CONCEITO PRIMITIVO
Os conceitos de conjunto, elemento e pertinência de
elemento ao conjunto são definidos como primitivos, ou
seja, são aceitos sem definição.
Intuitivamente, conjunto é um agrupamento de elementos.
REPRESENTAÇÕES DE UM CONJUNTO
Existem basicamente três maneiras de representarmos um
conjunto, a saber:
I. Por Extensão (tabular)
𝐸𝑥: 𝐴 = {0;1; 2;3; 4;5; …} ; 𝐵 = { 𝑎; 𝑒; 𝑖; 𝑜; 𝑢 }
II. Por compreensão (propriedade característica)
𝐸𝑥: 𝐴 = { 𝑥 | 𝑥 é 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 } ;
𝐵 = { 𝑥 | 𝑥 é 𝑣𝑜𝑔𝑎𝑙 }
III. Diagrama de Venn-Euler
𝐸𝑥: 𝐷𝑎𝑑𝑜 𝑢𝑚 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝐴 = { 0; 2; 4;6; 8 },𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠:
RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA
As relações de pertinência ∈ 𝑒 ∉ relacionam
um elemento a um conjunto.
𝐸𝑥: 𝐴 = {0;1; 2;3; 4;5}, podemos afirmar que:
1 ∈ 𝐴
6 ∉ 𝐴
RELAÇÃO DE INCLUSÃO
As relações de inclusão ⊂ 𝑒 ⊄ relacionam dois
conjuntos.
CONJUNTO UNIVERSO
É o conjunto que possui todos os elementos.
Simbolicamente teríamos ∀ 𝑥, 𝑥 ∈ 𝑈.
CONJUNTO UNITÁRIO
É o conjunto no qual apenas um elemento satisfaz a
propriedade característica.
CONJUNTO VAZIO
É aquele que não possui elementos, ou seja, nenhum
elemento satisfaz a sua propriedade característica.
Simbolicamente: ∀ 𝑥, 𝑥 ∉ 𝑉𝑎𝑧𝑖𝑜. 𝐴 = ∅ 𝑜𝑢 𝐴 = { }
SUBCONJUNTOS (Inclusão)
Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e
somente se, todo elemento de A, pertence também a B.
𝐴 ⊂ 𝐵 ⇔ ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐵 )
Propriedades da inclusão
P1)
𝑨 ⊂ 𝑼
P2)
𝑨 ⊂ 𝑨 (𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖𝑣𝑎)
P3)
(𝑨 ⊂ 𝑩 𝒆 𝑩 ⊂ 𝑫)⟹(𝑨 ⊂ 𝑫) (𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎)
P4)
(𝑨 ⊂ 𝑩 𝒆 𝑩 ⊂ 𝑨)⟺(𝑨 = 𝑩)(𝑎𝑛𝑡𝑖 − 𝑠𝑖𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎)
P5)
∅ ⊂ 𝑨; ∀𝑨
P6)
𝑆𝑒 𝑨 possui 𝒏 elementos, então o número de
subconjuntos de 𝑨 é 𝟐𝒏.
O conjunto formado pelos subconjuntos de 𝑨 é chamado
de Conjunto das Partes de 𝑨. Representamos esse
conjunto por 𝑃(𝐴). 𝐸𝑥: 𝐴 = {1;2; 3}, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒:
𝑃(𝐴)= {∅;𝐴; {1};{2};{3};{1,2};{1,3};{2,3};{1,2,3}}
Note que o número de elementos de 𝑃(𝐴) é 8, ou seja,
𝑃(𝐴)= 2𝑛→ 23= 8
OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS
UNIÃO (∪)
A união de dois conjuntos 𝐴 𝑒 𝐵 é o conjunto formado por
todos os elementos que pertencem a 𝑨 𝑜𝑢 𝑩, ou seja:
𝑨 ∪ 𝑩 = {𝒙 | 𝒙 ∈ 𝑨 𝒐𝒖 𝒙 ∈ 𝑩}
Propriedades da união
P1)
𝑨 ∪ ∅ = 𝑨
P2)
𝑨 ∪ 𝑨 = 𝑨 (𝑖𝑑𝑒𝑚𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑡𝑒)
P3)
𝑨 ∪ 𝑩 = 𝑩 ∪ 𝑨 (𝑐𝑜𝑚𝑢𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎)
P4)
𝑨 ∪ (𝑩 ∪ 𝑪)=(𝑨 ∪ 𝑩)∪ 𝑪 (𝑎𝑠𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎)
INTERSECÇÃO (∩)
A intersecção de dois conjuntos 𝐴 𝑒 𝐵 é o conjunto
formado por todos os elementos comuns a 𝑨 𝑒 𝑩, ou
seja:
𝑨 ∩ 𝑩 = {𝒙 | 𝒙 ∈ 𝑨 𝒆 𝒙 ∈ 𝑩}
PRÉ - ENEM MATEMÁTICA – REVISÃO
Prof°: Rubem Machado e-mail: [email protected]
TEORIA DOS CONJUNTOS - AULA 02
