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Sucessões
Atividade de diagnóstico
Pág. 148
1. un = 2 n − 3
1.1. un = 115 ⇔ 2 n − 3 = 115 ⇔
⇔ 2 n = 118 ⇔ n = 59
A sequência tem 59 termos.
1.2. u 1 (^) = −1 , u 2 (^) = 1 , u 3 (^) = 3 , u 4 (^) = 5 e u 5 = 7
1.3. u 21 (^) = 2 × 21 − 3 = 42 − 3 = 39
1.4. un = 96 ⇔ 2 n − 3 = 96 ⇔ 2 n = 99
⇔ n = ∉ ℕ
2.1. a) 3 n + 5 b)
2
n
n
2.2. u 1 (^) = 8 , u (^) 2 = 11 , u 3 (^) = 14 e u 4 = 17
2 1 u 1 (^) 2 2
− = = ;
2 2 0 u 2 (^) 2 2 1
− = = =
2 3 1 3
u
− − = = = ;
2 4 2 (^4 )
u
− − = = = =
Logo, o termo geral pode ser
2 2
−
n u n.
3.2. a)
2 2
n u n
− = ;
2 10 8 (^10 )
u
− − = = = =
b)
(^2) ( 1 ) (^2 1 ) 1 2 2 2
n (^) n n u n
− + (^) − − −
Pág. 149
4.1. a) [–6 , –1] e em [2 , 6] b) [–1 , 4]
4.2.
x –6 –1 2 4 6
f ( x ) –3 ↗ 4 ⟶ –2 → –2 ↗ 0
4.3. f é crescente em [–6 , –1] e em [4 , 6] e é decrescente em
[–1 , 2].
5.1. a) Máximo absoluto: 6
b) Mínimo absoluto: não existe
5.2. A função é limitada, porque − 5 < g (^) ( x )≤ 6 , qualquer que
seja x ∈ Dg.
Pág. 150
Atividade inicial 1
1. Df ′ = −] 3 , 3]
2.1. ] −∞ , − 3 ] 2.2. [ 3 , + ∞[
3. –5 é minorante de f e 5 é majorante de f , logo
∀ ∈ x Df , − 5 ≤ f ( x )≤ 5.
4.1. Máximo absoluto de f : 3
4.2. Mínimo absoluto de f : não existe
5. f é decrescente em [–3 , 0] e em ]1 , 4[.
Pág. 152
1. A = −[ 3 , 0 (^) [ ∪{ 2 , 5}
1.1. a) 5 e 6 , por exemplo b) –4 e –3 , por exemplo
c) (^) [ 5 , + ∞[ d) (^) ] −∞ , − (^3) ]
1.2. Mínimo de A : –3 ; máximo de A : 5
1.3. O conjunto A tem minorantes e majorantes.
Logo, A é limitado.
1.4. Por exemplo, B = −[ 4 , + ∞[.
Majorantes Minorantes Supremo Ínfimo Máximo Mínimo
2.1. [2, +∞[ ]–∞, 1] 2 1 2 1
[2, +∞[ ]–∞, 1] 2 1 não tem 1
[6, +∞[ ]–∞, –5] 6 –5 6 não tem
[6, +∞[ ∅ 6 não tem 6 não tem
2.5. (^) ∅ ]–∞, 1] não tem 1 não tem 1
∅ ∅ não tem não tem não tem não tem
2.7. ∅ ]–∞, 3] não tem 3 não tem 3
Pág. 153
3.1. a 1 (^) = 2 , a 2 (^) = 4 , a 3 (^) = 8 , a 4 (^) = 16 e a 5 = 32
3.2. b 1 (^) = b 2 (^) = b 3 (^) = b 4 (^) = b 5 = 30
3.3. c 1 (^) = −1 , c 2 (^) = −3 , c 3 (^) = −5 , c 4 (^) = −7 e c 5 = − 9
1 , , , e 2 3 4 5
d = d = − d = d = − d =
3.5. e 1 (^) = e 2 (^) = e 3 (^) = e 4 (^) = e 5 = 5
f 1 (^) = 0 , f 2 (^) = 2 , f (^) 3 = 0 , f 4 (^) = 2 e f 5 = 0
2 1 n
n u n
4.1. a) u 1 (^) = 0
b) 2
u =
c)
( )
2 2 2
1
n
n (^) n n n n u n n n
2 (^12) 9,9 9,9 9,9 1 0 n
n u n n n
2 9,9 9,9 4 9,9 102,
2 2
n n
n n n
∈ ± ⇔ = ⇔ =
ℕ
10 u =9,
2 (^12) 6 6 6 1 0 n
n u n n n
n
6 não é termo da sucessão.
Pág. 155
5.1. (^) 2 1 u (^) n = n +
u (^) n + 1 − un = (^2) ( n + (^1) ) + 1 − (^) ( 2 n + (^1) )=
= 2 n + 2 + 1 − 2 n − 1 = 2 > 0 ,∀ n ∈ ℕ
1
n n n u u
( un^ ) é crescente.
1
n n
n n n n u u n n n n
( )
2 2
2
n n n n n n n n n n
1
n n n u u
A sucessão (^) ( ) n u é crescente.
3.1. Sucessões de números reais
n u n =
1 1 2 2 2 2 2 2 0 ,
n n n n n un un n
- −^ =^ −^ =^ ×^ −^ =^ >^ ∀^ ∈^ ℕ
∀ n ∈ ℕ, un (^) + 1 − un > 0
A sucessão (^) ( un (^) )é crescente.
6.1. un = 1 − 3 n
un (^) + 1 − un = 1 − (^3) ( n + (^1) ) − (^) ( 1 − 3 n )=
= 1 − 3 n − 3 − 1 + 3 n = − 3 < 0
∀ n ∈ ℕ, un (^) + 1 − un < 0
A sucessão (^) ( un (^) )é decrescente.
n^1
n u n
1
n n
n n u u n n
( ) ( )
2 2 2 2 1 1 0 , 1 1
n n n n n n n n n
∀ n ∈ ℕ, un (^) + 1 − un < 0
A sucessão ( un )é decrescente.
Pág. 156
7.1. a)
an 6 n
1
a n an n n
( ) ( )
n n n n n n n n n
an (^) + 1 − an > 0 ,∀ n ∈ ℕ
A sucessão ( an )é monótona crescente.
b) 6 ( 1 )
n b n = + −
b 1 (^) = 5 , b 2 (^) = 7 , b 3 = 5
b 2 (^) > b 1 (^) e b 3 (^) < b 2
A sucessão ( bn )é não monótona.
c)
n
n c n
1
n n
n n c c n n
( )( )
2 2 4 4 3 2 6
n n n n n n
n n
( )( )
n n n
A sucessão ( cn )é monótona decrescente.
d) ( )
2 d (^) n = 6 − n
d (^) 5 = 1 , d 6 (^) = 0 , d 7 = 1
d (^) 6 < d 5 (^) e d (^) 7 > d 6
A sucessão (^) ( ) n d é não monótona.
7.2. (^) ( 3 )
n n e = −
1 2 3 e = −3 , e = 9 , e = − 27
2 1 3 2 e > e ∧ e < e.
Logo, a sucessão (^) ( ) n e é não monótona.
