conicas quadricas, Notas de estudo de Matemática

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5.ª edição

(atualizada)

JACIR J. VENTURI

_Na internet você encontra integralmente os dois livros do autor:

1. Álgebra Vetorial e Geometria Analítica
2. Cônicas e Quádricas site: com acesso gratuito._

www.geometriaanalitica.com.br

© Copyright by Jacir J. Venturi

FICHA CATALOGRÁFICA

VENTURI, Jacir J., 1949 - Cônicas e Quádricas / Jacir J. Venturi

• 5.ª ed. - Curitiba 243 p.: il. Inclui Apêndice e Bibliografia. ISBN 85.85132-48-

1. Geometria Analítica. 2. Cônicas e Quádricas. I.Título. CDD 516. V 469c 2003

ISBN 85-85132-48-

Composição/Desenhos: Herica Yamamoto Capa/Projeto Gráfico: Beatriz Susana Impressão e Acabamento: Artes Gráficas e Editora Unificado [email protected]

Índice

CAPÍTULO 1

CAPÍTULO 2

CAPÍTULO 3

TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS NO E

A PARÁBOLA

A ELIPSE

2

Translação de eixos ............................................................................ Rotação de eixos ................................................................................ Aplicação das translações e rotações no estudo de uma equação do 2.º grau ..............................................................................

Definição ............................................................................................. Elementos da parábola ...................................................................... Equações canônicas da parábola ........................................................ Identificação da parábola ................................................................... Construção geométrica da parábola ................................................... Aplicações práticas de parábola ........................................................ Equações da parábola de V O' = (x , y ) ............................................. Equação da parábola de V O' = (x , y ) e cujo eixo de simetria não é paralelo a um dos eixos coordenados .....................

Definição ............................................................................................ Elementos da elipse ............................................................................ Excentricidade .................................................................................... Equação canônica da elipse de centro na origem ............................... Identificação da elipse ........................................................................ Construção de uma elipse .................................................................. Aplicações práticas da elipse ............................................................. Equação da elipse cujo centro é O' = (x , y ) e cujos eixos são paralelos aos eixos coordenados .................................................. Equação da elipse cujo centro é O' = (x , y ) e cujos eixos não são paralelos aos eixos coordenados ............................................

O O O O

O O

O O

CAPÍTULO 8

CAPÍTULO 9

CAPÍTULO 10

CAPÍTULO 11

APÊNDICE

QUÁDRICAS

SUPERFÍCIE ESFÉRICA

SUPERFÍCIE CILÍNDRICA

SUPERFÍCIE CÔNICA

Definição .......................................................................................... Exemplo de Quádricas ....................................................................... Revisando ......................................................................................... Superfícies .......................................................................................... Simetria ............................................................................................... Equações de curvas no E .................................................................... Interseções da superfície com os eixos coordenados ....................... Interseção da superfície com planos ...................................................

Introdução ......................................................................................... Definição ............................................................................................. Cálculo do centro e do raio .................................................................. Casos Particulares ...............................................................................

Definição ........................................................................................... Equação da superfície cilíndrica ......................................................... Superfície cilíndrica de geratrizes paralelas aos eixos cartesianos .........................................................................

Definição ............................................................................................ Equação da superfície cônica ............................................................... Reconhecimento da superfície cônica e cálculo do vértice ...................

