Textos de Apoio - Algebra Linear, Notas de estudo de Engenharia Mecânica

Baixe Textos de Apoio - Algebra Linear e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Mecânica, somente na Docsity!

Álgebra Linear

Cristina M.R. Caridade

Álgebra Linear

Cristina M.R. Caridade

A necessidade dos alunos do ISEC utilizarem o MATLAB como suporte computacional em estudos nas áreas da engenharia, revelou ser de todo o interesse a aplicação deste software nas disciplinas de base como a Álgebra Linear. Assim, nesta publicação são incorporados comandos do Matlab que permitem o apoio ao estudo da Álgebra Linear.

O MATLAB (MATrix LABoratory) é um software interactivo constituído por um conjunto de ferramentas matemáticas que proporcionam uma grande ajuda nos cálculos de engenharia. Neste software as matrizes assumem um papel fundamental. No Ensino Superior, o MATLAB tornou-se uma ferramenta muito importante, utilizada em diferentes matérias como a álgebra linear e a análise de sistemas de controlo, entre outras. Na indústria, o MATLAB é utilizado na procura e na resolução de problemas práticos de engenharia.

• 1 Matrizes
• 1.1 Introdução
• 1.1.1 Matriz Quadrada, matriz linha e coluna
• 1.1.2 Traço da matriz
• 1.1.3 Matrizes quadradas Especiais
• 1.2 Operações com Matrizes
• 1.2.1 Igualdade entre matrizes
• 1.2.2 Adição de matrizes
• 1.2.3 Multiplicação de uma matriz por um escalar
• 1.2.4 Multiplicação de matrizes
• 1.2.5 Potenciação
• 1.2.6 Matriz Transposta
• 1.2.7 Matriz conjugada
• 1.2.8 Matriz invertível
• 1.3 Exercícios
• 2 Sistemas de Equações
• 2.1 Introdução
• 2.2 Operações elementares sobre linhas
• 2.3 Condensação de matrizes e sua característica
• 2.3.1 Método de eliminação de Gauss
  • solução 2.4 Classificação de sistemas de equações lineares quanto ao conjunto
• 2.5 Introdução
• 2.6 Resolução de sistemas lineares
• 2.7 Inversão de matrizes
• 2.8 Exercícios
• 3 Espaços vetoriais
• 3.1 Definição e exemplos
• 3.2 Subespaço vetorial
• 3.2.1 Subespaço vetorial gerado por um conjunto de vectores
• 3.2.2 Interseção de subespaços
• 3.2.3 Soma de subespaços
• 3.2.4 Soma direta de subespaços
• 3.2.5 Reunião de subespaços
• 3.3 Dependência e independência linear
• 3.4 Base de um espaço vetorial
• 3.5 Mudança de base
• 3.6 Espaço das linhas, colunas e espaço nulo
• 3.7 Exercícios
• 4 Determinantes
• 4.1 Introdução
• 4.2 Definição e suas propriedades
• 4.3 Cálculo do determinante pelo método de eliminação de Gauss
• 4.4 Matriz adjunta e matriz inversa
• 4.5 Exercícios
• 5 Valores e vetores próprios
• 5.1 Definição e suas propriedades
• 5.2 Diagonalização
• 5.3 Exercícios
  • Bibliografia

Introdução Matriz Quadrada, matriz linha e coluna Traço da matriz Matrizes quadradas Especiais Operações com Matrizes Igualdade entre matrizes Adição de matrizes Multiplicação de uma matriz por um escalar Multiplicação de matrizes Potenciação Matriz Transposta Matriz conjugada Matriz invertível Exercícios

1 — Matrizes

1.1 Introdução

Definição 1.1 — Matriz. Dados dois números inteiros positivos m e n, chama-se matriz de dimensão m × n à tabela formada por m.n números reais ou complexos, dispostos em m linhas (horizontais) e n colunas (verticais).

