Baixe Cônicas e Superfícies quádricas e outras Esquemas em PDF para Cálculo Diferencial e Integral, somente na Docsity!
Universidade do Estado da Bahia – UNEB Departamento de Ciências Exatas e da Terra – DCET Campus II – Alagoinhas, Bahia Curso: Licenciatura em Matemática Componente Curricular: Cálculo III Docente: Válber Melo Discente: Larissa Ayala Seções cônicas e superfícies quádricas
- Seções cônicas DEFINIÇÃO: Uma seção cônica ou, simplesmente, uma cônica é uma curva obtida cortando-se qualquer cone de duas folhas por um plano que não passa pelo vértice, chamado de plano secante. De acordo com a inclinação desse plano, a curva será chamada de elipse, hipérbole ou parábola. 1º caso: Se o plano é paralelo a uma geratriz do cone, a cônica é uma parábola. Figura 1 - Parábola cortada pela seção cônica Fonte: NÉRY, NÁCUL, DOERING e MENEZES (p. 3) Sendo assim, a parábola é o lugar geométrico dos pontos pertencentes a um plano, que são equidistantes de uma reta fixa e de um ponto fixo. Esse ponto fixo é chamado de foco da parábola (ponto F) e a reta recebe o nome de diretriz (reta d). A reta que passa pelo foco, perpendicular a diretriz, é chamada de eixo de simetria da parábola. O vértice (ponto V) é o ponto de intersecção entre a parábola e o seu eixo, sendo que a distância entre o vértice e o foco é igual a distância do vértice a reta diretriz.
Figura 2 - Parábola Fonte: https://www.somatematica.com.br/emedio/conicas/conicas4.php CURIOSIDADES: ➢ Os telescópios refletores mais simples têm espelhos com secções planas parabólicas. ➢ As trajetórias de alguns cometas são parábolas, sendo que o Sol ocupa o foco. ➢ A superfície de um líquido contido em um cilindro que gira em torno de seu eixo com velocidade constante é parabólica. EQUAÇÕES DA PARÁBOLA
- Parábola com vértice na origem, concavidade para a direita e eixo de simetria horizontal (figura 2) y^2 = 2px (equação reduzida da parábola) Se a concavidade estiver para a esquerda: Figura 3 - Parábola com a concavidade para esquerda y^2 = - 2px
constante. A maior distância entre dois pontos pertencentes à elipse é chamada de eixo maior (2a). Já a menor distância é chamada de eixo menor e é indicada por 2b. Figura 7 - Elipse Fonte: https://www.somatematica.com.br/emedio/conicas/conicas1.php CURIOSIDADES ➢ A Terra descreve uma trajetória elíptica em torno do sol, que é um dos focos dessa trajetória. A lua em torno da terra e os demais satélites em relação a seus respectivos planetas também apresentam esse comportamento. ➢ O cometa de Halley segue uma órbita elíptica, tendo o Sol como um dos focos. ➢ As elipses são chamadas cônicas porque ficam configuradas pelo corte feito em um cone circular reto por um plano oblíquo em relação à sua base. EQUAÇÕES CANÔNICAS DA ELIPSE
- Elipse com centro na origem e eixo maior horizontal Figura 8 - Elipse com eixo maior horizontal Fonte: https://www.somatematica.com.br/emedio/conicas/conicas2.php
𝑥^2
𝑎^2
𝑦^2
𝑏^2
- Elipse com centro na origem e eixo maior vertical Figura 9 - Elipse com eixo maior vertical Fonte: https://www.somatematica.com.br/emedio/conicas/conicas2.php
𝑦^2
𝑎^2
𝑥^2
𝑏^2
3º caso: Se o plano não é paralelo a uma geratriz e corta ambas as folhas, do cone, a cônica é uma hipérbole. Figura 10 – Hipérbole cortada pela seção cônica Fonte: NÉRY, NÁCUL, DOERING e MENEZES (p. 3) Assim, a hipérbole é o lugar geométrico dos pontos no plano cujo módulo da diferença das distâncias a dois pontos fixos do plano (foco) é um valor constante. Representando a hipérbole no eixo cartesiano, temos os pontos A 1 e A 2 que são os vértices da hipérbole. A reta que liga esses dois pontos é chamada de eixo real.
