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Transformada de Laplace
Controle 1
Prof. Paulo Roberto Brero de Campos
0.1 Introdu¸c˜ao
O estudo de um objeto ou sistema f´ısico pode ser feito atrav´es das rela¸c˜oes f´ısicas que descrevem o comportamento deste sistema. As rela¸c˜oes que descrevem um sistema dinˆamico resultam em equa¸c˜oes diferenciais. Para se entender como um sistema funciona, na maioria dos casos deve-se resolver as equa¸c˜oes diferenciais que o descrevem, o que normalmente n˜ao ´e uma tarefa simples. Para contornar este problema ´e poss´ıvel utilizar uma transforma¸c˜ao em que fun¸c˜oes diferenciais e integrais s˜ao transformadas em simples equa¸c˜oes alg´ebricas. Esta trans- forma¸c˜ao chama-se Transformada de Laplace.
0.2 Transformada de Laplace
A transformada de Laplace transforma fun¸c˜oes no tempo, cuja vari´avel ´e representada por (t), em fun¸c˜oes de frequˆencia complexa, cuja vari´avel ´e representada por (s), chamada de vari´avel complexa. t → s onde s = σ + jω A defini¸c˜ao da transformada de Laplace ´e: £[f (t)] = F (s) = ∫^0 ∞ e−stf (t)dt Exemplos: Calcular a transformada de Laplace para as fun¸c˜oes: a) f (t) = e−at
F (s) = ∫^0 ∞ e−stf (t)dt = ∫^0 ∞ e−ste−atdt F (s) = ∫^0 ∞ e−(a+s)tdt = (^) (a−+^1 s) e−(a+s)t|∞ 0 F (s) = (^) (a−+^1 s) [e−∞^ − e^0 ] = (^) (a+^1 s) F (s) = (^) (a+^1 s)
b) Fun¸c˜ao degrau unit´ario [ u(t) = 1 ] F (s) = ∫^0 ∞ e−stu(t)dt = ∫^0 ∞ e−st 1 dt F (s) = − s^1 e−st|∞ 0 F (s) = − s^1 [e−∞^ − e^0 ] F (s) = (^1) s
0.3 Teoremas da transformada de Laplace
Linearidade Se £[f 1 (t)] = F 1 (s) e £[f 2 (t)] = F 2 (s) Ent˜ao £[af 1 (t) + bf 2 (t)] = aF 1 (s) + bF 2 (s)
Derivada £[dfdt ] = sF (s) − f (0+), sendo que f (0+) representa as condi¸c˜oes iniciais da fun¸c˜ao
Derivada en´esima £[d
nf dtn^ ] =^ s
nF (s) −^ n∑−^1 k=
sn−k−^1 d
kf (t) dtk^ |t= £[ddtnnf ] = snF (s) − sn−^1 f (0) − sn−^2 df dt^ (t )|t=0 − sn−^3 d^2 dtf^ ( 2 t )|t=0 + ...
Exemplo: Resolva a equa¸c˜ao, supondo condi¸c˜oes iniciais nulas d^3 dty( 3 t )+ 3d^2 dty( 2 t )+ 5dy dt^ (t )+ 6y(t) = u(t) £[d^3 dty( 3 t )] = s^3 Y (s) − s^2 y(0) − sdy dt(t )|t=0 − d^2 dty( 2 t )|t= £[d^3 dty( 3 t )] = s^3 Y (s) − s^2 y(0) − s y˙(0) − y¨(0) Devido `a suposi¸c˜ao de condi¸c˜oes iniciais nulas: £[d^3 dty( 3 t )] = s^3 Y (s) £[d^2 dty( 2 t )] = s^2 Y (s) − sy(0) − y˙(
f 1 (t) ∗ f 2 (t) =
∫ (^) t 0 f^1 (τ^ )f^2 (t^ −^ τ^ )dτ A transformada de Laplace da convolu¸c˜ao ´e dada por: £[f 1 (t) ∗ f 2 (t)] = F 1 (s)F 2 (s) Obs: para um sistema caracterizado por sua fun¸c˜ao peso g(t), a resposta temporal deste sistema y(t) devido uma excita¸c˜ao u(t), ´e dada por: y(t) = g(t) ∗ u(t) =
∫ (^) t 0 u(τ^ )g(t^ −^ τ^ )dτ Isto significa que trabalhando no dom´ınio do tempo, s´o ´e poss´ıvel obter a resposta de um sistema dinˆamico calculando a integral de convolu¸c˜ao entre o sinal de entrada e a fun¸c˜ao peso do sistema. Fun¸c˜ao peso - a fun¸c˜ao que representa as propriedades f´ısicas do sistema. Se for aplicada a transformada de Laplace, obt´em-se Y (s) = G(s)U (s) mostrando que no plano s a resposta do sistema ´e o produto entre as transformadas do sinal de entrada e da fun¸c˜ao que caracteriza o sistema, chamada fun¸c˜ao de transferˆencia do sistema. Esta ´e uma grande vantagem em se trabalhar no plano s, pois analisar a resposta de um sistema no plano s envolve apenas opera¸c˜oes alg´ebricas.