7.3. (^) ( 1 ) 2
n f (^) n = − + n
( ) ( ) ( )
1 1 1 2 1 1 2
n n f (^) n f (^) n n n
( 1 )^ ( 1 )^2 2 ( 1 )^2
n n = − × − + n + − − − n =
= − − ( 1 ) − −( 1 ) + 2 = − (^2) ( − (^1) ) + 2 =
n n n
0 se é par
4 se é ímpar
n
n
f (^) n + 1 − f (^) n ≥ 0 ,∀ n ∈ ℕ
A sucessão (^) ( f (^) n )é monótona crescente em sentido lato.
7.4. g (^) n = 2 n − 5
g (^) n + 1 − gn = (^2) ( n + (^1) ) − 5 − (^) ( 2 n − (^5) )=
= 2 n + 2 − 5 − 2 n + 5 = 2 > 0 ,∀ n ∈ ℕ
∀ n ∈ ℕ, g (^) n + 1 − gn > 0
A sucessão (^) ( g (^) n )é monótona crescente.
1
1
n n
hn hn
n n = (^) × − (^) =
= − = × > ∀ ∈
n n
n
∀ n ∈ ℕ, hn (^) + 1 − hn > 0
( hn^ ) é monótona crescente.
Pág. 158
an 1 n
n
n
∀ n ∈ ℕ , − 1 < an ≤ 0 , logo a sucessão (^) ( an (^) )é limitada.
8.2. bn = 3
A sucessão (^) ( bn (^) )é constante, logo é limitada.
8.3. ( )
n cn n
= − ×
0 1 , n n
cn 1 , n n
Como ∀ n ∈ ℕ, cn ≤ 1 , ( cn )é limitada.
se é par
1 se é ímpar
n
n d n
n
Se n é par:
1 1 0 n 2
< d n ≤
Se n é ímpar, (^1) dn = −
Logo,
n ∀ n ∈ ℕ − ≤ d ≤.
A sucessão (^) ( ) n d é limitada.
3.1. Sucessões de números reais
Pág. 162
15.1. Seja P n ( (^) )a condição em ℕ.
( )
2
1
n
k
k n
∑^ −^ =
- P (^) ( 1 ) é uma proposição verdadeira, pois
( )
1 2
1
k
k
∑ −^ =^ ⇔^ −^ = (verdadeira)
- P n ( (^) ) ⇒ P n ( + (^1) )
( )
2
1
n
k
H k n
∑^ −^ =
( ) ( )
1 2
1
n
k
T k n
=
∑^ −^ =^ +
( ) ( ) ( )
1 1
1 1 1
n n n
k k k n
k k k
= = = +
∑ −^ =^ ∑ −^ +^ ∑ −^ =
( )
2 = n + 2 n + 1 − 1 =
2 = n + 2 n + 1 =
( )
2 = n + 1
Assim, P n ( (^) )é hereditária.
Portanto, pelo princípio de indução matemática, P n ( ) é
universal, ou seja: (^) ( )
2
1
n
k
n k n
∀ ∈ ℕ ∑ − =
15.2. Seja P n ( (^) )a condição em ℕ.
( ) ( ) ( ) 1
n
k
P n k n n
⇔ (^) ∑ = +
- P (^) ( 1 ) é uma proposição verdadeira, dado que
( ) ( )
1
1
k
k
∑ =^ +^ ⇔^ ×^ = (verdadeiro)
- P n ( (^) ) ⇒ P n ( + (^1) )
( ) ( ) 1
n
k
H k n n
∑^ =^ +
( ) ( )( )
1
1
n
k
T k n n
=
∑^ =^ +^ +
( ) ( ) ( )
1 1
1 1 1
n n n
k k k n
k k k
= = = +
∑ =^ ∑ +^ ∑ =
= n n ( + (^1) ) + (^2) ( n + (^1) )=
= (^) ( n + (^1) ) (^) ( n + (^2) )
Logo, P n ( (^) )é hereditária.
Pelo princípio de indução matemática, P n ( (^) ) é universal, ou
seja, (^) ( ) ( ) 1
n
k
n k n n
∀ ∈ ℕ (^) ∑ = +.
15.3. Seja P n ( (^) )a condição em ℕ.
( )
( )
2 2 3
1
n
k
n n P n k =
⇔ (^) ∑ =
- P (^) ( 1 )é uma proposição verdadeira, pois:
1 2 2 3 3
1
k^4
k
×
∑^ =^ ⇔^ =^ ⇔^ =
- P n ( (^) ) ⇒ P n ( + (^1) )
( )
2 2 3
1
n
k
n n H k =
∑ =
( ) ( )
2 2 3
1
n
k
n n T k =
∑ =
1 1 3 3 3
1 1 1
n n n
k k k n
k k k
= = = +
∑ =^ ∑ +^ ∑ =
( ) ( )
2 2 (^1 ) 1 4
n n n
( ) ( ) (^ )^ (^ )
2 3 2 2 (^2 1 4 ) 1 4 1
+ + + +^ ^ +^ +
n n n^ n^ n^ n
( ) (^) ( ) ( ) ( )
(^2 22 ) (^1 4 4 1 )
n n n (^) n n
Logo, P n ( ) é hereditária.
Pelo princípio de indução matemática, P n ( (^) ) é universal.
Assim,
( )
2 2 3
1
n
k
n n n k =
∀ ∈ ℕ (^) ∑ =.
Pág. 163
16. Seja P n ( (^) ) a condição, em ℕ ,
n − é múltiplo de 9
- P (^) ( (^1) ) é verdadeira, dado que
1 64 − 1 = 63 e 63 = 9 × 7. Logo,
1 64 − 1 é múltiplo de 9
- P n ( ) (^) ⇒ P n ( + (^1) )
n H − é múltiplo de 9 1 : 64 1
n T
− é múltiplo de 9 1 64 1 64 64 1
n + n − = × − =
(^64) ( 63 1 ) 1
n = + − =
n n = × + − =
(^9 7 64) ( 64 1 )
n n = × × + −
Como 9 7 64
n × × é múltiplo de 9 e, por hipótese, 64 1
n − é
múltiplo de 9, então
1 64 1
n + − é múltiplo de 9 por ser a
soma de dois múltiplos de 9.
Logo, P n ( (^) ) é hereditária e, como P (^) ( 1 ) é verdadeira,
então, pelo principio de indução matemática, é universal, ou
seja,
, 64 1
n ∀ n ∈ ℕ − é múltiplo de 9
17.1. Seja P n ( (^) ) a condição, em ℕ
2 n + 3 n é um número par
- P (^) ( (^1) ) é verdadeira porque
2 1 + 3 × 1 = 4 pelo que é um número par
- P n ( ) (^) ⇒ P n ( + (^1) )
2 H : n + n é um número par
( )
2 T : n + 1 + n + 1 é um número par
( )
2 n + 1 + n + 1 =
2 = n + 2 n + 2 + n + 1 =
( )
2 = n + n + 2 n + 2 =
( ) ( )
2 = n + n + 2 n + 1
Como, por hipótese,
2 n + n é um número par e
∀ n ∈ ℕ , 2 ( n + (^1) )é um número par, então
Por hipótese
Por hipótese
3.1. Sucessões de números reais
( ) ( )
2 n + 1 + 2 n + 1 é um número par por ser a soma de dois
números pares.