3

Jacir. J. Venturi

so) livro-texto, tratar-se-á de equações do 2.º grau, no plano cartesia- no. Em especial, a parábola, a elipse, a hipérbole e a circunferência. São curvas obtidas pela interseção de um plano com um cone circular de 2 folhas. Por isso, são chamadas de seções cônicas ou simples- mente. Tratar-se-á também de superfície quádricas, que ganham uma importância cada vez maior na área computacional (Fractais, por exemplo). Uma é o conjunto de pontos E , cujas coordena- das cartesianas, verificam uma equação do 2.º grau a, no máximo, três variáveis. Esferas, parabolóides, elipsóides, hiperbolóides, cilin- dros (do 2.º grau) e cones (do 2.º grau) constituem as mais conheci- das superfície quádricas. Um grande número de ilustrações facilita o entendimento do texto e é imprescindível quando se almeja uma conspícua formação geométrica. Há indicações de aplicabilidade prática, sinopses histó- ricas e sugestões para a resolução de exercícios, no intuito de moti- var o aluno naquilo que está estudando. Com o escopo didático, os exercícios estão dispostos emordem crescente de dificuldade. Deve-se ter em mente que à resolução dos exercícios pre- cede necessariamente um bom conhecimento da teoria. Por vezes, preferiu-se a apresentação intuitiva aos refinamentos teóricos, que viessem obstaculizar a compreensão do novel universitário. Honraram-nos sobremaneira a análise criteriosa e as sugestões feitas pelo Prof. Leo Barsotti nos manuscritos que antece- deram este manual e de quem fomos assistentes por 3 lustros. Nesta convivência, aprendemos a admirá-lo não apenas como profissional exigente e de extraordinário conteúdo mas também como exemplo de coerência e justiça. Ademais, cumprimos o elementar dever de gratidão pelo desprendimento com que os professores Florinda Miyaóka, Osny A. Dacol, Décio Krause, Ana Maria N. de Oliveira, Luiz Carlos Domênico e Adilson Longen se dispuseram a ler o manuscrito e apre- sentar sugestões. O mesmo preito de gratidão estendemos à plêiade de colegas e amigos do Depto. deMatemática da UFPR, que nos pro- piciaram uma convivência de crescimento pessoal e profissional. Também a nossa profunda e sincera gratidão aos abnega- dos professores Pe. Oneres Marchiori e Pe. Andreás Wiggers pelos ensinamentos de Matemática, Latim e Grego no Ensino Fundamental e Médio em Lages(SC) e antes de tudo exemplos de altruísmo e dedicação. Críticas e sugestões hão de surgir. E serão bem-vindas. Resta-nos o consolo de ter envidado esforços para empregar util- mente o nosso tempo.

cônicas

quádrica^3

O autor

CÔNICAS E QUÁDRICAS

C Ô N I C A S : R E S E N H A H I S T Ó R I C A

INTRODUÇÃO

PITÁGORAS (560(?) – 500(?) a.C.)

"Na maior parte das ciências, assevera Herman Hankel, uma gera- ção põe abaixo o que a outra construiu, e o que uma estabeleceu a outra desfaz. Somente na Matemática é que uma geração constrói um novo andar sobre a antiga estrutura." Como na formação de uma estrutura geo- lógica, as descobertas matemáticas se sedimentam e se estratificam ao longo dos séculos. Entretanto não se infira que a Matemática é uma ciên- cia estática e sim emcontínua evolução. As formulações inicialmente tênu- es e difusas percorrem um espinhoso caminho até atingir a magnitude de seu desenvolvimento.

No presente epítome histórico, vamo-nos ater ao período conside- rado por muitos historiadores como a da Matemática da anti- güidade. Esse período se inicia com a Escola Pitagórica (séc. VI a.C.), tem seqüência com Euclides e Arquimedes e termina com Apolônio (séc. II a.C.). Este apanágio, por si só, não justificaria esta resenha histórica no presente livro-texto que trata das. No entanto, é justamente nesse período que se dá praticamente todo o desenvolvimento geométrico das cônicas. Porém, o enfoque analítico das cônicas só acontece com (1601-1665), uma vez que os matemáticos gregos não possuíam uma notação algébrica adequada.

Credita-se a Fermat:

• o estabelecimento do princípio fundamental de que uma equa- ção do 1.º grau, no plano, representa uma reta e que uma equação do 2.º grau, no plano, representa uma cônica;
• a determinação das equações mais simples da reta, da circunfe- rência, da elipse, da parábola e da hipérbole;
• a aplicação da rotação de eixos para reduzir uma equação do 2.º grau à sua formamaissimples.

