Universidade Federal do Maranhão
Curso: Engenharia Química
Disciplina: Geometria Analí�ca e Cálculo Vetorial
Professor: José Cloves Verde Saraiva
Aluno: Jefferson David Souza De Oliveira
Super�cies Quádricas
São Luís - 2009
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cônicas em geral de modo algebrico e geometrico
Tipologia: Notas de estudo
Antes de 2010
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Universidade Federal do Maranhão Curso: Engenharia Química Disciplina: Geometria Analí�ca e Cálculo Vetorial Professor: José Cloves Verde Saraiva Aluno: Jefferson David Souza De Oliveira
Super�cies Quádricas
São Luís - 2009
1 - Super�cies quádricas
1. Introdução
A equação geral do segundo grau nas três variáveis x,y e z. Onde pelo menos um dos coeficientes a, b,c, d,e ou f é diferente de zero,(a fim de assegurar grau 2 para a equação), representa uma superfície quádrica , ou simplesmente uma quádrica. Observemos que, se a superfície quádrica dada pela equação (1) for cortada pelos planos coordenados ou por planos paralelos a eles, a curva de interseção será cônica. A interseção de uma superfície com um plano é chamada traço da superfície no plano. Contida no plano z=0, isto é, no plano xOy, e representa uma elipse, uma hipérbole ou uma parábola, pois suas equações gerais são desse tipo.Em casos particulares, no entanto,a equação (2) pode também representar uma reta (, ou duas retas (, ou um ponto ou o conjunto vazio(. Estes casos constituem as cônicas degeneradas. A redução da equação geral (1) nas quádricas às formas mais simples exige cálculos laboriosos, o que não é objeto desse texto. Daremos ênfase aos estudos das quádricas representadas por equações chamadas canônicas e intimamente relacionadas às formas reduzidas das cônicas.
1.2. Superfície de revolução
A superfície de revolução é a superfície gerada por uma curva plana(chamada geratriz) que gira de 360° em torno de uma reta(chamada eixo) situada no plano da curva. Neste caso, o traço da superfície num plano perpendicular ao eixo é uma circunferência e a equação da superfície de revolução é obtida através da equação da geratriz.
Exemplo
Seja a superfície gerada pela revolução da parabóla em torno do eixo dos
mesma observação vale também para as outras substituições acima descritas.
1. Elipsóide
Consideramos o plano a elipse de equações,
Ao girarmos essa elipse em torno do eixo , obtemos a elipsóide de revolução ), cuja equação será obtida da equação da elipse, substituindo-se por por
De maneira análoga se obtém o elipsóide de revolução em torno de Neste caso sua equação é obtida da equação da elipse, substituindo-se por
O elipsóide da maneira mais geral é representado pela equação
Onde a, b, c são reais e positivos e representam as medidas dos semi-eixos do elipsóide. Obtemos ainda que os pontos são solões da equação , chamada forma canônica do elipsóide.
O traço do plano é a elipse e os traços e são as elipses respectivamente.
Observemos também que as interseções do elipsóide com planos resultam numa elipse, num ponto ou no conjunto vazio.
No caso de toma a forma ou
e representa uma superfície esférica de centroe raio.
Observemos que esta superfície também é de revolução e obtida pela revolução de uma circunferência em torno de um de seus diâmetros. Se o centro do elipsóide é o ponto e seus eixos forem paralelos aos eixos coordenados, a equação assume a forma obtida por uma translação de eixos.
Exemplos
- Determinar uma equação da superfície esférica de Centro C e raio r, nos casos: a. b. Solução: a. Da equação (5), vem imediatamente ou.
b. Se o centro da superfície esférica for é por simples translação de eixos a equação(5) assume a forma (6)
No caso presente, tem-se
ou ou
- Dada a equação da superfície esférica, determinar o centro e o raio.
Solução:
Conhecemos e escrevemos a equação na forma
E completamos os quadrados , não esquecendo de somar 9 e 4 ao segundo membro para “equilibrar” a soma feita no segundo membro.
Logo, a equação fica e, portanto, C