Portanto, P n ( ) é hereditária e como P (^) ( 1 )é verdadeira,
pelo princípio de indução matemática, P n ( ) é universal:
2 ∀ n ∈ ℕ , n + 3 n é um número par
17.2. Seja P n ( (^) )a condição, em ℕ ,
n n <
- P (^) ( 1 ) é verdadeira porque
1 1 < 3
- P n ( (^) ) ⇒ P n ( + (^1) )
n H n < 1 : 1 3
n T n
< ⇒ < × ⇒ + < ⇒
n n n n n n n 1 1 3
n n
⇒ + < , porque ∀ n ∈ ℕ, 1 < 2 n
Logo, P n ( (^) )é hereditária.
Pelo princípio de indução matemática, P n ( (^) )é universal, ou
seja, , 3
n ∀ n ∈ ℕ n <.
Pág. 164
18. Em ℕ , se n é múltiplo de 5, então n + 1 não é múltiplo de 5. Como 5 n é múltiplo de 5 , então ∀ n ∈ ℕ, 5 n + 1 não é
múltiplo de 5.
Se 5 n + 1 é múltiplo de 5, (^5) ( n + (^1) ) + 1 = (^) ( 5 n + (^1) ) + 5 é
múltiplo de 5 por ser a soma de múltiplos de 5.
Logo, a condição é hereditária.
19. Seja P n ( ) a condição, em ℕ 0 ,
( ) ( )
2
0
n
k
k n
∑^ +^ =^ +
- P (^) ( 0 )é verdadeira pois:
( ) ( ) ( )
2
0
=
∑^ +^ ⇔^ +^ ⇔^ ×^ +^ =^ ⇔^ =
n
k
k
- P n ( (^) ) ⇒ P n ( + (^1) )
( ) ( )
2
0
n
k
H k n
∑ +^ =^ + ;^ (^ )^ (^ )
1 2
0
n
k
T k n
=
∑^ +^ =^ +
( ) ( ) ( )
1 1
0 0 1
n n n
k k k n
k k k
= = = +
∑ +^ =^ ∑ +^ +^ ∑ +^ =
( ) ( )
2 = n + 1 + 2 n + 1 + 1 =
2 = n + 2 n + 1 + 2 n + 3 =
( )
2 2 = n + 4 n + 4 = n + 2
Logo, P n ( (^) )é hereditária.
Pelo princípio de indução matemática, P n ( (^) )é universal, ou
seja, (^) ( ) ( )
2 0 0
n
k
n k n
∀ ∈ ℕ (^) ∑ + = +.
Pág. 166
1
1
n n
b
b n b −
^ =
5 , , 5 e 5 5
b = b = b = b =
20.2. Por exemplo,
5 se é ímpar
se é par 5
n
n
b n
{ }
1
1
n^3 n ,^ \ 1
b
b b (^) − n
=^ +^ ∀^ ∈
Seja P n ( (^) ) a condição em ℕ.
bn = 3 n + 2
- P (^) ( 1 ) é verdadeira pois
b 1 (^) = 3 × 1 + 2 ⇔ 5 = 5
- P n ( ) (^) ⇒ P n ( + (^1) )
H : bn = 3 n + 2
T : bn (^) + 1 = (^3) ( n + (^1) ) + 2
bn (^) + 1 = 3 + bn (da fórmula de recorrência)
= 3 + 3 n + 2 = (por hipótese)
= 3 n + 3 + 2 = (^3) ( n + (^1) ) + 2
Logo, P n ( ) é hereditária.
Pelo princípio de indução matemática, P n ( )é universal.
Assim, ∀ n ∈ ℕ , bn = 3 n + 2.
Pág. 167
n
n a
( ) 1
n^ −^ n =^ −^ =^ = −
n n n n a a
Como 1 ( )
a = an é uma progressão aritmética de razão
r = − definida por
1
1
, para todo 5
n n
a
a a n
n^ =
n v n
( )
2 2
1
n n
n n n n n n v v n n n n
( )
n n +
Como vn (^) + 1 − vn não é constante, ( vn ) não é uma
progressão aritmética.
22.3. Pela definição, ( wn )é uma progressão aritmética de razão 1.
Pág. 168
23.1. a 1 (^) = 12 e r = –
a 100 (^) = a 1 (^) + (^) ( 100 − (^1) ) × −( 1 )= 12 − 99 = − 87
2 e 3
a = − r =
100 1 (^ )
a = a + − ×
23.3. a 1 (^) = 0 e r = 1
a 100 = 0 + ( 100 − 1 ) × 1 = 99
Por hipótese
3.1. Sucessões de números reais
1
1
^ =
n =^ n +^ ∈ℕ
u
u u n
u 1 = 2
u 20 (^) = u 1 + (^) ( 20 − (^1) ) × 1 = 2 + 19 = 21
u 100 (^) = u 1 + 99 × 1 = 2 + 99 = 101
( )
100 20 100
20
=^2
∑ n^ =^ ×^ −^ +^ = n
u u u
= × = × =
Pág. 175
30.1. Se a razão entre as áreas de dois triângulos consecutivos, tn + 1
e t (^) n é
, então a razão entre as medidas dos lados desses
triângulos é
Logo, a sucessão (^) ( pn (^) )dos perímetros é uma progressão
geométrica de razão
sendo:
p 1 = 3 × 1 = 3
1 1 1 1
n n n p n p r pn pn
− − ^ − = × ⇔ = × (^) ⇔ = ×
10
10 1
= ×
S t
Calculemos t 1 :
0 2 1 2 3 3 1 4 4 2
h h h h
>
1
×
t = =
Logo,
10
10
S = × ≈
= × = × =
n n
Sn
= × × − = −
^ ^ ^
n n
1 1 1 ; 2 2
− = (^) =
n
un r
10
0
10
= = × − = × =
S
−
n a n
( 1 ) 1 3 1 1 3 3 3
− +
n n n n n n
a r a
8
8 1 8 1
− −
=
^
= × = × × − = × =
∑
n
k
31.3. u 3 (^) = 208 e u 5 = 3328
2 u 5 (^) = u 3 × r
2 2 3328 = 208 × r ⇔ r = 16 ⇔ r = − 4 ∨ r = 4
Se r = –4 :
( )
3 3 u 8 (^) = u 5 (^) × r = 3328 × − 4 = −212 992
( )
( )
(^5 )
8
× − +
= × = − × = −
S u
Se r = 4 : 3 3 u 8 (^) = u 5 (^) × r = 3328 × 4 =212 992
5 5
8
= × = × =
S u
Pág. 177
32.1. Minorantes: (^) ] −∞ , 0]; majorantes: ∅ ; máximo: não existe
Mínimo: 0
x x x x
⇔ x ≥ − ∧ − 1 x > 0 ⇔ x ≥ − 1 ∧ x < 0
B = − [ 1 , 0[
Minorantes: (^) ] −∞ , − (^1) ]; majorantes: (^) [ 0 , + ∞[ ;
máximo: não tem; mínimo: –
32.3. (^) ] ] [ [
2 x − 1 ≥ 0 ⇔ x ∈ −∞ , − 1 ∪ 1 ,+ ∞
Minorantes: ∅; majorantes: ∅; máximo: não tem; mínimo:
não tem
33. ( 1 ) 1
= − ×
n n
n u n
, , e 2 3 4 5
u = − u = u = − u =
33.2. a) ( )
1 1
n n
n u n
b) ( ) ( )
2 2 2
= − = ^ − × =
+ ^ +
n^ n n
n n u n n
2 2 1 1 2 1 2
= × =
n n^ n
n n
33.3. ( )
59 59
u = − × = −
2 an = 2 n + 1
( ) (^) ( )
(^2 ) an (^) + 1 − an = 2 n + 1 + 1 − 2 n + 1 =
2 2 = 2 n + 4 n + 2 + 1 − 2 n − 1 = 4 n + 2 > 0
∀ n ∈ ℕ, an (^) + 1 − an > 0. Logo, ( an )é crescente.
n^ =
n b n
( )
2 2
1
n n
n n n n n n b b n n n n
( )
n n +
∀ n ∈ ℕ, bn (^) + 1 − bn > 0. Logo, ( bn )é crescente.