A palavra Matemática ( , em grego) surgiu com Pitágoras, que foi o primeiro a concebê-la como um sistema de pensamen- to, fulcrado emprovas dedutivas.

Existem, no entanto, indícios de que o chamado

fase áurea

Cônicas

Fermat

Mathematike

Teorema de

CÔNICAS E QUÁDRICAS

• na Astronomia, idéias inovadoras, embora nem sempre verdadei- ras: a Terra é esférica, os planetas movem-se em diferentes velocidades em suas várias órbitas ao redor da Terra. Pela cuidadosa observação dos astros cristalizou-se a idéia de que há uma ordem que domina o Universo;
• aos pitagóricos deve-se provavelmente a construção do cubo, tetraedro, octoedro, dodecaedro e a bem conhecida "seção áurea";
• na Música, uma descoberta notável de que os intervalos musicais se colocam de modo que admitem expressões através de proporções arit- méticas:

No entanto, Pitágoras deve ser considerado uma figura imprecisa historicamente, já que tudo o que dele sabemos deve-se à tradição oral. Nada deixou escrito, e os primeiros trabalhos sobre o mesmo deve-se a Filolau, quase 100 anos após a morte de Pitágoras. Mas não é fácil negar aos pitagóricos - assevera Carl Boyer - "o papel primordial para o estabele- cimento da Matemática como disciplina racional". A despeito de algum exa- gero, há séculos cunhou-se uma frase: "Se não houvesse o 'teorema Pitágoras', não existiria a Geometria".

A Escola Pitagórica ensejou forte influência na poderosa verve de Euclides e Platão, na antiga era cristã, na Idade Média, na Renascença e até emnossos dias com o Neopitagorismo.

Ignora-se o local e ano de nascimento de Euclides. Provavelmente, tenha recebido os primeiros ensinamentos de Matemática dos discípulos de Platão.

Ptolomeu I - general macedônio favorito de Alexandre, o Grande, morto em323a.C.-trouxeEuclidesdeAtenasparaAlexandria. Esta torna- ra-se a nova capital egípcia no litoral mediterrâneo e centro econômico e intelectual do mundo helenístico. Euclides fundou a Escola de Matemática na renomada Biblioteca de Alexandria, que pode ter alcançado a cifra de 700.000 rolos (papiros e pergaminhos).

Alexandria, a partir de Euclides até o séc. IV d.C., reinou quase absoluta não só como a mais eclética e cosmopolita cidade da antigüida- de,mastambémcomoprincipal centro de produçãomatemática.

A mais conspícua obra de Euclides, (c. 300 a.C.), constitui um dos mais notáveis compêndios de Matemática de todos os tempos, com mais de mil edições desde o advento da imprensa (a primeira versão impressa de apareceu em Veneza em 1482). Tem sido - segundo George Simmons - “considerado como responsável por uma influência sobre a mente humana maior que qualquer outro livro, com exceção da Bíblia".

Os Elementos

Os Elementos

EUCLIDES (c.325 - c.265 a.C.)

Jacir. J. Venturi

Conta-se que o rei Ptolomeu, tenho folheado , per- guntou esperançosamente a Euclides se não havia um caminho mais suave para aprender Geometria. Lacônico, Euclides teria respondido: "Não há uma estrada real para a Geometria".

são uma compilação metódica e ordenada de 465 proposições reunidas em 13 livros. Sua característica é o rigor das demonstrações, o encadeamento lógico dos teoremas, axiomas e postula- dos e a clareza na exposição. Sua proposta é uma Geometria dedutiva, despreocupada das limitações práticas, contrastando com a Geometria egípcia, de caráter indutivo e fulcrada em problemas concretos.

