INSTITUTO NACIONAL DE TELECOMUNICAÇÕES
INATEL
NB005
ÁLGEBRA E GEOMETRIA ANALÍTICA
CAP. 4
SUPERFÍCIES QUÁDRICAS
Profª. Karina Perez Mokarzel Carneiro
Prof. Luiz Felipe S. de Godoy
1º Semestre de 2009
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Superfícies Quádricas, Notas de estudo de Álgebra
Matéria de Algebra e Geometria Analítica. Bom maaterial para quem está na P1 (ou não), vale a pena conferir!
Tipologia: Notas de estudo
Antes de 2010
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INSTITUTO NACIONAL DE TELECOMUNICAÇÕES
INATEL
NB
ÁLGEBRA E GEOMETRIA ANALÍTICA
CAP. 4
SUPERFÍCIES QUÁDRICAS
Profª. Karina Perez Mokarzel Carneiro Prof. Luiz Felipe S. de Godoy
1º Semestre de 2009
BIBLIOGRAFIA:
STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. 2a ed. São Paulo: McGraw- Hill, 1987. Cap. 8. Pág. 275 a 292.
4.1 - INTRODUÇÃO:
A equação geral do 2º grau nas três variáveis x, y e z :
2 2 2
ax + by + cz + dxy + exz + fyz + mx + ny + pz + q =
Onde pelo menos um dos coeficientes a, b, c, d, e, ou f é diferente de zero, representa uma superfície quádrica, ou simplesmente, uma quádrica. Se a superfície quádrica dada pela equação acima for cortada pelos planos coordenados ou por planos paralelos a eles, a curva de interseção será uma cônica denominada de Traço.
4.2 - SUPERFÍCIES QUÁDRICAS CENTRADAS
Através de mudanças de coordenadas por rotação e/ou translação, a equação geral, dada anteriormente, pode ser transformada em uma das formas:
2 2
2 2
2
c
z
b
y
a
x
Denominadas, formas canônicas ou padrão de uma superfície quádrica centrada. As possíveis combinações de sinais nesta equação permitem concluir a existência de apenas três tipos de superfícies, conforme sejam três, dois ou um o número de coeficientes positivos dos termos do 1º membro da equação. Se os referidos coeficientes forem todos negativos, não existe lugar geométrico.
4.2.1 – ELIPSÓIDE
O elipsóide é a superfície representada pela equação:
2 2
2 2
2
c
z
b
y
a
x
em que todos os coeficientes são positivos. E ainda, a, b e c são reais positivos e representam as medidas dos semi-eixos do elipsóide. Observamos ainda que os pontos
( ± a , 0 , 0 ), ( 0 ,± b , 0 ), ( 0 , 0 ,± c )são soluções da equação na forma canônica do elipsóide.
z
x
y a
b
c
4.2.2 - HIPERBOLÓIDE DE UMA FOLHA
Se na equação 2 1
2 2
2 2
2 ± ± ± = c
z b
y a
x dois coeficientes dos termos do 1º membro são positivos
e um é negativo, a equação representa um hiperbolóide de uma folha. As equações abaixo representam uma forma canônica do hiperbolóide de uma folha,
ao longo do eixo Ox 2 1
2 2
2 2
2
c
z
b
y
a
x
ao longo do eixo Oy 2 1
2 2
2 2
2
c
z
b
y
a
x
ao longo do eixo Oz 2 1
2 2
2 2
2
c
z
b
y
a
x
Obs: Se na equação 2 1
2 2
2 2
2
- − = c
z b
y a
x tivermos a = b , o hiperbolóide é de revolução, gerado
pela rotação de uma hipérbole em torno do seu eixo imaginário, no caso, o eixo Oz. O traço no
plano xOy é a circunferência 1 , z 0 a
y a
x 2
2 2
2
- = = ou x^2 + y^2 = a^2 , z = 0
Se o centro do hiperbolóide de uma folha é o ponto (x 0 , y 0 , z 0 ) e seus eixos forem paralelos aos eixos coordenados, a equação na forma canônica, obtida por uma translação de eixos coordenados, assume a forma:
c
(z z ) b
(y y ) a
(x x ) 2
2 0 2
2 0 2
2 − (^0) + − − − =
O traço no plano xOy no hiperbolóide de uma folha, é uma elipse.
1 , z 0
b
y
a
x
2
2 2
2
O traço no plano xOz no hiperbolóide de uma folha, é uma hipérbole.
1 , y 0
c
z
a
x
2
2 2
2
O traço no plano yOz no hiperbolóide de uma folha, é uma hipérbole.
1 , x 0 c
z b
y 2
2 2
2 − = =
4.2.3 - HIPERBOLÓIDE DE DUAS FOLHAS
Se na equação 2 1
2 2
2 2
2 ± ± ± = c
z b
y a
x um coeficiente dos termos do 1º membro é positivo e
dois são negativos, a equação representa um hiperbolóide de duas folhas. As equações a baixo são formas canônicas do hiperbolóide de duas folhas ao longo dos eixos:
2 2
2 2
2 − − = c
z b
y a
x eixo Ox.
2 2
2 2
2 − + − = c
z b
y a
x eixo Oy.
2 2
2 2
2 − − + = c
z b
y a
x eixo Oz
Obs: o plano xOz não intercepta a superfície, nem qualquer plano y = k, onde k < b.
Se k > b , o traço no plano y = k é a elipse:
1 , k y b
k c
z a
x 2
2 2
2 2
2
- = − =
Os traços nos planos x = k e z = k são hipérboles. Se na equação 2 1
2 2
2 2
2 − + − = c
z b
y a
x
tivermos a = c , o hiperbolóide é de revolução, gerado pela rotação de uma hipérbole em torno
de seu eixo real. O traço no plano y = k, k > b , é a circunferência:
1 , y k a
z b
k a
x 2
2 2
2 2
2 − + − = =
Se o centro do hiperbolóide de duas folhas é o ponto (x 0 , y 0 , z 0 ) e seus eixos forem paralelos aos eixos coordenados, a equação na forma canônica, obtida por uma translação de eixos coordenados, assume a forma:
c
(z z )
b
(y y )
a
(x x )
2
2 0 2
2 0 2
2
− −^0 + − − − =
O traços nos planos xOy e yOz, no hiperbolóide de duas folhas são as hipérboles.
1 , z 0 a
x b
y 2
2 2
2 − = =
1 , x 0 c
z b
y 2
2 2
2 − = =
Se c > 0 a concavidade é para cima e, para c < 0 a concavidade é para baixo. Um traço no plano z = k,k> 0 , é uma elipse que aumenta de tamanho à medida que o plano
se afasta do plano xOy. Se tivermos a = b, o parabolóide é de revolução e pode ser gerado pela rotação da parábola
cz, x 0 b
y 2
2 = = em torno do eixo dos z. O traço no plano z = k é uma circunferência.
Se o vértice do parabolóide elíptico é o ponto (x 0 , y 0 , z 0 ) e seus eixos forem paralelos aos eixos coordenados, a equação na forma canônica, obtida por uma translação de eixos coordenados, assume a forma:
2 (^ o)
2 o 2
2 o (^) cz z b
y y a
x x = −
4.3.2 – PARABOLÓIDE HIPERBÓLICO
Se na equação das superfícies não centradas, os coeficientes dos termos de segundo grau tiverem sinais contrários, a equação representa um parabolóide hiperbólico.
A equação cz a
x b
y 2
2 2
2 − = é uma forma canônica ou padrão da equação do parabolóide
hiperbólico ao longo do eixo dos z.
x
y
z