3.1. Sucessões de números reais
2 se 5
^ ≤
n
n n a se n
Se n ≤ 4, an (^) + 1 − an = (^2) ( n + (^1) ) − 2 n = 2.
Se n = 5, an (^) + 1 − an = a 6 (^) − a 5 = 10 − 10 = 0.
Se n > 5, an (^) + 1 − an = 0.
Assim, ∀ n ∈ ℕ, an (^) + 1 − an ≥ 0. Logo, (^) ( an (^) )é monótona
crescente em sentido lato.
36.1. an = 1 − 2 n
an (^) + 1 − an = 1 − (^2) ( n + (^1) ) − (^) ( 1 − 2 n (^) )= 1 − 2 n − 2 − 1 + 2 n =
∀ n ∈ ℕ , an (^) + 1 − a (^) n < 0. Logo, (^) ( an (^) )é monótona decrescente.
n
n b n
( ) 1
n n
n (^) n n n b b n n n n
( )( )
2 2 1 2 4 2
n n n n n n
n n
( )( )
n + n +
∀ n ∈ ℕ , bn (^) + 1 − bn < 0. Logo, ( bn )é monótona decrescente.
37.1. = 1 + ( − 1 )
n a n
a 1 (^) = 0 , a 2 (^) = 2 , a 3 = 0
a 2 (^) > a 1 (^) e a 3 (^) < a 2
Logo, ( an )é não monótona.
37.2. = 4 + ( − 1 ) × 2
n bn n
( ) ( ) (^) ( ( ) )
1 1 4 1 1 2 4 1 2
- −^ =^ +^ + −^ ×^ −^ +^ −^ ×^ =
n n bn bn n n
= 4 + 4 − − ( 1 ) × 2 − 4 − −( 1 ) × 2 =
n n n n
= 4 − 2 × − ( 1 ) × 2 = 4 − 4 × −( 1 ) =
n n
0 se é par
8 se é ímpar
n
n
∀ n ∈ ℕ , bn (^) + 1 − bn ≥ 0.
Logo, ( bn )é crescente em sentido lato.
37.3. ( )
2 cn = 4 − 3 − n
( (^ )) (^) ( (^ ))
2 2 cn (^) + 1 − cn = 4 − 3 − n + 1 − 4 − 3 − n =
( ) ( )
2 2 = − 2 2 − n + 3 − n =
2 2 = − 4 + 4 n − n + 9 − 6 n + n =
= − 2 n + 5
5 − 2 n > 0 ⇔ 2 n < 5 ⇔ n = 1 ∨ n = 2
5 − 2 n < 0 ⇔ n ≥ 3
Logo, ( cn )é não monótona.
37.4. = ( − 1 ) − 2
n d (^) n n
( ) ( ) ( )
1 1 1 2 1 1 2
− = − − + − ^ − − =
n n d (^) n dn n n
= − − ( 1 ) − 2 − 2 − −( 1 ) + 2 =
n n n n
( )
4 se é par 2 1 2 0 se é ímpar
^ −
= − × − − =
n n
n
∀ n ∈ ℕ , dn (^) + 1 − d (^) n ≤ 0.
Logo, ( d (^) n )é decrescente em sentido lato.
an = + 3 n
2 0 < ≤ 2 n
2 é decrescente
n
n
∀ n ∈ ℕ , 3 < an ≤ 5.
Logo, (^) ( an (^) ) é limitada.
38.2. bn = − 2
( bn^ )é constante. Logo,^ ( bn^ )é limitada.
38.3. ( )
= − 1 ×
n cn n
2 cn = n
2 0 < ≤ 2 n
porque
n
é decrescente
Logo, ∀ n ∈ ℕ, cn ≤ 2 pelo que ( cn ) é limitada.
n^ =^ =^ +
n e n n
5 0 < ≤ 5 n
5 é decrescente
n
n
Logo, (^) ∀ ∈ ℕ, 2 < ≤ 7 n en pelo que (^) ( ) n e é limitada.
2
n f n
2
n
2
1 é decrescente n
2
n
2
n
n n f. Logo, (^) ( ) n f é limitada.
2
n g n 2 n 1 n + 1 define uma sucessão crescente. Logo,
2 n 1 n + 1 é crescente e n g é decrescente
2
n + +
n g
n n g. Logo, (^) ( ) n g é limitada.
n
n h n n
n h n
n +
3 é decrescente n 1
+
n +
3 , 3 2
∀ n ∈ ℕ − < hn ≤ −
Logo, (^) ( hn (^) )é limitada.
3 n n + 1 –3 n – 3 3
3.1. Sucessões de números reais
n n H é múltiplo de 7;
1 1 : 9 2
−
n n T é múltiplo de 7
( )
1 1 9 2 9 9 2 2 7 2 9 2 2
− = × − × = + × − × =
n n n n n n
= 7 × 9 + 2 × 9 − 2 × 2 = 7 × 9 + 2 9 ( − (^2) )
n n n n n n
Logo, se por hipótese, 9 − 2
n n é múltiplo de 7, então 1 1 9 2
−
n n é múltiplo de 7 dado que o dobro de um múltiplo
de 7 é um múltiplo de 7 e a soma de múltiplos de 7 é um
múltiplo de 7. Logo, P n ( ) é hereditária.
Pelo princípio de indução matemática, P n ( (^) ) é universal, ou
seja, ∀ ∈ ℕ, 9 − 2
n n n é múltiplo de 7.
1
1
1, para todo 3
^ =
n n
a
a a n
44.1. Seja P n ( ) a condição, em ℕ , an < 3
- P (^) ( 1 ) é verdadeira porque a 1 (^) = 2 logo, a 1 < 3
- P n ( (^) ) ⇒ P n ( + (^1) )
H : an < 3
T : an + 1 < 3
1
an < ⇒ an < × ⇒ an < ⇒ an + < ⇒ an +<
Logo, P n ( )é hereditária.
Pelo princípio de indução matemática, P n ( (^) )é universal, ou
seja, ∀ n ∈ ℕ, an < 3.