 Exemplo 1.1 A matriz A =

 (^) tem 3 linhas e 3 colunas, ou seja a sua

dimensão é 3 × 3. 

MATLAB 1.1 O comando para representar a matriz anterior é: >> A = [2 1 4; 6 1 10; −1 2 − 10 ]

N Note que se pode separar os elementos de uma linha por espaços, mas deve-se colocar o ponto e virgula para mudar de linha.

O comando >> rand(m, n) produz uma matriz de dimensão m × n com elementos gerados de forma aleatória. Quando se pretende saber a dimensão de uma matriz utiliza-se: >> [m, n] = size(A)% retorna na variável m o número de linhas e na n o número de colunas da matriz A. >> length(A)% retorna o máximo entre o número de linhas e colunas da matriz A. 

Cada elemento de uma matriz é identificado por ai j onde i representa a linha e j a coluna. As matrizes são geralmente representadas por letras maiúsculas A, B, ... e os seus elementos por letras minúsculas a, b, ...

 Exemplo 1.2 Na matriz A =

, o elemento que se encontra na linha 2

coluna 3 é representado por a 23 cujo valor é 10 e o elemento a 31 = − 1 corresponde à linha 3 coluna 1. 

1.1 Introdução 7



1.1.2 Traço da matriz

Definição 1.5 — Diagonal principal. Ao conjunto de elementos de uma matriz de ordem n que se encontram nas posições aii, i = 1 , ..., n chama-se diagonal principal.

 Exemplo 1.6 A diagonal principal da matriz A =

 (^) é 2, 1 , −10. 

MATLAB 1.5 O comando diag do Matlab permite extrair diagonais. Assim, >> A = [2 1 4; 6 1 10; −1 2 − 10 ]; >> diag(A)% obtenho a diagonal principal da matriz A >> diag(A, 1 ) % a primeira diagonal superior de A >> diag(A, 1 ) % a segunda diagonal inferior de A 

Definição 1.6 — Traço. O traço de uma matriz quadrada A de ordem n, representado por tr(A), é a soma de todos os elementos da diagonal principal, ou seja

tr(A) = a 11 + a 22 + a 33 + ... + ann

 Exemplo 1.7 O traço da matriz A =

[

]

é tr(A) = 1 + 1 = 2 e o traço da matriz

B =

 é^ tr(B) =^1 +^3 +^2 +^1 =^7.^ 

MATLAB 1.6 Para calcular o traço de uma matriz utiliza-se o comando trace. >> trace(B) % traço da matriz B 

1.1.3 Matrizes quadradas Especiais

Definição 1.7 — Matriz diagonal. Uma Matriz diagonal é uma matriz quadrada de ordem n cujos elementos que não se encontram na diagonal principal são nulos, ou seja

ai j = 0 , i 6 = j, i, j = 1 , ..., n.

 Exemplo 1.8 A matriz A =

 (^) é uma matriz diagonal de ordem 3 , enquanto

que a matriz B =

[ √

0 π

]

é diagonal de ordem 2. 

8 Matrizes

MATLAB 1.7 O comando diag do Matlab também permite criar matrizes diagonais. Assim, >> diag([ 1 − 1 2]) permite criar a matriz diagonal A do exemplo 1.8. E >> diag([sqrt( 3 ) pi]) a matriz B. 

Definição 1.8 — Matriz escalar. Uma matriz diagonal em que todos os elementos da diagonal principal são iguais é chamada matriz escalar.

 Exemplo 1.9 A matriz A =

 (^) é uma matriz escalar de ordem 3 e A =

[ √ 3 0 0

]

é escalar de ordem 2. 

Definição 1.9 — Matriz identidade. Uma matriz escalar cujos elementos da diagonal principal são iguais a um ("1") é chamada matriz identidade e representa-se por I.

