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Proposta de Teste [maio 2017]
Nome: _______________________________________________________________
Ano / Turma: _________ N.º: _____ Data: ___ - ____ - ___
1.ª Parte
Para cada questão indica a opção que consideras correta.
1. Sejam f e g duas funções de domínio ℝ.
Sabe-se que:
- g^ ( x^ ) >^0 ⇔^ x ∈ −∞] ,1^ ]^ ∪^ ] 3,+∞[
- ( )
2 f x = − x + 2 x − 3
O conjunto-solução da inequação
( )
( )
g x
f x
≥ é:
(A) (^) [ 1, 3[ (B) (^) ] − ∞ , 1] ∪ (^) ] 3 ,+ ∞[
(C) ] 1, 3]^ (D) ] − ∞^ , 1^ [ ∪^ ] 3 ,+ ∞[
2. Sejam f e g , funções reais de variável real, tais que: - f tem domínio ℝ \ { } 2 e é definida por ( )
x f x x
- g ( x ) = 2 − f ( x + 3 )
Seja P o ponto de interseção das assíntotas do gráfico de g. As coordenadas do ponto P
são:
(A) (^) ( 2 , 1) (B) (^) ( −1, 3)
(C) (^) ( 5 , 1) (D) (^) ( −1, 1)
3. Seja f uma função de domínio
− ℝ.
Sabe-se que a reta de equação y = − 3 x + 1 é assíntota oblíqua do gráfico de f.
Então, pode-se concluir que
( ) 3 lim x
f x
→−∞ x
é igual a:
(A) −∞ (B) − 3
(C) 0 (D) 1
Proposta de Teste [maio 2017]
4. Na figura estão representadas uma reta t e parte do gráfico de uma função f.
Sabe-se que:
- a reta t é tangente ao gráfico de f no ponto
A (^) ( 2 , 3);
- a reta t interseta o eixo Ox no ponto de
coordenadas ( −4 , 0 );
- a reta t interseta o eixo Oy no ponto de
coordenadas (^) ( 0 , 2).
Pode concluir-se que
( )
0
lim h
f h
→ h
é igual a:
(A) 2 (B) 1
(C)
(D) − 2
5. Seja f uma função, de domínio ℝ , definida por uma expressão do tipo
( )
2 f x = ax + bx + c ; a , b , c ∈ ℝ e a ≠ 0.
Sabe-se que:
- x 1 (^) < x 2
- f^ ( x 1^ ) = f^ ( x 2 )
Em relação a
1 2
2
x x f
pode concluir-se que:
(A) Não existe. (B) É igual a 1.
(C) É igual a
. (D) É igual a 0.
Proposta de Teste [maio 2017]
3. Seja f a função de domínio ℝ definida por:
( )
2
2
x x se x
f x x se x x
3.1. Verifica se a função f é contínua em x = 1.
3.2. Determina, na forma reduzida, uma equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto
de abcissa 0.
4. Na figura estão representados um círculo e o gráfico da função f , de domínio
ℝ ,
definida por (^) ( )
f x x
Seja g a função que a cada valor de x > 0 faz corresponder a área do círculo de centro O
e raio OP , sendo P um ponto móvel do gráfico de f.
4.1. Mostra que ( )
4
2
x 1 g x x
= π × (^)
4.2. Considera o círculo em que a medida da área é 8. A circunferência que delimita esse
círculo interseta o gráfico de f em dois pontos A e B , sendo a abcissa de A menor que a
abcissa de B. Recorre às capacidades gráficas da calculadora e determina as abcissas dos
pontos A e B. Apresenta os resultados arredondados às centésimas.
FIM
Proposta de Resolução [maio 2017]
Cotações
1.ª Parte 2.ª Parte
Questões
1. 2. 3. 4. 5. 1.1. 1.2.a) 1.2.b) 2.1. 2.2. 2.3. 3.1. (^) 3.2. 4.1. 4.2.