Dos 13 livros em que se subdividem , os 6 primei- ros tratam da Geometria Plana Elementar; os 3 seguintes, da Teoria dos Números, o livro X trata dos Incomensuráveis (números irracionais) e os 3 últimos, da Geometria no Espaço.

O livro XIII de aborda exclusivamente as proprie- dades dos 5 sólidos regulares - denominados. Lembramos que um poliedro (do grego poli (muitas) + edro (faces)) é um sólido cuja superfície é constituída de faces poligonais. O poliedro é regu- lar se suas faces forem polígonos regulares. Há apenas 5 poliedros regula- res: o tetraedro (4 faces triangulares), o cubo ou hexaedro (6 faces quadra- das), o octaedro (8 faces triangulares), o dodecaedro (12 faces pentagona- is) e o icosaedro (20 faces triangulares).

Faz-se oportuna a asserção de George Simmons: "A construção de poliedros regulares fornece um clímax soberbo à Geometria de Euclides, e alguns conjecturam que esse foi o propósito primeiro pelo qual foram escritos: o de glorificar os Poliedros de Platão". Na proposição 18, a última de , Euclides prova que não pode haver umoutro poliedro regular, além dos 5 mencionados.

Euclides foi sinônimo de Geometria e reinou absoluto até o séc. XIX, quando foi parcialmente contestado o seu famoso 5.º postulado, por Riemann, Lobatchewski e Bolyai (criadores das geometrias não- euclidianas).

A bibliografia de Euclides é eclética e valiosa: (solução de problemas geométricos planos, que complementavam os 6 primeiros volumes de ); (trata da divisão de figuras pla- nas); (geometria esférica aplicada à astronomia); (que trata da geometria dos raios refletidos e dos raios refratados); (música). E para desfortuna de milhares de matemáticos, muitas das obras de Euclides se perderam: Lugares de superfície, Pseudaria, Porismas (que pode ter representado algo próximo da nossa atual Geometria Analítica). Precipuamente, lamenta-se o desaparecimento de de Euclides, que, conforme referências, deve ter tratado de

Os Elementos

Os Elementos

Os Elementos

Os Elementos Poliedros de Platão

Os Elementos Os Elementos

Os Dados

Os Elementos Da Divisão Fenômenos Óptica

Introdução Harmônica

AS

CÔNICAS

Jacir. J. Venturi

parte do ourives. Destarte, tomou dois recipientes cheios de água e num recipiente imergiu um bloco de ouro e noutro recipiente, um bloco de prata. Como ambos os blocos continham o mesmo peso que a coroa, comprovou a fraude, pois constatou que os blocos deslocavam quantidades diferentes de água. Deste fato decorre o , lei básica da Hidrostática: Todo corpo mergulhado num fluido recebe um impulso de baixo para cima igual ao peso do volume do fluido deslocado.

Paradoxalmente, Arquimedes era muito negligente em termos de asseio pessoal. Lê-se em Plutarco que Arquimedes "era por vezes levado à força para banhar-se ou passar óleo no corpo, que costumava traçar figu- ras geométricas nas cinzas do fogo, e diagramas no óleo de seu corpo, estando emumestadodepreocupação total e de possessão divina, no sen- tidomaisverdadeiro, por seu amor e deleite pela ciência".

Na 2.ª Guerra Púnica, contra a poderosa razia do exército e mari- nha romanos, comandados pelo Cônsul Marcelo, a sagacidade de Arquimedes criou aparatos devastadores:

• catapultas de grande alcance para lançar blocos de pedra sobre as galeras inimigas;
• gigantescos guindastes que elevavam a proa dos navios roma- nos, afundando-os pela popa;
• um enorme espelho que incendiava os navios hostis a distância, uma vez que refletiam os raios solares.

Plutarco conta que se instalou tamanho temor e angústia entre as tropas romanas, que qualquer corda ou pau sobre as muralhas de Siracusa era considerado uma artimanha diabólica de Arquimedes.