 Exemplo 1.10 A matriz identidade de ordem 3 é I 3 =

 (^) e a de ordem 2 é

I 2 =

[

]

MATLAB 1.8 Para criar a matriz identidade o Matlab possui o comando eye. Assim >> eye( 3 ) % devolve a matriz identidade de ordem 3

N Podemos obter informações sobre os comandos do Matlab, fazendo, por exemplo, >> hel p eye



Definição 1.10 — Matriz triangular superior. Matriz triangular superior é uma matriz quadrada de ordem n em que os elementos “abaixo” da diagonal principal são todos nulos, isto é ai j = 0 , i > j, i, j = 1 , ..., n.

 Exemplo 1.11 A matriz A =

 (^) é uma matriz triangular superior de ordem 3 e

A =

[

]

é uma matriz triangular superior de ordem 2. 

MATLAB 1.9 Para extrair uma matriz triangular superior da matriz digitar os seguintes comandos, >> A = [1 2 3 0; 3 4 5 2; 1 1 1 1; 0 0 9 0] >> B = triu(A) % matriz triangular superior - diagonal 1, 4,1 e 0 >> B = triu(A, 2 ) % matriz triangular superior - diagonal 3 e 2

10 Matrizes

1.2.2 Adição de matrizes

Sejam A e B duas matrizes do mesmo tipo, isto é, com a mesma dimensão, digamos matrizes do tipo m × n. Vamos construir a matriz C obtida pela adição das duas matrizes anteriores, isto é:

C = A + B =

a 11 a 12 ... a 1 n a 21 a 22 ... a 2 n .. .

am 1 am 2 ... amn

b 11 b 12 · · · b 1 n b 21 b 22 · · · b 2 n ..

....

bm 1 bm 2 · · · bmn

a 11 + b 11 a 12 + b 12 · · · a 1 n + b 1 n a 21 + b 21 a 22 + b 22 · · · b 2 n + b 2 n .. .

am 1 + bm 1 am 2 + bm 2 · · · amn + bmn

 Exemplo 1.15 A adição das matrizes A =

 (^) e B =

 (^) é a matriz

C = A + B =



MATLAB 1.12 Em Matlab para adicionar duas matrizes utilizações o simbolo "+". >> A = [1 2 1; −1 4 2; 0 − 2 1] >> B = [2 1 0; 0 3 4; 1 − 1 0] >> A + B

N Cuidado que as matrizes devem ser da mesma dimensão. Caso contrário o Matlab devolve uma mensagem de erro.



1.2.3 Multiplicação de uma matriz por um escalar

Sejam A uma matriz do tipo m × n, vamos multiplicar a matriz A por um número real k (escalar), isto é:

kA = k ×

a 11 a 12 ... a 1 n a 21 a 22 ... a 2 n · · · · · · ... · · · am 1 am 2 ... amn

ka 11 ka 12 ... ka 1 n ka 21 ka 22 ... ka 2 n · · · · · · ... · · · kam 1 kam 2 ... kamn

 Exemplo 1.16 Seja A =

[

]

e B =

 (^) então,

2 A = 2 ×

[

]

[

]

3 B = 3 ×

1.2 Operações com Matrizes 11

N A operação subtracção entre duas matrizes da mesma dimensão é conseguida à custa da composição das operações adição e multiplicação escalar, isto é

A − B = A + (− 1 )B ︸ ︷︷ ︸ multiplicação escalar ︸ ︷︷ ︸ adição .

 Exemplo 1.17 Para se calcular a subtracção entre a matriz A =

[

]

e B = [ 2 4 − 2 − 4

]

é necessário apenas subtrair os elementos que se encontram nas mesmas posições de cada uma das matrizes, ou seja

A − B =

 + (− 1 ) ×



MATLAB 1.13 A multiplicação escalar na Matlab define-se da seguinte forma, >> A = [1 2 1; −1 4 2; 0 − 2 1] >> 2 ∗A % multiplica toda a matriz A por 2. Em Matlab para subtrair duas matrizes utilizações o simbolo -". >> B = [2 1 0; 0 3 4; 1 − 1 0] >> A − B

N Cuidado que as matrizes devem ser da mesma dimensão. Caso contrário o Matlab devolve uma mensagem de erro.