Cotações 10 10 10 10 10 15 15 18 18 15 18 18 15 10 8
1.ª Parte
1. (^) ( )
f x x x x
A função f não tem zeros. ∀ ∈ x ℝ, f (^) ( x )< 0
x −∞ 1 3 +∞
g x ( (^) ) + + ( g x ( (^) ) ≤ 0 ) (^) +
f (^) ( x (^) ) – – – –
( )
( )
g x
f x
( )
( )
g x
f x
( )
( )
≥ 0 ⇔ ∈] 1 , 3]
g x x f x
Opção (C)
2. ( )
x f x x x
Assíntotas do gráfico de f : x = 2 ; y = 1
g x ( (^) ) = 2 − f (^) ( x + (^3) )
Assíntotas do gráfico de g : x = 2 − 3 = − 1 ; y = − 1 + 2 = 1
Coordenadas do ponto de interseção das assíntotas: (^) ( −1 , 1)
Opção (D)
( ) ( )
→−∞ →−∞
lim lim 3 0 3 x x
f x f x
x x x
Opção (B)
Proposta de Resolução [maio 2017]
1.2.b) O retângulo [ OAPB ] é um quadrado se e só se f ( x ) = x.
( )
2 4 1 2 1 0 0 0 2 2
x x x f x x x x x x x
x x x x x
⇔ x = 1 ± 2 ∧ x ≥ 0 ⇔ x = 1 + 2
[ OAPB ] é um quadrado se a abcissa de p for 1 + 2.
2.1. (^) ( )
2 2 5 3 0 5 0 0 1 1
x x x g x x x x
Cálculo auxiliar:
x x x x x x
x −∞ −^1 −
2 5 x 3 x +^ +^0 –^0 +
x + 1 –^ +^ +^ +^ +^ +
g x ( ) –^ +^0 –^0 +
( ) [ [
g x x
2.2. Equação da assíntota é do tipo y = mx + b.
( )
→+∞ →+∞
lim lim 5 5 0 5 x x 1
f x m x x
( ( ) ) →+∞ →+∞ →+∞ →+∞
^
+^ +
lim lim 5 5 lim lim 2 1 1 1 1
x x x x
x x b f x mx x x x x
x
Equação da assíntota oblíqua: y = 5 x − 2
2.3. Coordenadas de um vetor diretor da reta r : (^) ( 1 , 3)
O declive da reta r é 3.
( )
( )
( ) ( )
+ ^ + +
2 2
x^ x^ x g x x x (^) x x
Seja P x g x ( , ( (^) ))o ponto do gráfico de g , de abcissa não nula, no qual a reta tangente tem declive 3.
( ) ( ) ( )
′ = ⇔ − = ⇔ = ⇔ (^) ( + (^) ) =
2 2 2
g x x
x x
⇔ x + 1 = 1 ∨ x + 1 = − 1 ⇔ x = 0 ∨ x = − 2
P (^) ( − 2 , g ( − (^2) )) = −( 2 , − (^14) )
Proposta de Resolução [maio 2017]
( ) =^ −^ +^ = −
f
− (^ ) −
→ →
2
1 1
lim lim 2 3 2 3 x x 4 4 4
f x x x
→ +^ → +^ → +^ →+
− −^ + −
0 0
1 1 2 1 1
lim lim lim lim x x (^) 1 x (^) 1 1 1 x 1 1 1
x x^ x x f x x (^) x x x x x x
→+
lim x (^) x 1 1 x 4
Conclui-se que ( )
→
1
lim x 4
f x. Daqui resulta, que f é contínua em x = 1.
3.2. Ponto de tangência: ( ( ))
f
Se x < 1 , ( )
f x x x x
f ′^ ( 0 )= − 3.
Equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto
y x
4.1. Raio do círculo: OP.
P x , x
(^2 ) (^2 ) 2 2
x OP x x x x x
= π = π = π ^
2 2 4 4
2 2
x 1 x 1 g x OP x x
4.2. Recorrendo às capacidades da calculadora pretende-se resolver graficamente a equação
g x ( ) = 8.
As abcissas dos pontos A e B , arredondadas às centésimas, são 0,70 e 1,44 , respetivamente.
FIM