Fonte: https://www.somatematica.com.br/emedio/conicas/conicas3_2.php
𝑦^2
𝑏^2
𝑥^2
𝑎^2
Fazendo “um parênteses” nas cônicas, falaremos um pouco da circunferência , em que podemos também estudar aas suas equações. DEFINIÇÃO: Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano equidistantes de um ponto fixo desse mesmo plano, denominado centro. Figura 14 – Circunferência de centro C Fonte: https://www.somatematica.com.br/emedio/circunferencia/circunf.php Sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da circunferência, a distância de C a P(dCP) é o raio dessa circunferência. Então: Figura 15 – Coordenadas da circunferência Fonte: https://www.somatematica.com.br/emedio/circunferencia/circunf.php
𝑑𝐶𝑃 = √(𝑋𝑃 − 𝑋𝐶)^2 + (𝑌𝑃 − 𝑌𝐶 )^2 ⇒ √(𝑥 − 𝑎)^2 + (𝑦 − 𝑏)^2 = 𝑟
Logo,
(𝑥 − 𝑎)^2 + (𝑦 − 𝑏)^2 = 𝑟^2
OBSERVAÇÃO: Se o centro da circunferência está na origem, a equação da circunferência será: Figura 16 – Circunferência com centro na origem Fonte: https://s3-sa-east-1.amazonaws.com/pro-api- homolog/content/apostila/images/Screenshot_2355.jpg
𝑥^2 + 𝑦^2 = 𝑟^2
- Superfícies quádricas DEFINIÇÃO: São superfícies em E^3 que podem ser consideradas a versão tridimensional das cônicas. Podem ser descritas, em relação a um sistema de ortogonal de coordenadas, por uma equação do 2º grau em três variáveis (x, y e z): Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0 com pelo menos uma das constantes A , B , C , D , E ou F diferente de 0. Mediante uma rotação ou translação de eixos, ou até mesmo através de dos dois movimentos simultaneamente, se transforma em um dos dois tipos de equações: 1) Ax^2 + By^2 + Cz^2 _= D
- Ax_^2 + By^2 + Iz = 0 Se a superfície quádrica for cortada pelos planos coordenados ou por planos paralelos a eles, a curva de interseção será uma cônica. Essa interseção é chamada de traço da superfície no plano. As interseções com planos paralelos ao plano xy , são conhecidas como curvas de contorno e suas projeções no plano xy são as chamadas curvas de nível.
Figura 17 – Elipsóide Fonte: http://professor.pucgoias.edu.br/SiteDocente/admin/arquivosUpload/3176/material/Quadricas% 20(novo).pdf CARACTERÍSTICAS: ➢ A superfície é simétrica em relação a todos os eixos coordenados, a todos os planos coordenados e a origem. ➢ Se duas das constantes a, b e c são iguais, temos um elipsóide de revolução. ➢ Interseções com os eixos coordenados ➢ Traços sobre os planos coordenados ➢ Seções por planos paralelos aos planos coordenados
OBSERVAÇÃO 1 : Quando a = b = c, a equação 𝑥^2 𝑎^2
𝑦^2 𝑎^2
𝑧^2 𝑎^2
= 1 ou ainda
𝑥^2 + 𝑦^2 + 𝑧^2 = 𝑎^2 representa uma superfície esférica.
OBSERVAÇÃO 2: Os traços nos planos coordenados são elipses, como também são elipses os traços em planos paralelos aos planos coordenados, que interceptam a superfície em mais de um ponto.
- Hiperbolóide de uma folha Consideremos no plano yz a hipérbole de equações:
𝑦^2
𝑏^2
𝑧^2
𝑐^2
A rotação dessa hipérbole em torno do eixo – z resulta na hiperbolóide de uma folha, cuja equação será obtida da equação a hipérbole substituindo y por
±√𝑥^2 + 𝑦^2. Encontramos:
𝑥^2
𝑎^2
𝑦^2
𝑏^2
𝑧^2
𝑐^2
Figura 18 – Hiperbolóide de uma folha Fonte: http://professor.pucgoias.edu.br/SiteDocente/admin/arquivosUpload/3176/material/ Quadricas%20(novo).pdf CARACTERÍSTICAS: ➢ A superfície é simétrica em relação a todos os eixos coordenados, a todos os planos coordenados e a origem.
A rotação dessa hipérbole em torno do eixo – y resulta na hiperbolóide de duas folhas, cuja equação será obtida da equação a hipérbole substituindo z por
±√𝑥^2 + 𝑦^2. Encontramos:
𝑥^2
𝑦^2
𝑏^2
𝑧^2
𝑐^2
Figura 19 – Hiperbolóide de duas folhas Fonte: http://professor.pucgoias.edu.br/SiteDocente/admin/arquivosUpload/3176/material/Quadricas% 20(novo).pdf CARACTERÍSTICAS: ➢ A superfície é simétrica em relação a todos os eixos coordenados, a todos os planos coordenados e a origem. ➢ A superfície está ao longo do eixo coordenado correspondente à variável cujo coeficiente é positivo na forma canônica de sua equação. ➢ Interseções com os eixos coordenados ➢ Traços sobre os planos coordenados ➢ Seções por planos paralelos aos planos coordenados
OBSERVAÇÃO: Não há traço no plano xy. Em planos paralelos ao plano xy que intersectam a superfície em mais do que um ponto os traços são elipses. Os traços nos planos yz e xz , bem como em planos paralelos a eles, são hipérboles.