Propriedades 1.1 Sejam A, B, C matrizes de dimensão m × n e k 1 , k 2 escalares, então:

(A + B) +C = A + (B +C) (associatividade da adição) (1.1) A + O = A (O matriz nula para a adição) (1.2) A + (−A) = O (−A é a matriz simétrica de A) (1.3) A + B = B + A (comutatividade da adição) (1.4) k 1 (A + B) = k 1 A + k 1 B (distributividade) (1.5) (k 1 + k 2 )A = k 1 A + k 2 A (distributividade) (1.6) (k 1 k 2 )A = k 1 (k 2 A) (associatividade da multiplicação escalar) (1.7) 1 A = A (1 elemento neutro da multiplicação escalar) (1.8) 0 A = O (0 elemento absorvente da multiplicação escalar) (1.9)

1.2.4 Multiplicação de matrizes

Sejam A, B matrizes tais que o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B, digamos A é uma matriz m × p e B uma matriz p × n. Então o produto A × B é uma matriz m × n cujo elemento i j é obtido multiplicando a i-ésima linha (Ai) de A pela j-ésima coluna (B (^) j) de B.

1.2 Operações com Matrizes 13 matriz B. Caso contrário o Matlab devolve uma mensagem de erro.



Propriedades 1.2 Sejam A, B, C matrizes de dimensão m × n e k um escalar, então:

(AB)C = A(BC) (associatividade da multiplicação) (1.10) A + (B +C) = AB + AC (distributividade à esquerda) (1.11) (B +C)A = BA +CA (distributividade à direita) (1.12) k(AB) = (kA)B = A(kB) (comutatividade) (1.13) IA = AI = A (elemento neutro da multiplicação) (1.14)

N O produto de matrizes não goza da propriedade comutativa em geral. No caso em que duas matrizes A e B gozam dessa propriedade, isto é tais que AB = BA, dizemos que estas são permutáveis.

Propriedades 1.3 Sejam A, B matrizes quadradas de ordem n e k um escalar, então:

tr(A + B) = tr(A) + tr(B) (1.15) tr(AB) = tr(BA) (1.16) tr(kA) = ktr(A) (1.17)

1.2.5 Potenciação

A potência de uma matriz quadrada A de ordem n, é calculada do seguinte modo:

A^0 = I A^1 = A A^2 = A × A A^3 = A^2 × A .. . Ak^ = Ak−^1 × A

 Exemplo 1.21 Sejam A =

[

]

e B =

[

]

então,

A^2 =

[

] 2

[

]

×

[

]

[

]

B^4 =

[

] 4

[

] 2

×

[

] 2

[

]

×

[

]

[

]



14 Matrizes

MATLAB 1.15 O simbolo define uma a operação potenciação no Matlab enquanto o simbolo

. efetua a potenciação elemento a elemento. >> A = [1 2 1; −1 4 2; 0 − 2 1] >> A^2 % significa A ∗ A >> A.^2 % significa cada um dos elementos da matriz A ao quadrado. 

Definição 1.14 — Matriz idempotente. Seja A uma matriz quadrada de ordem n, se A^2 = A, a matriz diz-se idempotente.

 Exemplo 1.22 A matriz A =

 (^) é uma matriz idempotente, pois A^2 = A. 

Definição 1.15 — Matriz periódica. Seja A uma matriz quadrada de ordem n e seja p ∈ N, tal que Ap+^1 = A, se para qualquer k ∈ N, k < p, se tem Ak^6 = A, então, A diz-se matriz periódica de período p.

 Exemplo 1.23 A matriz B =

 (^) é uma matriz periódica de período 3 pois

A^3 = O 3. 