Exemplo: Dado o filtro passa-baixo mostrado na figura 1: R
d d
d d vi C vo
Figura 1: Filtro passa-baixa
a) calcule a resposta para um excita¸c˜ao degrau unit´ario. Pelas leis de Kirchhoff obt´em-se: vi = Ri + (^1) c^ ∫^ idt A tens˜ao de sa´ıda ´e a tens˜ao sobre o capacitor: vo = vc = (^1) c^ ∫^ idt Aplicando a transformada de Laplace nestas duas equa¸c˜oes, obt´em-se: VI (s) = RI(s) + (^1) cI( ss) vo = (^1) cI( ss) A fun¸c˜ao de transferˆencia ´e dada por: G(s) = V VoI ((ss)) Substituindo Vo e VI na equa¸c˜ao de G(s), obt´em-se:
G(s) = (^) CRs^1 +1 = (^) s+^ RC^1 RC 1 Para uma entrada degrau unit´ario u(t), a transformada de Laplace ´e: U (s) = (^1) s. Da fun¸c˜ao de transferˆencia, obt´em-se a equa¸c˜ao de sa´ıda no plano s: V Vo(s) I (s)^ =^ CRs^1 + Vo(s) = (^) CRs^1 +1 VI (s) Vo(s) = (^) CRs^1 +1^1 s Que ´e a resposta na sa´ıda do filtro, no plano s. b) Calcule o valor de vo(t) para o sistema em regime vo(t)t→∞ = lim s→ 0 sVo(s) = lim s→ 0 s^1 s(sCR^1 + 1) vo(∞) = 1
0.4 Transformada Inversa de Laplace (anti-
transformada)
E a obten¸^ ´ c˜ao da fun¸c˜ao no tempo, a partir da fun¸c˜ao no plano s. f (t) = £−^1 [F (s)] A forma mais simples de encontrar a transformada inversa ´e partindo de F (s) procu- rar em tabelas a fun¸c˜ao f (t) correspondente. Se a fun¸c˜ao desejada n˜ao estiver tabelada, a t´ecnica consiste em reescrever F (s) como uma soma de fun¸c˜oes mais simples, resul- tando em uma soma de fra¸c˜oes. Estas fra¸c˜oes mais simples s˜ao tabeladas e a partir delas encontra-se f (t).
0.4.1 Expans˜ao em fra¸c˜oes parciais
a) P´olos reais simples Se a fun¸c˜ao F (s) for composta apenas por p´olos reais simples, ela pode ser escrita como um somat´orio de fra¸c˜oes parciais: F (s) = P Q^ ((ss)) = (^) s+A^1 a 1 + (^) s+A^2 a 2 + (^) s+A^3 a 3 + ... sendo que a 1 , a 2 , a 3 , ..., correspondem aos p´olos da fun¸c˜ao F (s). Para encontrar os coeficientes A 1 , A 2 , A 3 , ..., utiliza-se a seguinte regra: O valor de Ak ´e dado por:
F (s) = (^) (s+2)^13 − (^) (s+2)^12 + (^) (s+2)^1 − (^) (s+3)^1 Calculando a anti-transformada de laplace, obtem-se fun¸c˜ao no tempo: f (t) = t 22 e−^2 t^ − te−^2 t^ + e−^2 t^ − e−^3 t
c) P´olos complexos Os p´olos complexos resultam das ra´ızes de uma equa¸c˜ao de segundo grau, em que acontece a raiz quadrada de um n´umero negativo. Assim eles aparecem em pares comple- xos conjugados. Por exemplo, dada a equa¸c˜ao: s^2 + 6s + 13. As ra´ızes s˜ao: s 1 = −3 + j 2 e s 2 = − 3 − j2. Na figura 2 estes p´olos s˜ao plotados no plano complexo s.