Marcelo desistiu de tomar Siracusa por assalto e infligiu um cerco de 3 anos. Em212a.C.acidaderendeu-se.

Adentrando-se às muralhas de Siracusa as hostes romanas pro- moveram a pilhagem, seguida de uma sangrenta matança. Um soldado aproximou-se de um encanecido senhor de 75 anos, que indiferente à cha- cina, desenhava diagramas na areia e absorto balbuciou: "Não perturbes os meus círculos". O soldado enraivecido trespassou-o com a espada. Foram as derradeiras palavras de Arquimedes.

Marcelo, que havia dado ordens expressas para que se poupasse a vida de seu arquirival, ficou muito entristecido e providenciou que lhe con- cedesse um enterro com honras. Mandou erigir um monumento e, satisfa- zendo o desejo de Arquimedes, foi gravada na lápide de seu túmulo a representação de uma esfera inscrita num cilindro circular reto cuja altura é igual ao seu diâmetro, pois ele havia descoberto e provado as relações

princípio de Arquimedes

CÔNICAS E QUÁDRICAS

matemáticas (notação hodierna):

Outros inventos notáveis ou estudos de Arquimedes:

• Ummecanismo feito de tubos emhélice, fixos a umeixoinclinado com uma manivela para fazê-lo girar. Tem por escopo elevar a água a um plano superior, conhecido como "parafuso de Arquimedes". É um processo rudimentar,masqueaindaéusadoaolongodorioNilo.
• Descobriu o princípio da alavanca e cunhou o célebre aforisma: "Dê-me umponto de apoio e levantarei o mundo".
• Conta Plutarco que Arquimedes arrastou uma das galeras do rei Herão tão suave e uniformemente como se navegasse em pleno mar, movendo apenas com sua mão a extremidade de um engenho que consis- tia emumblococompoliasecordas.
• Relata Cícero que Arquimedes construiu um empolgante meca- nismo hidráulico, com esferas móveis que representavam o Sol, a Lua, os cinco planetas (conhecidos), podendo-se observar as fases e os eclipses da Lua. Enfim, umpequeno planetário.

A grandeza também semanifesta naMatemática:

• No tratado , Arquimedes, em um círculo dado, inscreveu e circunscreveu um polígono de 96 lados e obteve a fórmula para o cálculo da área do círculo e, por muitos séculos, o mais acertado valor para :

A obtenção da área do círculo através de polígonos ficou conheci- da como a "quadratura do círculo". Apenas à guisa de ilustração, o símbolo não foi usado na antigüidade grega no sentido atual. A introdução do símbolo só aconteceu em 1706, por William Jones, umamigo de Newton.

Sobre as Medidas do Círculo

π

π

OBSERVAÇÃO:

3 <π<

ci esf.

ci esf.

S

S

V

V

CÔNICAS E QUÁDRICAS

minho), onde havia uma biblioteca e uma "Universidade" só inferiores às de Alexandria.

Apolônio, e não Euclides, mereceu dos antigos e epíteto de o e isto pode nos parecer inaceitável. A verdade é que não se pode questionar o mérito de ambos. Euclides tornou-se sinônimo de Geometria por sua amplamente conhecida obra , enquanto a maior parte das obras de Apolônio desapareceram.

O que sabemos dessas obras perdidas devemos a Pappus de Alexandria (séc. IV d.C.), que fez uma breve descrição de sua grande pro- dução matemática. Infere-se que os tratados de Apolônio continham uma Matemática bastante avançada e inclusive muito do que conhecemos hoje como Geometria Analítica.