Definição 1.16 — Matriz nilpotente. Seja A uma matriz quadrada de ordem n, se existe p ∈ N, tal que Ap^ = On, se para qualquer k ∈ N, k < p se tem Ak^6 = On, então, A diz-se matriz nilpotente de grau p.

 Exemplo 1.24 A matriz B =

 (^) é uma matriz nilpotente de grau 3 pois

A^3 = O 3. 

1.2.6 Matriz Transposta

Dada uma matriz A do tipo m × n, chamamos transposta de A, e designamos por At^ à matriz do tipo n × m que se obtém de A após trocarmos as linhas pelas colunas (ou as colunas pelas linhas).

 Exemplo 1.25 Sejam A =

[

]

, B =

 (^) e C = [^1 − 1 ], então

At^ =

[

]t

[

]

Bt^ =

t

[

]

Ct^ =

[

]t

[

]



16 Matrizes

M =

2 −π − 1 1 π

é uma matriz anti-simétrica de dimensão 4. 

Definição 1.20 — Matriz hermítica. Seja A uma matriz quadrada de ordem n, se (A)t^ = A, a matriz diz-se hermítica.

 Exemplo 1.29 A matriz A =

1 1 − i 2 1 + i 3 i 2 −i 0

 (^) é uma matriz hermítica, pois

A =

1 1 + i 2 1 − i 3 −i 2 i 0

 (^) e (A)t^ =

1 1 − i 2 1 + i 3 i 2 −i 0

 = A. 

MATLAB 1.18 Para definir o conjugado dos numeros complexos utiliza-se o comando con j do Matlab. >> A = [ 2 + i − 4 i] >> con j(A) % devolve a matriz conjugada de A. 

Definição 1.21 — Matriz hemi-hermítica. Seja A uma matriz quadrada de ordem n, se (A)t^ = −A, a matriz diz-se hemi-hermítica.

 Exemplo 1.30 A matriz A =

0 1 − i 2 1 + i 2 3 + 2 i 2 3 − 2 i 1

 (^) é uma matriz hermítica, pois

A =

0 1 + i 2 1 − i 2 3 − 2 i 2 3 + 2 i 1

(A)t^ =

0 1 − i 2 1 + i 2 3 + 2 i 2 3 − 2 i 1

 = A 

Definição 1.22 — Matriz ortogonal. Seja A uma matriz quadrada de ordem n, se AAt^ = At^ A = In, a matriz diz-se ortogonal.

 Exemplo 1.31 A matriz A =

[

cos α − sin α sin α cos α

]

, α ∈ R é uma matriz ortogonal, pois

AAt^ =

[

cos α − sin α sin α cos α

] [

cos α sin α − sin α cos α

]

[

cos^2 α + sin^2 α cos α sin α − sin α cos α sin α cos α − cos α sin α sin^2 α + cos^2 α

]

[

]

isto é, AAt^ = I 2 , ou seja A é uma matriz ortogonal. 

1.3 Exercícios 17

1.2.8 Matriz invertível

Uma matriz A quadrada de ordem n diz-se invertível se existir uma matriz C, de ordem n, tal que:

CA = In e AC = In onde In representa a matriz identidade de ordem n. Neste caso diz-se que C é a matriz inversa de A. Teorema 1.1 A matriz inversa de uma matriz quadrada A de ordem n se existir é única.

Demonstração:

De facto, se considerarmos B outra matriz inversa de A além da matriz C, então B = BIn = B(AC) = (BA)C = InC = C. Logo a matriz inversa de A, quando existe, é única e usualmente representada por A−^1 , isto é, A−^1 A = AA−^1 = In.

Definição 1.23 — Matriz singular. Uma matriz não invertível também é chamada de matriz singular.

 Exemplo 1.32 Seja A =

[

]

e B =

[

]

, então

AB =

[

]

×

[

]

[

]

= I 2 e

BA =

[

]

×

[

]

[

]

= I 2

logo B = A−^1 , ou seja B é a inversa de A. 