+ −^ =^ +^ −^ =^ −^
n n n n n
a a a a a
Pela alínea anterior, temos:
n n n
a a a < ⇔ − > − ⇔ − >
Logo, ∀ n ∈ ℕ, an (^) + 1 − an > 0 pelo que ( an )é monótona
crescente.
n^ =
n b
( ) 1
n^ −^ n =^ −^ =^ =
n (^) n n n b b
Logo, ( bn )é uma progressão aritmética de razão
46. u 1 (^) = 10 , r = 3
u 100 (^) = u 1 + ( 100 − 1 ) × 3 = 10 + 300 − 3 = 307
u 10 (^) = 8 , u 20 = − 2
u 20 (^) = u 10 (^) + (^) ( 20 − (^10) ) × r ⇔ − 2 = 8 + 10 r ⇔ r = − 1
un = u 10 (^) + (^) ( n − (^10) ) × −( 1 ) ⇔ un = 8 − n + 10 ⇔
n u n
1 2 a = 10 , a = − 5
2
1
a r a
29 29 30 1 30 1
− ^ ^ ^
= × = × − = − × =
a a r
29 28 28
− − = − × × = − × = −
= ⇔ = × ⇔
x x x 2 ⇔ x = 51,84 ⇔ x = −7, 2 ∨ x =7, 2
Resposta: (A)
50. (^) ( an (^) )é uma progressão aritmética de razão r = 7 sendo
a 1 (^) = 2.
a 10 (^) = a 1 (^) + 9 × r = 2 + 9 × 7 = 65
1 10 10
= × = × = × =
a a s
51. Seja x o termo intermédio e r a razão da progressão
geométrica:
x x rx r
← progressão geométrica
x x rx r
← progressão aritmética
( )
⇔^ ⇔
x x x rx rx x r r
x x x rx x rx x r r
+^ =^ −^ +^ =^ −
x x rx x rx x r r
x x x
+^ =^ −^ +^ −^ =
r r r r
x x
r r^ r^ r
x x
Cálculos auxiliares 2 40 40 4 12 12 1 3 24 3
± − × × r = ⇔ r = ∨ r =
Se r = 3 ,
r
= e 12 r = 36.
Se
r = ,
r
= e 12 r = 4.
Os números são 4 , 12 e 36.
52.
⇔^ ⇔
x x x rx rx x r r
x x x rx x rx x r r
x x rx x rx x r r
x rx x x x r
+^ =^ −^ +^ =^ −
x rx x r r r
x x
+^ −^ =^ −^ +^ =
r r r r x x
=^ ∨^ =
r r
x
Cálculos auxiliares
2 5 25 16 1 2 5 2 0 2 4 2
± − r − r + = ⇔ r = ⇔ r = ∨ r =
Se r = 2 , = 10
x
r
e rx = 40.
3.1. Sucessões de números reais
Se
x r r
e rx = 10.
Os números são 10 , 20 e 40.
1
1
= × ∀ ∈
n n ℕ
u
n u u n n
u = × u = × =
3 2
= × = × =
×
u u
n n
u v n
1 1
u v
1 1
= = × × =
n n n n
u n u v u n n n n
= =
n
n
n n
u
v (^) n
v u
n
( vn )é uma progressão geométrica de razão
1 1 1 1 1 1 1
− − = × (^) = × (^) ×
n n
v n
= ×
n
v n
54. a 1 (^) = 2 , r = 3
Sn = 2186
1
n r a r
× = ⇔
n − ⇔ × = ⇔ −
n n
7 ⇔ 3 = 3 ⇔
n
⇔ n = 7
55. u 2 (^) = 52 e u 4 = 832
4 2 2 4 2 832 52
− u = u × r ⇔ = × r ⇔
0 2 16 4
> ⇔ = ⇔ =
r r r 3 3 u 7 (^) = u 4 (^) × r = 832 × 4 =53 248
6 6
7
= × = × =
r S u r
56. = n
u n v k e (^) ( ) n u é uma progressão aritmética de razão r.
1 (^1 )
n n n n
u u u r u
v n k k k v k n
Logo, se ( un )é uma progressão aritmética de razão r , ( vn )
é uma progressão geométrica de razão
r k
Pág. 179
57. Seja ln o lado do quadrado qn. Então, ln (^) + 1 é igual a dn ,
diagonal do quadrado qn
2 2 ln (^) + 1 = dn = l (^) n + ln
2 ln (^) + 1 = 2 ln
∀ n ∈ ℕ, ln (^) + 1 = 2 ln
57.1. pn = 4 ln (perímetro = 4 × lado)
pn (^) + 1 = 4 l (^) n (^) + 1 = (^4) ( 2 ln (^) ) = 2 4( ln )
∀ n ∈ ℕ, pn (^) + 1 = 2 pn
Logo, (^) ( pn (^) )é uma progressão geométrica de razão 2.
( )
2 an = ln (área = (lado) 2 )
( ) (^) ( ) ( )
2 2 2 an (^) + 1 = ln (^) + 1 = 2 ln = 2 ln = 2 an
∀ n ∈ ℕ, an (^) + 1 = 2 an
Logo, (^) ( an (^) ) é uma progressão geométrica de razão 2.
57.2. l 1 = 2
( ) ( ) ( )
1 1 1
1 2 4 2 2 8 2
n n n pn p
− − − = × = × × = ×
1 2 1 1 1 2 2 2 2
− − + = × = × =
n n n a n a
( ) ( )
( ) ( ) (^ )(^ )
⇔^ ⇔
−^ ×^ ×^ +^ = −^ −^ +^ = −
x r x x r x
x r x x r r r
2 2
−^ = −^ = = −^ ∨^ =
x x x
r r r r
Se r = –2 e x = 1 , x – r = 3 e x + r = –
Se r = 2 e x = 1 , x – r = –1 e x + r = 3
Os números são –1 , 1 e 3 ou 3 , 1 e –1.
59. u 1 (^) + un = 120
u 6 (^) + un (^) − 5 =?
u 6 (^) = u 1 (^) + 5 r
u (^) n = un (^) − 5 + 5 r ⇔ un (^) − 5 = un − 5 r
u 6 (^) + un (^) − 5 = u 1 (^) + 5 r + un − 5 r = u 1 + un = 120
10 10
1 1
1 h = 6 × 10 min 8
8
= × =
S
3280 pessoas
( )
1
u (^) n un n n
, para todo n ∈ ℕ
2 1 2 1
×
u u u u
n n u u não é constante.
1
n n n u u
∀ ∈ ℕ − <. Logo, (^) ( ) n u é estritamente
decrescente. Sabemos que ∀ ∈ ℕ, > 0 n n u.
Portanto 1
n n u u , ou seja, (^) ( ) n u é limitada.
Resposta: (C)
1
1
, para todo 2
^ =
= −^ ∈
n n ℕ
v
v v n
62.1. Pela definição, (^) ( ) n v é uma progressão geométrica de razão
v = v = − × = − , (^3)
v = − × = −
2187 3 729 3 243 3 81 3 27 3 9 3 3 3 1
3.1. Sucessões de números reais
Pelo princípio de indução matemática, P ( n ) é universal, ou
seja, , 1
ℕ (^) n
n n a n
11. (^) ( )
100
1
=^2
× − + × −
∑ −^ =^ ×^ =^ ×^ = n
n
12. (^) ( an (^) )é uma progressão aritmética
S 11 = 176
a 11 (^) = a 1 + 30
1 11 11 176 11 176 2
= ⇔ × = ⇔
a a S
a a
⇔ a 1 (^) + 15 = 16 ⇔ a 1 = 1
a 11 (^) = a 1 (^) + 10 r ⇔ a 1 (^) + 30 = a 1 + 10 r ⇔ r = 3
an = 1 + ( n − 1 ) × 3 ⇔ an = 3 n − 2
13. a 2 (^) = 1 , r =0,
a 1 (^) = a 2 − 0,3 = 1 − 0,3 =0,
a 10 (^) = a 2 + 8 × 0,3 = 1 + 2, 4 =3, 4
10
S = × = × = × =
O Luís percorreu 20,5 km.