- Parabolóide elíptico Consideremos no plano yz a parábola de equação:
𝑎𝑥^2 = 𝑏𝑦
A rotação dessa parábola em torno do eixo – y resulta na parabolóide de revolução, cuja equação será obtida da equação da parábola substituindo y por
±√𝑥^2 + 𝑦^2. Encontramos:
𝑎𝑥^2 + 𝑐𝑧^2 = 𝑏𝑦
Figura 20 – Parabolóide elíptico Fonte: http://professor.pucgoias.edu.br/SiteDocente/admin/arquivosUpload/3176/material/Qua dricas%20(novo).pdf
Referências Boulos, Paulo. Geometria Analítica: um tratamento vetorial. MAKRON Books. Capítulo 5. Cônicas e quádricas. Disponível em: < http://www.clicmates.com.br/arquivosparadonwloads/quadricas_conicas.pdf> Acesso em: 23 de mar. de 2021. IMECC, Unicamp. MA141 – Geometria Analítica / Superfícies no espaço / Superfícies Quádricas. Disponível em: < https://cursos.ime.unicamp.br/disciplinas/geometria-analitica/superficies-no- espaco/superficies-quadricas/superficies-quadricas/> Acesso em: 23 de mar. de 2021. Instituto de Matemática HJB – GMA – UFF. Superfícies Quádricas. Disponível em: < http://www.professores.im-uff.mat.br/hjbortol/arquivo/2007.1/qs/quadric- surfaces_br.html> Acesso em: 23 de mar. de 2021. Lehmann, Charles. Geometria Analítica , Editora Globo. Mujica, Ximena. Curvas no plano R^2 e no espaço R^3. DMat – UFPR. 1º semestre, 2017. Mundo Educação. Cônicas. Disponível em: < https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/conicas.htm> Acesso em: 23 de mar. de 2021. NERY, Janice; NÁCUL, Liana; DOERING, Luisa; MENEZES, Maria Fernanda. Geometria Analítica: cônicas. Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Instituto de Matemática - Departamento de Matemática Pura e Aplicada; MAT 01353 – Cálculo e Geometria Analítica IA. Só Matemática. Elipse. Disponível em: < https://www.somatematica.com.br/emedio/conicas/conicas1.php> Acesso em 23 de mar. de 2021. Só Matemática. Equações da elipse. Disponível em: < https://www.somatematica.com.br/emedio/conicas/conicas2.php> Acesso em: 23 de mar. de 2021. Só Matemática. Equações da hipérbole. Disponível em: < https://www.somatematica.com.br/emedio/conicas/conicas3_2.php> Acesso em: 23 de mar. de 2021. Só Matemática. Equações da parábola. Disponível em: < https://www.somatematica.com.br/emedio/conicas/conicas5.php> Acesso em: 23 de mar. de 2021. Só Matemática. Hipérbole. Disponível em: < https://www.somatematica.com.br/emedio/conicas/conicas3.php> Acesso em: 23 de mar. de 2021.
Só Matemática. Parábola. Disponível em: < https://www.somatematica.com.br/emedio/conicas/conicas4.php> Acesso em: 23 de mar. de 2021. Superfícies quádricas e superfícies de revolução. Disponível em: < http://professor.pucgoias.edu.br/SiteDocente/admin/arquivosUpload/3176/mater ial/Quadricas%20(novo).pdf> Acesso em: 23 de mar. de 2021. Superfícies quádricas. Disponível em: < https://sites.icmc.usp.br/regilene/sma330/sup-quadricas.pdf> Acesso em: 23 de mar. de 2021. Toda Matéria. Cônicas. Disponível em: < https://www.todamateria.com.br/conicas/> Acesso em: 23 de mar. de 2021. Tomazzoni, Simone. Superfícies Quádricas: equações e figuras. Disponível em: < http://servidor.demec.ufpr.br/disciplinas/EngMec_NOTURNO/TM042/Materiais_ apresentacoes/GA_6_%20Superf%C3%ADcies%20Qu%C3%A1dricas_Figuras .pdf> Acesso em: 23 de mar. de 2021. U. Porto. Faculdade de Engenharia. Superfícies em R^3. Disponível em: < https://web.fe.up.pt/~mines/AM2/Teoricas/Superficies.pdf> Acesso em: 23 de mar. de 2021.