MATLAB 1.19 A matriz inversa no Matlab, pode ser obtida pelo comando inv. Assim, >> A = [2 5; − 3 − 7 ] >> B = inv(A) % representa a matriz inversa de A. 

1.3 Exercícios

1. Seja A =

a) Qual a dimensão da matriz A? b) A matriz A é quadrada de ordem 3? Justifica a tua resposta. c) Determina os elementos a 11 e a 23 da matriz A. d) Qual a diagonal principal desta matriz? Tem mais diagonais?

1. Dadas as matrizes: A =

[

]

, B =

[

]

, C =

[

]

a) Indique as dimensões das matrizes A, B e C. b) Determine A + B e 2A + 3 (B +C). c) Verifique que (A + B) +C = A + (B +C) e ( 2 + 3 )A = 2 A + 3 B.

1.3 Exercícios 19

1. Sejam A e C, duas matrizes reais tais que C = A + At^. Mostre utilizando as propriedades que tr(C) = 2 tr(A).
2. Seja,

A =

1 − i − 2 0 2 + i −i 1 + 2 i

a) Determine a matriz conjugada de A (A). b) Determine a matriz transconjugada de A (At^ ).

1. Mostre que:

a) A =

[

]

é periódica de período 2 (Ap+^1 = A, onde p é o período).

b) B =

 (^) é periódica de período 4.

1. Prove que a matriz A =

[

]

é uma matriz idempotente (A^2 = A).

1. Prove que a matriz A =

 (^) é uma matriz nilpotente de ordem 3 (Ak^ = O onde

k é a ordem).

1. Calcule,

a)

[

]k , k ∈ N

b)

[

]k , k ∈ N

c)

[

cos θ sin θ sin θ − cos θ

]k , k ∈ N

1. Considere as seguintes matrizes

A =

 , B =

 , C =

[

]

a) Determine An^ para n > 1. b) Determine Bn^ para n < 1. c) Calcule C^2 e determine Cn^ para n > 2.

1. Dadas as matrizes

[

]

e

[

]

, identifique-as de modo

a ser possível calcular a expressão (At^ + B)t^ C.

1. Seja a matriz A =

1 3 a b 6 8 − 1 c d

Determine os valores de a, b, c e d para que a matriz A seja simétrica (At^ = A).

20 Matrizes

1. Sendo A uma matriz quadrada mostre que: a) M = A + At^ é uma matriz simétrica (Mt^ = M). b) M = A − At^ é uma matriz anti-simétrica (Mt^ = −M)
2. Sejam

A =

[

]

, B =

[

]

, C =

[

]

, D =

[

]

, E =

[

]

Calcule: a) B − 2 A b) A + 2 B c) 3 C − E d) AC e) CD f) CB g) EB

1. Seja A =

[

]

. Calcule 3I 2 − A e ( 3 I 2 )A.

1. Dadas as matrizes,

A =

[

]

, B =

[

]

, C =

[

]

, D =

[

]

Calcule: a) Bt^ A e (Ct^ A + Dt^ A)t^. b) At^ B e Bt^ (C + D).

1. Considere a matriz A =

[

]

a) A não é simétrica (At^6 = A). b) A é hermítica ((A)t^ = A). c) M = At^ é hermítica ((M)t^ = M). d) M = A¯ é hermítica. e) M = iA é hemi-hermítica ((M)t^ = −M).

1. Substituí os asteriscos por números reais ou complexos de forma que

A =

∗ ∗ − 2 + 3 i ∗ 2 + 2 i ∗ ∗ ∗ ∗ − 1 + 5 i ∗ 7 − 3 i − 1 + i ∗ ∗

seja a) Simétrica (At^ = A). b) Anti-simétrica (At^ = −A). c) Hermítica ((A)t^ = A). d) Hemi-hermítica ((A)t^ = −A).

1. Seja A ∈ Mn×n(C). Prove que:

a) M = A + At^ é simétrica (Mt^ = M).