6
jω
x- - - x- - -
Figura 2: P´olos complexos
A equa¸c˜ao de segundo grau, que resulta nestes p´olos complexos pode ser escrita de forma padronizada como: s^2 + 2ξωns + ω n^2 A fun¸c˜ao de transferˆencia na forma padronizada ´e escrita como: F (s) = (^) s (^2) +2ξωω^ n^2 ns+ω n 2 As ra´ızes do denominador s˜ao: s 1 , 2 = −ξωn ± jωn^ √ 1 − ξ^2 Assim, separando em fra¸c˜oes parciais obt´em-se: A transformada inversa ´e dada por: f (t) = A 1 e−ξωn+jωn
√ 1 −ξ 2
√ 1 −ξ 2
Sendo que A 1 e A 2 s˜ao complexos conjugados.
Exemplo: calcule a anti-transformada de Laplace F (s) = (^) s (^2) +2ξω^1 ns+ω n 2 Como os p´olos s˜ao distintos, recai-se no primeiro caso. F (s) = (^) s+ξωn−Ajω^1 n^ √ 1 −ξ 2 + (^) s+ξωn+jωA^2 n^ √ 1 −ξ 2
A 1 = s+ξωn−jωn
√ 1 −ξ 2 s^2 +2ξωns+ω^2 n^ |s=−ξωn+jωn^ √ 1 −ξ^2 =^ s+ξωn+jω^1 n^ √ 1 −ξ 2 |s=−ξωn+jωn^ √ 1 −ξ^2 A 1 = (^2) jωn^ √^11 −ξ 2 A 2 = s+ξωn+jωn
√ 1 −ξ 2 s^2 +2ξωns+ω^2 n^ |s=−ξωn−jωn^ √ 1 −ξ^2 =^ s+ξωn−jω^1 n^ √ 1 −ξ 2 |s=−ξωn−jωn^ √ 1 −ξ^2 A 2 = (^) − 2 jωn^1 √ 1 −ξ 2 F (s) = (^2) jωn^ √^11 −ξ (^2) s+ξωn−jω^1 n^ √ 1 −ξ 2 − (^2) jωn^ √^11 −ξ (^2) s+ξωn+jω^1 n^ √ 1 −ξ 2 f (t) = (^2) jωn^ √^11 −ξ 2 e(−ξωn+jωn
√ 1 −ξ (^2) )t − (^2) jωn^ √^11 −ξ 2 e(−ξωn−jωn
√ 1 −ξ (^2) )t
f (t) = (^) ωne−^ √ξωnt 1 −ξ 2 [ejωnt
√ 1 −ξ (^2) −e−jωnt √ 1 −ξ 2 2 j ] f (t) = (^) ωne−^ √ξωnt 1 −ξ 2 sin(tωn^ √ 1 − ξ^2 )
Exerc´ıcio: sendo dados ξ = 0, 2 e ωn = 5rad/s obtenha graficamente a resposta f (t). a) Fa¸ca graficamente; b) Fa¸ca usando o programa Matlab.
0.5 Plano complexo – mapa p´olos-zeros
Dada uma fun¸c˜ao de transferˆencia: F (s) = N D^ ((ss)) = ((ss++ab^11 )()(ss++ab^2 2)) Os valores de s que anulam a fun¸c˜ao de transferˆencia s˜ao chamados de zeros de F (s), que s˜ao os valores s = −a 1 e s = −a 2. Os valores de s que fazem a fun¸c˜ao de transferˆencia tender ao infinito s˜ao denominados de p´olos de F (s), que s˜ao os valores s = −b 1 e s = −b 2. Exemplo: para F (s) = (^) ((ss+7)(+2)(ss+10)+3) , os zeros s˜ao s = −2 e s = −3 e os p´olos s˜ao s = − 7 e s = −10. No plano complexo s = σ + jω, o p´olo ´e representado como um x e o zero como um c´ırculo (◦), como mostrado na figura 3.
6
jω
x^ −^10 x^ −^7 −^3 d^ −^ d^2
Figura 3: Plano s
