Trabalho Final - Transformada de Laplace, Trabalhos de Análise de Sistemas Lineares

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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

CLEVERTON GONCALVES RAMOS

IGHOR LEANDRO DE OLIVEIRA ROCCO

TRANSFORMADA DA LAPLACE E SUAS APLICAÇÕES

Apucarana, Paraná

2021

Transformada da Laplace e suas aplicações

No decorrer da história os seres humanos se deparam com diversos problemas na natureza para serem adaptados, e com a passagem do tempo foram adotadas equações que descrevem os comportamentos da natureza, mas quanto mais o tempo passa mais eventos surgem para serem descritos, e alguns deles exigem manipulações matemáticas que facilitem suas resoluções.

Então para facilitar a resolução de problemas matemáticos surgem diversos métodos e um deles é o método das transformadas, que faz uma mudança de variável para aumentar as possibilidades de resolução, pois em um certo domínio não podemos fazer certas manipulações, mas se alterarmos seu domínio podemos fazer manipulações que nos ajudem nas resoluções.

No seguinte relatório será possível visualizar uma aplicação de uma transformada manipulando um fenômeno físico, aplicado às disciplinas do curso de engenharia elétrica, pois no respetivo curso temos os mais diversos componentes elétricos que possuem inúmeras formas de descreverem seus comportamentos, como o exemplo de um resistor ou até mesmo um capacitor.

𝑅 = 𝑉/𝐼 [1]

A equação de número um descreve o comportamento de um resistor na qual está passando uma corrente “I” e uma tensão “V” está sendo gerada no resistor, essa mesma equação pode ser descrita utilizando “análise da frequência” na qual a fonte vai ser representada como um fasor e a resistência como uma impedância.

𝑣(𝑡) = 𝑉𝑝. 𝑠𝑒𝑛 (𝑤. 𝑡 ± 𝜃𝑉)^ [2]

Utilizando a equação um:

𝑉 = 𝑅. 𝐼

Comparando a primeira equação com a segunda notamos as diferenças nas formas de representar a tensão, a primeira equação tem um certo limite de formas que podemos descrever suas variáveis o mesmo acontece na segunda equação, mas existem casos que ambas não conseguem descrever o comportamento do componente, nesses casos se utiliza transformada, no relatório será utilizada a transformada de Laplace para simplificar a resolução de um circuito RLC.

Um fato interessante que ajuda muito é, como no caso de integrais e derivadas, a existência de uma tabela com transformadas prontas, segue se à baixo uma imagem com uma parte da tabela.

Figura 1.

Figura 1 – tabela de transformadas. Retirada do site: {http://joinville.ifsc.edu.br/~dani.prestini/Engenharia%20Mec%C3%A2nica/2018- 1/M%C3%B3dulo%204%20-%20C%C3%A1lculo%20IV/Material%20de%20Ensino/3%20- %20EDO%20-%20Transformada%20de%20Laplace/Tabela%20Laplace.pdf}

2 - Circuito RLC

Circuito RLC é um circuito com um Resistor (R) medido em ohms (Ω), um Indutor (L) medido em henrys (H) e um Capacitor (C) medido em farad (F), conectados em série ou em paralelo.

O exemplo abaixo é retirado do site:

{http://www.ensinoadistancia.pro.br/EaD/Eletromagnetismo/CircuitoRLC/CircuitoRLC .html}

Figura 1.

Figura 2 – Exemplo de circuito RLC em série.

Seja VL = Vab, VR = Vbc e VC = Vca as tensões (ddps) para cada um desses elementos, em um dado instante. A segunda lei de Kirchhoff estabelece que a soma das quedas e ganhos de potencial em circuito elétrico é igual a zero, isto é

Podemos escrever a Equação 1 em termos das correntes e cargas em cada um dos elementos do circuito, como a seguir.

(2a)

Sendo i = 𝑑𝑞𝑑𝑡 por definição de corrente elétrica, teremos:

(2b)

O circuito RLC da figura 1 possui um resistor R, isto significa que haverá perdas de energia em forma de calor. As soluções da equação diferencial 2a devem ser de forma tal que descreva o comportamento de um circuito oscilante amortecido. Uma possível solução da equação 2a será dada por:

(3) Cujas condições de contorno usadas são, t = 0 => q = qo = Ao. Neste caso, como a carga do capacitor tende a zero com o passar do tempo, a amplitude deve refletir o mesmo comportamento. Para verificar em que condições a equação 3 é solução da equação diferencial, substituiremos (3) em (2). Isto é,

(4a) e

Aplicação

Após compreender os conceitos sobra a transformada de Laplace e ver os componentes do circuito RLC, o próximo passo é relacionar ambos.

i) Primeiramente representar as equações de cada componente;

Resistência:

R(i) [1]

Capacitor: 1 𝐶 ∫ 𝑖𝑑𝑡^ [2] Indutor:

L

𝑑𝑖 𝑑𝑡 [3] Tensão total :

E (t) = R(i) +

1 𝐶 ∫ 𝑖𝑑𝑡^ + L^

𝑑𝑖 𝑑𝑡 [4]

As seguintes equações foram descritas na equação (2a).

