3)(3)(3)(3) e ((((4 44 4)))) em (1)(1)(1)(1) temos :

h 6 ( 5 ) 8

16 64 h 2

16

8

16 h → =

− + → =

− −

−

Como (^3) d 48 d 16

8

3 d 6 8

3 d h

( 5 ) =  → = → = ∴ =

Calculando os valores de aaaa , b ,, b ,, b ,, b , cccc em (3) e (4) e (5) teremos :

x 6 16

x y

2 = − + , que é a equação da parábola.

16)16)16)16) O preço cobrado por um lote de x unidades de uma certa peça é dado

pela função 2 x 15 5

x p(x)

2

= − + , em milhares de reais. Um comerciante

precisa adquirir 30 unidades dessa peça. Ele fará maior economia se

dividir sua compra em :

a) 6 lotes de 5 peças

b) 4 lotes de 5 e 1 lotes de 10 peças

c) 2 lotes de 10 e 2 lotes de 5 peças

d) 3 lotes de 10 peças

e) 2 lotes de 15 peças

Analisemos o preço dos lotes de 5 , 10 e 15 peças :

1. 15 15 p( 15 ) 30 reais 5

p( 15 )

1. 10 15 p( 10 ) 15 reais 5

p( 10 )

1. 5 15 p( 5 ) 10 reais 5

p( 5 )

2

2

2

Analisando as alternativas dadas temos :

e) 2 p( 15 ) 2 30 60 reais

d) 3 p( 10 ) 3 15 45 reais

c) 2 p( 10 ) 2 p( 5 ) 2 15 2 10 50 reais

b) 4 p( 5 ) 1 p( 10 ) 4 10 1 15 55 reais

a) 6 p( 5 ) 6 10 60 reais

× → × =

× → × =

× + × → × + × =

× + × → × + × =

× → × =

Logo a alternativa d)d)d)d) é a mais econômica ( 3 lotes de 10 peças)

18)18)18)18) Considere a figura ao lado, em que

os lados do retângulo medem 10 e 3x

metros, e determine para a área

hachurada :

a) a função de x que fornece a área ;

b) o valor de x para que a área seja

máxima ;

c) o valor da área máxima ;

d) faça um esboço do gráfico representativo da área.

Temos : S 10. 3 x 2 .x S 2 x 30 x

2 2 = − ∴ =− +

Daí, x 7 , 5 2 .( 2 )

x 2 a

b x (^) MÀX MÀX ∴ MÀX = −

Logo,

2 MAX

2 MAX

MAX

2 MAX MAX

S 2. 7 , 5 30. 7 , 5 S 112 , 5 m

S 2 x 30 x

Veja o esboçoesboçoesboçoesboço do gráfico que representa a área :

ObsObsObsObs.: para efeitos de melhor visualização, o os eixos nãonãonãonão estão na mesma escala.

19)19)19)19) Um artesão produz lembranças que vende a turistas por xxxx reais cada

uma. Com esse preço, ele sabe, por experiência, que seu lucro mensal é

obtido da expressão L( x)= 400 .( 15 −x) .( x− 3 ). Determine, em reais, o

preço pelo qual ele deverá vender cada lembrança para obter o maior

lucro mensal possível

Temos:

L(x) 400 x 7200 x 1800

L(x) 40015 x 45 x 3 x

L(x) 400. 15 x.x 3

2

2

Queremos o preço x (^) MAX de venda, logo :

x 9 reais 2 .( 400 )

x 2 a

b x (^) MAX MAX ∴ MAX = −

ObsObsObsObs.: para efeitos de melhor visualização, o os eixos nãonãonãonão estão na mesma escala.

20)20)20)20) A função f, definida em ℜ por f (x) x 6 x (k 1 )

2 = − + − , tem ponto de

mínimo P(3; -1). Nessas condições o valor de kkkk é :

Sendo P(3; -1) ponto de mínimo, temos :

k 9

k 9 18

1 3 6. 3 k 1

f(x ) x 6 x (k 1 )

2

MIN

2 MIN MIN