1
1
, para todo 3
^ =
=^ ∈
n n
u
u u n
14.1. Seja P ( n ) a condição em ℕ :
1 1 2 3
− = ×
n
n u
- P (1) é verdadeira, pois 1 1 0
1
− = × ⇔ = × ⇔ = ×
u (V)
- P n ( (^) ) ⇒ P n ( + (^1) )
1 1 : 2 3
− = ×
n
n H u
1
= ×
n
n T u
1
n n n
u u u
= = × = (da fórmula de recorrência)
1 1 1 2 3 3
− = × × =
n
(por hipótese)
1 1 1 2 3
− + = × =
n
= ×
n
Logo, P ( n ) é hereditária.
Portanto, pelo principio de indução matemática, P ( n ) é
universal: 1 1 , 2 3
− ∀ ∈ = ×
n
n n u
1
1
−
− = × − × =
n n
u (^) n un
1 1 1 1 2 2 3 3 3
− = × (^) − × (^) × (^) =
n n
( )
= − × × =
n
= − × <
n
∀ n ∈ ℕ, un (^) + 1 − un < 0
Logo, (^) ( u (^) n )é monótona decrescente.
7
7
7 1
= × = × =
r S u r
7
= × − =
( )( )
1
n ℕ un un n n
15.1. (^) ( un (^) ) não é uma progressão aritmética porque,
u (^) n + 1 − un não é constante.
15.2. 3 n − 10 > 0 ⇔ n ≥ 4
u (^) n + 1 − un > 0 ⇔ n ≥ 4
u (^) n + 1 − un < 0 ⇔ n < 4
Logo, ( u (^) n )não é monótona.
15.3. u (^) n + 1 > un para n ≥ 4
u (^) n + 1 < un para n ≤ 3
Logo, un ≥ u 4 (^) ,∀ n ∈ ℕpelo que u 4 é um dos minorantes de
( un ).
∀ ∈ ℕ , (^) n > 0 ∧ − ≤ − 3 ⇔ n
n v v
⇔ ∀ n ∈ ℕ , vn > 0 ∧ − 2 ≤ − 3 vn ⇔
⇔ ∀ n ∈ ℕ vn > ∧ vn ≤ ⇔
⇔ ∀ n ∈ ℕ < vn ≤
Logo, ( vn )é limitada.
3.2. Limites de sucessões
Atividade inicial 2
Pág. 182
1.1. V 0,2 ( 3 ) = (^) ] 3 − 0, 2 ; 3 + 0, 2[ =] 2,8 ; 3, 2[
1.2. V 0,01 ( 3,5) = (^) ] 3,5 − 0,01 ; 3,5 + 0,01[ =] 3, 49 ; 3,51[
] −2 , 5^ [^ =^ V 3,5(1,5 )
2.2. (^) 1 ( )
10
x x V
∈^ −^ <^ =
R
n
n u n
2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1
n
n n n u n n n
1 1 1 1 1 1 2 10 10 1 10 1 10
u (^) n n n
1 1
n n
N ⇔ 10 < n + 1 ⇔ n > 9
un = 3 − n
1 1 un − 3 = 3 − − 3 = − n n
1 1 1 1 1 1 3 10 10 10 10
− < un − < ⇔ − > − ∧ − < ⇔ n n
1 1 10 10
n n n
⇔ < ∧ ∈ N⇔ >
A partir do termo de ordem 11 (inclusive).
Pág. 184
n^ =
n u n
n^ −^ <^ ⇔^ −^ <^ ⇔
n u n
n n
n n
⇔ n > 100
A partir do termo de ordem 101.
1.2. Seja δ um número positivo qualquer
1 δ δ δ
u n n n
− < ⇔ < ⇔ > (da alínea anterior)
Sendo p ∈N e
δ
p ≥ , tem-se
∀ n ∈ N , n ≥ p ⇒ un − 1 <δ, ou seja,
lim un = 1.
2.1. Seja
u n n
= e δ um número positivo qualquer
0 δ δ δ
un − < ⇔ < ⇔ n > n
Sendo p ∈ ℕ e
δ
p ≥ , tem-se:
∀ n ∈ , n ≥ p ⇒ − 0 < δ n
N , ou seja,
lim 0 n
2.2. Seja
n
n u n
e δ um número positivo qualquer
δ δ 2 2 1 2
n
n u n
δ δ 4 2 4 2
n n
n n
3 2 δ 3 4 δ 2 δ 4 δ 3 2 δ 4 δ
n n n
Sendo p um número natural maior ou igual a
3 2 δ
4 δ
vem
∀ ∈ ≥ ⇒ − < δ
n n n p n
N.
Logo,
lim 2 1 2
n
n
2.3. Seja δ um número positivo qualquer.
( 1 )^ ( 1 )^1 1 1 δ δ δ δ
n n
n n n n
Sendo p ∈N e
δ
p ≥ , então:
( 1 ) , 1 1 δ
n
n n p n
N
Logo,
( 1 ) lim 1 1
n
n
Pág. 185
3.1. lim (^) ( − (^1) ) = − 1
lim 5 5
3.3. lim 2 = 2
3.4. lim ( − π )+ lim π = − π + π= 0
3.5. (^) ( ) ( )
lim : lim 4 : 4 3 3 3 4 12
−^ −^ = −^ −^ = −^ ×^ −^ =
Pág. 186
4. Sabe-se que lim vn = b e (^) ( vn (^) )é decrescente.
Como (^) ( vn (^) )é convergente, então é limitada.
Atendendo a que (^) ( vn (^) )além de convergente para b é
decrescente, então: ∀ n ∈ N, b < vn < v 1
Assim, b é um minorante e v 1 é um majorante do conjunto
de termos de (^) ( vn (^) ).
Pág. 187
1
1
, para todo 7
n n
u
u n u
^ =
N
5.1. Seja P ( n ) a condição em N.
( )
P n ⇔ u n <
- P (1) é verdadeira, dado que u 1 (^) = 0. Logo, (^1)
u <.
- P n ( ) (^) ⇒ P n ( + (^1) )
3.2. Limites de sucessões
Pág. 191
lim 1 4 7 4
n
n
lim 7 5 7
n
n
lim 9
− n = −∞ 10.4.
lim 4 1
n
n
lim 0 3 8 n
lim 13
− n = −∞
lim 2
n + = +∞ 10.8. lim (^) ( − 2 n + (^7) )= −∞
10.9. lim 7( − 3 n )= −∞ 10.10.
lim 0 n
lim 0 3 n 1
lim 0 1 3 n
Pág. 192
n
n u n
= e
se 100 3
1 se 100
n
n n
a n n n
lim (^) n lim 1
n a n
lim (^) n lim (^) n lim (^) n lim 3
n b u u n
11.3. lim cn = lim u (^) n + 5 = lim un = − 3
3 se 500
se 500 1
n
n n
a n n
^ −^ <
lim lim 0 1
a n n
12.2. lim an (^) + 1 = lim an = 0
Pág. 193
13. ( )
n an n
= − ×
an → 0 dado ser o produto de uma sucessão limitada,
( (^1 )^ )
n − , por uma sucessão que tende para 0,
n
( ) ( )
cos (^1) cos 2 1 2 1
n
n a n n n
= = − ×
∀ n ∈ N, − 1 ≤ cos ( − n )≤ 1
lim 0 2 n 1
an → 0 , por ser o produto de uma sucessão limitada por uma
sucessão que tende para 0.