Para gáudio de todos, porém, o tratado , sobre seções cônicas, suplantou todas as obras existentes na antigüidade. O tratado é composto de 8 livros, sete dos quais sobreviveram. Faz-se oportuno um superficial epítome de (embora haja dificuldade emfazê-lo dada a amplitude e a profundidade da obra):

• as seções cônicas não possuíam uma terminologia apropriada. Foi Apolônio quem introduziu os nomes elipse e hipérbole. A palavra pará- bola deve-se provavelmente a Arquimedes;
• pela primeira vez Apolôniomostrou que de umúnico cone podem ser obtidas a elipse, a parábola e a hipérbole, simplesmente variando a inclinação do plano de seção;
• até então o cone utilizado era de uma só folha. Introduzindo o cone duplo (de duas folhas), Apolônio apresenta a hipérbole como uma curva de dois ramos, que nos é familiar;
• as propriedades das curvas não diferem conforme sejam obtidas emcones retos ou oblíquos;
• embora Apolônio não se reportasse a um sistema de eixos (em Geometria Analítica ditos cartesianos), via de regra, utilizava umpardediâ- metros conjugados como equivalentes aos eixos oblíquos;
• Apolônio conhecia a hipérbole eqüilátera, a hipérbole referida às assíntotas, pólo, reta polar de umponto externo à cônica;
• o matemático de Perga descreve um profundo estudo sobre tan- gentes e normais a uma cônica.

Aos que buscam um conhecimento mais profundo do tratado , recomendamos a leitura do capítulo 9, de por Carl B. Boyer. A propósito, este escreve: "Foi a Matemática Pura de Apolônio que permitiu, cerca de 1.800 anos mais tar-

Grande Geômetra

Os Elementos

As Cônicas As Cônicas

As Cônicas

As Cônicas História da Matemática

Jacir. J. Venturi

de, os de Newton; este, por sua vez, deu aos cientistas de hoje condições para que a viagem de ida e volta à Lua fosse possível".

Igualmente é inegável a influência de Apolônio sobre Ptolomeu. Este foi astrônomo e geógrafo e fez observações em Alexandria de 127 a 151 d.C.. Suas obras mais famosas são o (astronomia) e a (8 volumes). Ptolomeu introduziu as tabelas trigonométricas, o sistema de lati- tude e longitude tal como é usado hoje em cartografia, usou métodos de projeção e transformações estereográficas. Catalogou cerca de 8.000 cida- des, rios e referenciais importantes. Até a Idade Média, os mapas tinham como protótipos os mapas elaborados por Ptolomeu. E sobre tais mapas se debruçou Colombo muitas vezes antes de empreender sua viagem à América.

Ademais, de Apolônio tiveram forte influência nos estudos de Kepler. Em 1609, Kepler edita a , onde apre- senta a principal lei da astronomia: "os planetas descrevem órbitas em torno do Sol, com o Sol ocupando um dos focos". A propósito, a palavra foco é devida a Kepler e provém da forma latinizada , cuja acepção é fogo, lareira.

Outra aplicação prática de aparece na obra (1632), de Galileu, em que "desprezando a resistên- cia do ar, a trajetória de um projétil é uma parábola". Ademais, Galileu se reporta à componente horizontal e à componente vertical de uma parábo- la.

Enfim, Leibniz se faz oportuno: "Quem entende Arquimedes e Apolônio, admirará menos as realizações dos homens mais célebres de épocas posteriores".

Depreende-se que foi extraordinário o incremento dado à Geometria Plana e Espacial pelos matemáticos helenísticos. Porém, não dispunham de uma notação algébrica adequada. Que nos perdoem pelo exagero da simplificação, mas podemos afirmar que a Álgebra possui uma dupla paternidade: Diofanto e al-Khowarizmi.

viveu no séc. III d.C., e sua principal obra foi , tratado que originalmente era composto de 13 livros, dos quais só os 6 primeiros se preservaram. O principal mérito da é a utilização de notações, ou seja, de uma linguagem mais sincopada, mais simbólica para a Matemática.

Principia

Almajesto Geografia

As Cônicas Astronomia Nova elípti- cas focus

As Cônicas Os dois principais sistemas

Diofanto de Alexandria Aritmética Aritmética

GEOMETRIA ANALÍTICA: SINOPSE HISTÓRICA