Baixe Determinantes em Álgebra Linear: Teorias e Cálculos e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Mecânica, somente na Docsity!
Álgebra Linear – Electromecânica + Mecânica
Álgebra Linear
Engenharia Electromecânica
Engenharia Mecânica
Cristina M.R. Caridade
Álgebra Linear – Electromecânica + Mecânica
Álgebra Linear
3 Determinantes
Introdução da noção de determinante. Determinante de segunda ordem: definição e propriedades. Determinante de terceira ordem: definição utilizando o desenvolvimento segundo a primeira linha; desenvolvimento segundo uma das filas – “matriz dos sinais”. Regra de Sarrus. Determinante de ordem n; definição. Menores, menores complementares e complementos algébricos. Teorema de Laplace e sua generalização. Característica de uma matriz e ordem de menores. Cálculo do determinante de uma matriz à custa do determinante deuma matriz triangular obtida por eliminação de Gauss. Aplicações dos determinantes: matriz adjunta e matriz inversa; sistemas de equações lineares. Regra de Cramer.
Álgebra Linear – Electromecânica + Mecânica
Capítulo III : Determinantes
3.1 Introdução
A toda a matriz quadrada A está associado um elemento a que
chamamos determinante de A, usualmente representado por
det( A ) ou A
ad bc c d
a b = −
Álgebra Linear – Electromecânica + Mecânica
Capítulo III : Determinantes
3.2 Determinantes de 1ª e 2ª ordem
A uma matriz quadrada de ordem 1
A uma matriz quadrada de ordem 2
A = a 11 = a 11
A = aa 2111 aa 2212 = a 11 a 22 − a 12 a 21
2 2
6 6 − = −
=
21 − 31 =^1 ×^3 −(−^1 ×^2 )
Álgebra Linear – Electromecânica + Mecânica
Capítulo III : Determinantes
3.3 Determinantes de 3ª ordem
K K K K K
K
K
K
Nota : observe que os “sinais” que acompanham os
menores formam uma distribuição quadriculada com + na
diagonal principal.
( − 1 ) i +^ j
− + −
Álgebra Linear – Electromecânica + Mecânica
Capítulo III : Determinantes
3.3 Determinantes de ordem n
= a (^) 1 j C 1 j + a 2 jC 2 j +K+ anjC nj
A uma matriz quadrada de ordem n
i i i i in in n nj nn
i ij in
j n aC aC a C a a a
a a a
a a a A = = + +K+ K K
K K K K K
K K
K K K K K
K K
1 1 2 2 1
1
11 1 1
Álgebra Linear – Electromecânica + Mecânica
Capítulo III : Determinantes
3.3 Determinantes de 3ª ordem
8 9 1
5 6 7
2 3 4 A
3 ( 51 ) 6 ( 30 ) 9 ( 6 ) 27
5 7 92 4 8 1 62 4 8 1 35 7
3 ( 1 )^12126 ( 1 )^22229 ( 1 )^3232
12 12 22 22 32 32
=− − + − − − =
=− + −
= − + − + −
= + +
A aC aC aC
Exemplo:
2 ( 57 ) 3 ( 51 ) 4 ( 3 ) 27
8 9 45 6 8 1 35 7 9 1 26 7
11 (^1 )^111112 (^1 )^121213 (^1 )^1313
1111 1212 1313
= − − − + − =
= − +
= − + − + −
= + + a +^ M a + M a^ + M
A aC aC aC
Álgebra Linear – Electromecânica + Mecânica
Capítulo III : Determinantes
3.4 Propriedades
A = A^ T
1. Se A tem uma linha (coluna) de zeros, então A =^0
Teorema:Teorema:Teorema:Teorema: Seja A uma matriz quadrada
0 1 1 0
3 1 0
1 2 0
−
Álgebra Linear – Electromecânica + Mecânica
Capítulo III : Determinantes
3.4 Propriedades
multiplicação de uma linha (coluna) de A por um escalar k, então B = k A
Teorema:Teorema:Teorema:Teorema: Seja B uma matriz obtida de A por
A = = × × =
= × A =
= × A =
2xL
3xC
Álgebra Linear – Electromecânica + Mecânica
Capítulo III : Determinantes
3.4 Propriedades
troca entre si de duas linhas (colunas) de A, então B^ =− A
Teorema:Teorema:Teorema:Teorema: Seja B uma matriz obtida de A por
A = = × × =
= − A = −
8 0 0 4
2 0 3
2 1 3 = − A = −
L2 <-> L
C1 <-> C
Álgebra Linear – Electromecânica + Mecânica
Capítulo III : Determinantes
3.4 Propriedades
adição de um múltiplo de uma linha (coluna) de A a outra, então B = A
Teorema:Teorema:Teorema:Teorema: Seja B uma matriz obtida de A por
A =
Álgebra Linear – Electromecânica + Mecânica
Capítulo III : Determinantes
3.5 Cálculo do determinante por eliminação de Gauss
Cálculo do determinante à custa do determinante de uma matriz triangular obtida por eliminação de Gauss e atendendo às propriedades dos determinantes.
−− − = × × ×− × =^ −
= ×
= ×
= ×
= ×
A =
Álgebra Linear – Electromecânica + Mecânica
Capítulo III : Determinantes
3.6 Matriz adjunta e matriz inversa
Matriz adjuntaMatriz adjuntaMatriz adjuntaMatriz adjunta
A
(^11134)
41 32 14
41 12 2
31
21
11
=+− =
=− − =
=+− − =−
C
C
C
12 13 1
12 32 7
11 12 3
32
22
12
=− =
=+ − =−
=− − =
C
C
C
12 11 3
12 41 7
11 41 5
33
23
13
=+ − = −
=− =−
=+ − =
C
C
C
adj ( A )
Álgebra Linear – Electromecânica + Mecânica
Capítulo III : Determinantes
3.6 Matriz adjunta e matriz inversa
Matriz adjuntaMatriz adjuntaMatriz adjuntaMatriz adjunta ---- propriedadespropriedadespropriedadespropriedades
1
1 1
1
−
− −
−
n
n
T T
adj A A
adj A adj A
adj A adj A
adj AB adj Badj A
adj A adj A
λ λ
Álgebra Linear – Electromecânica + Mecânica
Capítulo III : Determinantes
3.6 Matriz adjunta e matriz inversa
A matriz inversa de A, denotada por , pode também ser calculada
por
A −^1
A A adj^ A det
− (^1) =
Matriz inversaMatriz inversa^ Matriz inversaMatriz inversa
Álgebra Linear – Electromecânica + Mecânica
Capítulo III : Determinantes
3.6 Matriz adjunta e matriz inversa
Matriz inversaMatriz inversa^ Matriz inversaMatriz inversa
−
= − 1 4 2
1 1 1
2 1 3 A (^)
− −
−
−
5 7 3
3 7 1
2 14 4 adj ( A )
A
A AdjA
241 12 11 12 311 41 14 1 4 2
1 1 1
2 1 3 = − − − − + − = −
A = −