14.2. ( )
1 2sin 1 1 2sin 1 3 1 3
n
n b n n n
= = + ×
∀ n ∈ N , − 1 ≤ sin n < 1 ⇔ ∀ n ∈ N, 0 ≤ 1 + 2sin n ≤ 3
lim 0 1 3 n
bn → 0 , por ser o produto de uma sucessão limitada por uma
sucessão que tende para 0.
Pág. 194
10 lim an = lim n = +∞ 15.2.
4 lim bn lim n 0
− = =
5 7 lim cn = lim n = +∞
9 5 lim dn lim n 0
− = =
1 2 lim en = lim n = lim n = +∞
2 (^3 2 ) lim f (^) n = lim n = lim n = +∞
15.7. (^) ( )
2 (^5 2 ) lim g (^) n lim n n lim n n
− −
= × = × =
3 5 = lim n = +∞
Pág. 195
lim 3 lim 3 lim 3 0 3 n n
1 2
lim
n n n n n
+ −^ −
+^ +^ =
1 2
lim lim lim 2 1 0 1
n n n n n
+ −^ −
1 2
lim 1 lim lim1 lim
−^ − −
n n n n (^) n n
( ) 3
sin 2 1 1 lim
n
n n n
+^ +^ =
( )
lim sin 2 n lim lim n n n
= × + + =
= 0 + 0 + 0 = 0 dado que
( )
lim sin 2 n 0 n
× =
porque ∀ n ∈ N , − 1 ≤ sin 2( n )≤ 1 e
lim 0 n
Pág. 196
2 3 n a n
− = − +
( ) ( )
2 2 lim lim 3 lim 3 lim 3 0 3 n a n n
− − = − + = − + = − + = −
n
n b n
lim 4 1
n b
n^2
n c n
lim lim 2 lim 2 lim 2 1 3 n
n n c n n
+^ +
17.1. lim (^) ( an × bn (^) ) = lim an × lim bn = − × − (^3) ( 4 ) = 12
17.2. lim (^) ( bn × cn (^) )= lim bn × lim cn = − 4 × 3 = − 12
17.3. lim (^) ( an × cn (^) )= lim an × lim cn = − × 3 3 = − 9
17.4. lim bn + lim (^) ( an − cn (^) )= − 4 + lim an − lim cn = − 4 − 3 − 3 = − 10
Pág. 197
1 3 3 n a n
− = +
1 1
lim lim 3 3 lim3 lim 3 3 0 3
−^ −
n a n n
3.2. Limites de sucessões
b n n
lim lim 2 lim 2 lim 2 0 2 3 3
b n n n
n
n n c n n
lim lim 1 2 5 2 2
n
n n c n n
lim 3 lim lim 2
n n
n n
a a
b b
1 lim lim1 3 1 2 8 lim 4 lim 3 3 3
2
n n
n n
a a
c c
= = = × =
lim lim 2 7 lim lim lim 3 2 2
n n n n
n n n n
b c b c
a b a b
Pág. 198
4 4 1 2 1 1 2 1 lim lim lim (^1 2 )
n n
n (^) n n n
−^ =^ −^ =
( )
4 = 0 − 2 = 4
2 2 2 2 lim 1 lim 1 lim 2 3 2 3
− − (^) − (^) −
- − = + − = +^ +
n n n n n n
2 2 1 3 4 1 0 2 2 9
− − = + − = =
2 2 3 3 (^1 3 ) lim lim lim 8 8
n n n n n n
+^ − + −
(^2 ) 2 2 3 3 3
^
lim 3 lim 3 1 3 4 2
n n
n n
Pág. 200
20. an = − 2 n + 1 → −∞ ;
4 bn = 1 + 3 n → +∞ ;
n^3
n c n
n
n d
= → − ; en = 1 + n → +∞
20.1. lim( bn + en )= +∞ + ∞ = +∞
20.2. lim( en + cn )= +∞ + 3 = +∞
20.3. lim( an + dn ) = −∞ + −∞( ) = −∞
20.4. lim( dn + cn )= −∞ + 3 = −∞
Pág. 201
21. (^) ( )
2 lim lim 2 1 1 n a = n + n + = +∞ + ∞ + = +∞
( )
2 lim lim 1 1 n b = − n = − ∞ = −∞
( )
2 lim lim 5 2 5 n c = − n − n = − ∞ − ∞ = −∞
( )
2 lim lim 1 3 1 n d = − n − n = − ∞ − ∞ = −∞
21.1. (^) ( )
( )
( )
2 2 lim an bn lim n 2 n 1 1 n
∞−∞
= lim 2 ( n + (^2) )= +∞
21.2. (^) ( )
( )
( )
2 2 lim an cn lim n 2 n 1 5 2 n n
∞−∞
= lim 6 = 6
21.3. (^) ( )
( )
( )
2 2 lim an dn lim n 2 n 1 1 3 n n
∞ −∞
= lim ( − n + (^2) )= −∞
Pág. 203
n
n a n
n
n b n n
= − e
1 3
n c n n
22.1. a)
lim lim 4 2 4 2 1
n
n a n
b)
lim lim 2 2
n
n b n n
c) (^) ( )
1 3
lim lim 0 n c n n
22.2. a) lim (^) ( an × bn ) = − 2 × +∞( )= −∞
b) lim (^) ( cn × an ) = −∞ × −( 2 )= +∞
c) lim (^) ( bn × cn ) = +∞ × −∞( ) = −∞
d) lim ( + (^) ) × = (^) ( − 2 + ∞ × −∞) ( ) = +∞ × −∞( )= −∞ n^ n^ n a b c
Pág. 204
23.1. lim lim (^) ( 2 ) n a = n + = +∞ ; (^) ( )
2 lim lim 2 3 n b = + n = +∞ ;
( )
2 lim lim 1 n c = − n = −∞ e
lim lim 0 n d n
23.2. (^) ( )
( )
( )
0 2 lim lim 2 n n a d n n
∞× × = + × − =
lim 2 2 0 2 n
23.3. (^) ( )
( )
( )
0 2 2 lim lim 2 3 n n b d n n
∞× × = + × − = ^
lim 6 n 0 n
23.4. (^) ( ) ( )
lim lim 1 n n c d n n
× = − × − =
^
lim 2 n 0 n
Pág. 206
2 2 3 3
n n
n u n v n n n
− = + = +
2 3 lim lim 1 1
n
n u n n
2 3
lim lim 0 0 0 1
v n n n
−
lim 0 u n
lim vn 0
Pág. 207
3 2 3 u (^) n n n
− − = + ; 3
v n n n
−
3.2. Limites de sucessões
33.7. (^) ( )
3 1 3 lim 2 3 3
n n n n
( )
3 3
lim lim 3 3 lim lim 3
n n n n
= + × − + =
= +∞ + +∞ − ( ) 0 + 0 = +∞
3
lim 2 0 1 1
n
n n
Pág. 214
34.1. (^) ( )
( ) (^) ( 1 )( 1 ) lim 1 lim 1
n n n n n n n n
1 1 1 lim lim 0 1 1
+ + + +^ +∞
n n
n n n n
34.2. (^) ( )
( ) 3 3 lim n 2 n 1
