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ESDJGFA | Teste 12º Ano | Matemática A | 28.02.
O TESTE TERMINA COM A PALAVRA FIM
1. Considera todos os números naturais de quatro algarismos diferentes que se podem formar com os
algarismos de 0 , 2 , 3 , 4 , 5 e 8.
Destes números, quantos são múltiplos de 5 e menores do que 6000?
(A) 72 (B) 84 (C) 96 (D) 120
2. O responsável por uma exposição dispõe de três quadros a óleo, duas aguarelas e cinco serigrafias de
um artista, todos diferentes entre si. Os quadros vão ser expostos, em fila, numa parede.
Determina de quantas maneiras diferentes se podem dispor os quadros, sabendo que
2 .1. dois dos quadros a óleo ficam nos extremos e as duas aguarelas no meio.
2 .2. as duas aguarelas não ficam juntas.
Departamento de Ciências e tecnologias
Ensino Secundário Ι Matemática A – 12 º Ano
Ano letivo 2022/20 23
Prova Escrita de Matemática A - 12º ___ 28 fevereiro 2023
Duração da prova: 90 minutos|
Nome: ___________________________________________________________ Nº: ___
D1 - Conhecimento Matemático:
______________
D2 - Raciocínio e Resolução de Problemas
_____________
Na resposta aos itens de escolha múltipla, selecione a opção correta. Escreva, na folha de respostas, o
número do item e a letra que identifica a opção escolhida.
Na resposta aos restantes itens, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações
necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exato.
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3. Sejam 𝑓 a função, de domínio ℝ definida por 𝑓(𝑥) = {
𝑥+ 2
ln
( 𝑥+ 3
)
𝑥
2
Resolve as alíneas seguintes, utilizando processos exclusivamente analíticos.
3.1. Estuda a continuidade da função 𝑓 no ponto de abcissa − 2.
3.2. Determina, caso exista, a equação da assíntota horizontal ao gráfico de 𝑓 , no intervalo] − ∞, − 2 ].
4. Considera a função ℎ, de domínio ℝ, definida por ℎ(𝑥) = ln (𝑒
𝑥
Resolve as alíneas 4.2. e 4.3., utilizando processos exclusivamente analíticos.
4.1. A expressão que define a função ℎ
− 1
, função inversa de ℎ, é igual a:
(A) ℎ
− 1
= ln (𝑥 − 2 ) (B) ℎ
− 1
= x − 2
(C) ℎ
− 1
𝑥
+ 2 (D) ℎ
− 1
(𝑥) = ln (𝑒
𝑥
4.2. Resolve, em ℝ , a equação ℎ(𝑥) = ln ( 4 𝑒
−𝑥
4.3. Seja 𝑔 a função, de domínio ℝ, definida por 𝑔(𝑥) = ℎ(𝑥) – 𝑥.
O gráfico de 𝑔 admite uma assintota oblíqua quando 𝑥 → −∞.
Determina a equação dessa assintota.
5. Considera a função 𝑔, de domínio ℝ , definida por 𝒈(𝒙) = 𝒙
𝟐
𝟒−𝒙
𝟐
Sabe-se que
- 𝐴 é o ponto do gráfico da função 𝑔 cuja ordenada é o mínimo da função 𝑔, de abcissa positiva;
- 𝐵 é um ponto do eixo 𝑂𝑦;
- A reta 𝐴𝐵 tem inclinação 45°.
Determina, utilizando processos exclusivamente analíticos, as coordenadas do ponto 𝐵.
Nota: Começa por fazer o estudo da monotonia da função.
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8. Num certo dia, pelas 9 horas da manhã, deu-se início a uma experiência laboratorial com insetos.
O número N, de insetos, em centenas, em função do tempo t, em minutos decorridos desde o início da
experiência, é dado pela função 𝑁, definida por:
= 4 + 5 log
8.1. O aumento do número de insetos na primeira hora, em centenas, arredondadas às unidades, foi igual a:
(A) 2 (B) 6 (C) 9 (D) 13
8.2. Num certo instante, 𝑡
1
, existia um determinado número de insetos.
Sabe-se que passados 100 minutos desse instante, o número de insetos passou a ser a quinta parte do
quadrado do número de insetos existentes nesse instante.
Determina, recorrendo à calculadora gráfica , o valor de 𝑡
1
, sabendo que pertence ao intervalo [5, 30] e que,
neste intervalo, o valor é único.
Na tua resposta, apresenta uma equação que permita resolver o problema, reproduzindo o gráfico visualizado
na calculadora que permite obter o valor pedido, o valor de 𝑡
1
arredondado às décimas.
9. Na figura encontram-se parcialmente os gráficos de duas
funções 𝑓 𝑒 𝑔, de domínios 𝐼𝑅 e 𝐼𝑅
, respetivamente, definidas
por 𝑓(𝑥) = 𝑒
𝑥
𝑒 𝑔(𝑥) = ln 𝑥 e uma reta t.
- a reta 𝑡 é tangente ao gráfico de 𝑔, num ponto de abcissa
- a reta 𝑡 é tangente ao gráfico de 𝑓 num ponto de abcissa negativa.
Prova, por processos analíticos, que ln 𝑎 =
𝑎+ 1
𝑎− 1
D2 D2 D2 D1 D1 D1 D1 D1 D1 D1 D1 D1 D2 D2 D
1. 2.1. 2.2 3.1 3.2 4.1 4.2. 4.3. 5. 6.1 6.2 7. 8.1 8. 2 9. T
10 13 13 16 15 10 15 15 18 10 10 15 10 15 15 200
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