Substituindo i (corrente) como i=dq/dt:

E (t) = L

𝑑^2 𝑞 𝑑𝑡^2

+ R

𝑑𝑞 𝑑𝑡

1 𝐶

q [5]

E substituindo os valores de capacitância, resistência, indutância e tensão.

𝑑^2 𝑞 𝑑𝑡^2 + 160^

𝑑𝑞

𝑑𝑡 +^10

(^4) q [6]

Sendo R=160Ω, C= 10 −4^ F, L= 1 H, e E = 10V.

Aplicando a transformada de Laplace nos dois lados temos:

(𝑠^2 + 160𝑠 + 10^4 ) Q(s) = [sq(0) +

𝑑𝑞 𝑑𝑡

(0)] +160q(0) + 10 𝑠 [7]

Substituindo q(0) por 0, e dt(0)=0 temos a seguinte equação:

(𝑠^2 + 160𝑠 + 10^4 ) Q(s) = (^10) 𝑠 [8]

Após a substituição aplicamos o método das Frações parciais e encontramos a seguinte equação:

Q(s) =

1 1000 [

1

𝑠 –^ [^

(𝑠+80) +^4360 (𝑠+80)^2 + 60^2 ]]^ [9]

Aplicando a transformada inversa e utilizando a propriedade da translação:

q(t) =

1 1000 (1 -^ 𝑒

−80𝑡 (^) cos(60𝑡) − 4 3 𝑒

−80𝑡𝑠𝑒𝑛(60𝑡)) [10]

Utilizando novamente i=dq/dt , encontramos o valor da corrente em função do tempo:

i (t) = 16 𝑒−80𝑡^ sen(60𝑡) [11]

Conclusão

Após a realização do seguinte relatório foi possível primeiramente aumentar a capacidade de visualização das possíveis formas de manipular equações, além disso também ver na prática a aplicação matemática em um circuito. Foi possível verificar o funcionamento da transformada de Laplace que foi de grande ajuda para a resolução de circuitos que tem seus componentes descritos na forma de equações diferenciais que variam em função do tempo. E utilizando uma entrada de tensão que tem o formato de degrau (a tensão tem valor 0 até ser ligada quando começa a variar com uma frequência de 1 Hertz), temos a saída que é o valor da corrente no circuito em função do tempo.

Seminário

Uma playlist com vídeos no youtube contém o seminário, pois tivemos problemas com a gravação no google meet, link: {https://youtube.com/playlist?list=PL3qC2ul_OjZzoi3o1ddQlEMcf2SZ50wQX}.

Referencias Definição de transformada de Laplace. ufrgs. Disponível em: https://www.ufrgs.br/reamat/TransformadasIntegrais/livro-tl/tdl- dexfb01nix00e7x00e3o_de_transformada_de_laplace.html. Acesso em: 1 mai. 2021.

Transformada de Laplace. khanacademy. Disponível em: https://pt.khanacademy.org/math/differential-equations/laplace-transform. Acesso em: 1 mai. 2021.

Transformada de Laplace. Wikipedia. Disponível em: https://pt.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace. Acesso em: 30 abr. 1021.

PACHECO, Antonio Luiz Schalata. TRANSFORMADA DE LAPLACE: ALGUMAS APLICAÇÕES : Monografia submetida à Universidade Federal de Santa Catarina para obtenção do grau de Especialista em Matemática. Florianopolis, f. 84 , 2011. Monografia (Matemática) - Universidade Federal de Santa Catarina, Florianopolis, 2011. Disponível em: https://repositorio.ufsc.br/bitstream/handle/123456789/121197/Antonio_Luiz_Scha lata_%20Pacheco.pdf?sequence=1&isAllowed=y. Acesso em: 1 mai. 2021.

REVISTA Brasileira de Ensino de Física, Sao Paulo, v. 34 , junho 2012. Disponível em: https://www.scielo.br/scielo.php?pid=S1806- 11172012000200016&script=sci_arttext#nta02b. Acesso em: 1 mai. 2021.

Ensinoadistancia. Disponível em: http://www.ensinoadistancia.pro.br/EaD/Eletromagnetismo/CircuitoRLC/CircuitoR LC.html. Acesso em: 1 mai. 2021.

Ufrgs.br. Disponível em: https://www.ufrgs.br/reamat/TransformadasIntegrais/livro- tl/afdddeapdc-aplicax00e7x00e3o_circuito_rlc.html. Acesso em: 1 mai. 2021.

Khanacademy. Disponível em: https://pt.khanacademy.org/science/electrical- engineering/ee-circuit-analysis-topic/ee-natural-and-forced-response/a/ee-rlc-natural- response-derivation. Acesso em: 1 mai. 2021.

Circuito RLC. Wikipedia. Disponível em: https://pt.wikipedia.org/wiki/Circuito_RLC#:~:text=Um%20circuito%20RLC%20(t amb%C3%A9m%20conhecido,em%20s%C3%A9rie%20ou%20em%20paralelo.. Acess o em: 1 mai. 2021.