∞−∞
( )( )
3 3 3 3
3 3
lim 2 1
n n n n
n n
3 3
3 3
lim 2 1
n n
n n
3 3
lim 0 n 2 n 1
+ + −^ +∞
34.3. (^) ( )
( ) (^) ( )( )
2 2
2 2
lim 2 lim 2
n n n n n n n n 2 2
2 2
lim lim 0 2 2
+ + + +^ +∞
n n
n n n n
34.4. (^) ( )
( ) 2 lim 2 n 1 2 n
∞ −∞
− + =
( )( )
2 2
2
lim 2 1 2
n n n n
n n
2 2
2 2
lim lim 0 2 1 2 2 2 2
+ + + +^ +∞
n n
n n n n
( )
( ) (^) ( )( )
4 2 4 2 3 3 3 3 4 2 (^3 3 4 ) 3 3
lim lim 2
2
∞ −∞
n n n n
n n
n n
( )
(^4 ) 2 4 4 3 3 3 3
4 2 4 2 3 3 3 3
lim lim
n n n^ n
n n n n
4 2 3 3
lim 0
n + + n
Pág. 215
4 4
4
lim lim 2 1
∞ − − ∞ = − +
n n n
n n
4 3
4
−^ −
n^ n
n 3 4
n^ n
ou 4 4
4 4
lim lim 2 1 2 2
n n n
n n n
5 (^5 4 )
3 2 3 3
lim lim 3 3 1 3 3
n n n (^) n n
n n n n n
−^ +
−^ +
2 4 5
3
lim (^1 3 ) 3
n n n
n n
−^ +
+∞ ×
ou
5 5 2
3 2 3
lim lim lim 3 3 3 3
n n n n
n n n
2 (^2 )
4 4 2 4
lim lim 5 1 5 1
n n n (^) n n
n n n n n
∞ ∞
+^ +
+^ +
( )
2
2 2 4
lim 0 1 5 1 0 0 1
n n
n n n
+^ +
ou
2 2
4 4 2
lim lim lim 0 5
n n n
n n n n
3 3 3 2 3 3 3 3
lim lim lim 1 1 1 1 1
n n n (^) n n
n n n n
−^ −
= ^ ^ = ^ =
+^ ^ ^ ^ ^
^
^
( ) ( )
3 (^0 )
ou
( ( )) ( )
3 3 3 (^3 ) (^32) lim lim lim 1
n n n n n
−^ ^ −
=^ =^ −^ =^ −∞^ = −∞
3 3
3
lim lim 1 0,
n n n
n
2 3
3
n n
n
+^ −
3
n
ou
3 3
3 3
lim lim 4 2 1 0,5 0,5 0,
n n n
n n
3 3 3 3 4 4
lim lim 0 0 0
n
n n n
ou
3 3 3 3 3 3 4 4
lim lim lim 0 0
n n
n n n
Pág. 216
2 1 lim 5
n n
n
∞
lim 5
n n n
n
lim lim 5 5
n n n n n
n n
+^ +
lim 5
n
2 n = n = n
3.2. Limites de sucessões
2 2
2 2
lim lim 1 1 1
∞ (^) ∞
n n n n n n
n n n n n n
2
lim lim 3 1 1 1 0 0 1 0
n n n n
n n n n
lim lim 1 1 1
∞ ∞
n n
n n n n
n
n
2
lim 0 (^1 1 ) 1
n n n
n
2
lim lim lim 1 0 1 1 1
∞ (^) ∞ − ^ ^ −^ − − ∞ = = = = −∞
n n n (^) n n
n n n
n n
36.5. (^) ( )
( ) 2 lim 4 n n 2 n
∞ −∞
( )( )
2 2
2
lim 4 2
n n n n n n
n n n
2 2
2 2
lim lim 4 2 4 2
n n n n
n n n n n n
∞ (^) ∞
2
lim lim 1 1 4 2 4 2
n n
n n n^ n n n
+ + +^ +
lim 1 4 0 2 4 4 2 n
Pág. 217
36.6. (^) ( )
( 0 ) 2 2 1 2 1 1 lim 1 lim lim
∞ ×∞ ^ (^) + ^ ∞ ×^ +^ =^ =^ +^ =
n n n n (^) n n n
4 (^13) = lim + lim = lim + 0 = +∞
n n n (^) n
36.7. (^) ( )
( 0 ) 3 1 3 2 lim 2 lim
×∞
×^ +^ =^ =
n n n n n (^) n
1 (^3 )
1 2
= lim + lim = lim + 2 =
n n n
n n n
1 1 1 3 2 6 lim 2 lim 2 0 2 2
− − = n + = n + = + =
2
lim lim lim 1 4 1 4 1 1 1 0 1 4
∞
−
n n n
n n
n
1
lim lim 4 2 4 2
n n n n
n n n n
∞ − ^
lim lim 4 2 4 2 0 0
(^5 5 5 )
^ +
n n
n
n n n n
n n
1 1 2 1
1
lim lim 4 9 4 9 9
∞
+ − × + × −
+ + ×
n n n n n n
n n n n
lim lim (^4 ) (^9 ) (^9 )
− ^ ^ ^ ^ −
× + × − ×^ +^ ×^ −
n n n n
n n
n n
n
1 0 2 0 2 1 1
− × + × − = = −
36.11. (^) ( )
( )
( )
lim 3 4 lim 4 1 0 1 4
− = − = +∞ × − = −∞
^
n n n n
36.12. (^) ( )
( )
( )
1 lim 5 2 3 lim 5 5 2 3
∞−∞
− + = × − + =
n n n n
( )
lim 5 5 5 0 0 5 5
= − + = +∞ × − + = +∞
^
n n n
1 1 1
cos 1 2 cos 2 cos 2 lim lim lim 2 sin 2 2 sin sin 2 2
∞ ∞
− − −
+ × −
n n n
n n
n
n
n n
n n^ n
1
−
dado que, como
∀ n ∈ N , − 1 ≤ cos n ≤ 1 ∧ − 1 ≤ sin n ≤ 1 e
n
podemos concluir que
cos 0 2
n
n → e
sin 0 2
n
n →.
(O produto de uma sucessão limitada por uma sucessão
de limite nulo é uma sucessão que tende para 0.)
Pág. 218
1
1
n n
v
v v n
=^ −^ ∈
N
37.1. a) Seja P ( n ) a condição em N : vn (^) + 1 < vn
- P (1) é verdadeira uma vez que:
v 1 (^) = 10 e v 2 (^) = 6 × 10 − 4 = 56 , ou seja, v 2 (^) < v 1.
- P n ( ) (^) ⇒ P n ( + (^1) )
Admitamos, por hipótese, que para dado n ∈N ,
vn (^) + 1 < vn. Pretendemos provar que vn (^) + 2 < vn + 1.
vn (^) + 1 < vn ⇒ 6 vn (^) + 1 < 6 vn ⇒
⇒ 6 vn (^) + 1 − 4 < 6 vn − 4 ⇒
⇒ 6 vn (^) + 1 − 4 < 6 vn − 4 ⇒
⇒ vn (^) + 2 < vn + 1
Portanto, P ( n ) é hereditária.
Fica, assim, provado que ∀ n ∈ N , vn (^) + 1 < vn , ou seja, ( vn )
é monótona decrescente.
b) Seja P ( n ) a condição em N , vn > 5.
- P (1) é verdadeira dado que v 1 = 10 e 10 > 5.
Sabemos da definição
de que
0 ,
n
n
v
v > ∀ n ∈ ℕ
