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Trabalho Transformada de Laplace
Tipologia: Trabalhos
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Graduação em Engenharia Eletroeletrônica
Jose Adauto da Silva RA: C699BG-
Campinas, 27 de Maio de 2020
Monografia submetida à Universidade Paulista para obtenção da graduação em Engenharia – Atividade Engenharia Elétrica Interdisciplinar “EEI”. Sob orientação: Prof.ª Ma. Adriana Caseiro.
Equations involving functions and their derivatives are said to be differentials. Laplace's theorem is a method that facilitates calculations involving differential functions. This method was developed by the mathematician and physicist Pierre-Simon Laplace (1749-1827). Resolution methods can be numerical or analytical, resulting in approximate solutions or exact solutions, respectively. Oliver Heaviside, when studying simple processes to obtain solutions of Differential Equations, envisioned an Operational Calculation method that leads to the mathematical concept of the Laplace Transform, which is a simple method for transforming a problem with initial values, into an algebraic equation, in a way to obtain a solution in an indirect way, without calculating integrals and derivatives to obtain the general solution of the equation. Facilitating studies in the areas of mathematics, computing, engineering, industry and all areas of exact sciences, this method represents something important in this context. Laplace transforms are widely used in several situations, however, here we will discuss their applications in solving Ordinary Linear Differential Equations. This method is a searching and analytical procedure and has been established as a quick tool for solving differential equations, in particular, linear equations with constant coefficients and the corresponding initial value problems.
Key words: Laplace transforms. Differential equations. Electric circuits
O método da Transformada de Laplace é, resumidamente, caracterizado pela aplicação de um operador de integração a uma função f, geralmente, no domínio temporal - f(t). Sendo assim, ele é um modelo matemático de um processo físico que estabelece uma relação entre entrada e saída. Podemos usar esse princípio para auxiliar na resolução de praticamente qualquer tipo de circuito linear onde as transformadas de Laplace podem ser usadas para análise da estabilidade de circuitos. Esse método é uma importante ferramenta para a ágil resolução de equações, em particular das equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, bem como dos sistemas de equações diferenciais que são bastante requentes nas áreas das Engenharias. O procedimento para a obtenção da solução de um problema consiste, basicamente, em três passos: Passo 1. Transformar o circuito do domínio de tempo para domínio S. Passo 2. A equação subsidiária é resolvida através de manipulação algébrica usando análise nodal, análise de malhas, superposição ou qualquer outra técnica de análise; Passo 3. A solução obtida, através de manipulação, é transformada via operador inverso, portanto a solução é feita no domínio do tempo.
Figura 1 – Solução de um problema de valor inicial por transformada de Laplace – Adaptada de Kreyszig (2006)
Figura 2 – Solução de uma Equação Diferencial por Transformada de Laplace – Fundamentos Circuitos Elétricos – 5ª Edição.
O que mostra que já a esta ´época, Laplace escrevia a transformação de uma forma próxima `a atual. O desenvolvimento da transformada de Laplace deve-se a muitos nomes além do próprio Laplace, como Cauchy, por seus trabalhos em cálculos de resíduos e explorações em métodos simbólicos. Importante ressaltar que um grande contributo para que a teoria pudesse se tornar um método viável para solução de problemas práticos foi dado pelo intrépido e obscuro inglês Oliver Heaviside. Heaviside, homem simples e sem instrução formal, foi uma das trágicas figuras da ciência, ao mesmo tempo amado e odiado por homens de ciência do seu tempo. Lodge, Heaviside contribuiu para formalizar a teoria eletromagnética de Maxwell – que originalmente totalizava 38 equações, em apenas 4 equações fundamentais – e contribuiu para que o cálculo vetorial se firmasse como ferramenta básica do eletromagnetismo, em oposição a teoria dos quaternions de Hamilton. Apesar de receber o nome de Transformada de Laplace, esse operador carrega a contribuição de célebres colaboradores desde o século XVIII. O próprio Laplace, em seu grande trabalho Théorie analytique des probabilités, creditou a Euler a introdução da transformação integral.
4.2. Definição
Dentre os responsáveis por estabelecer o rigor faltante ao método de Heaviside está um dos seus grandes admiradores, o engenheiro americano, John Carson. Em seu livro, Electric Circuit Theory, publicado em 1926 e reeditado em 1953, Carson toma para si a responsabilidade de continuar o trabalho de Heaviside, introduzindo o formalismo matemático e deduzindo todas as fórmulas que o mentor havia proposto. Foi ele o responsável pela conexão entre o Cálculo Operacional de Heaviside e a integral de Laplace, demonstrando que todas as fórmulas criadas por Heaviside poderiam ser obtidas a partir dela, sem a utilização das séries divergentes. Utilizando o método operacional, Carson, assim como Heaviside, considerava a função de entrada de um circuito uma tensão do tipo degrau unitário H. A resposta de corrente a esta entrada era dada pela Eq. [4].
Onde An1 foi chamada de função de transferência do sistema, do ramo N em relação ao ramo 1. Para obter a equação de Laplace, considerava-se um circuito elétrico qualquer. A corrente em um instante t = seria i = e A. Supondo a decomposição de e em uma série de degraus tem-se, pelo princípio da superposição. Eq [5].
Supondo uma tensão de entrada exponencial e (t) =e^pt , com p um número complexo, a resposta em corrente (transitória e permanente), pode ser expressa por: Eq [6].
Z (p) ´e chamado de operador impedância (similar `as impedâncias complexas da transformada de Laplace). Substituindo a Eq. (25) na equação de Duhamel, chegase, após alguma manipulação algébrica, ao resultado responsável por dar sentido aos métodos de Heaviside. Eq [7].
Foi após este resultado que Carson compôs a primeira tabela com os pares de transformadas, que ele batizou de tabela de integrais infinitas tendo-as utilizado pela primeira vez na resolução de problemas práticos, reduzindo a solução de uma equação operacional em simples comparação com a tabela, o que ainda é feito atualmente.
4.4. No domínio do tempo
Quando a própria função f (t) sofre um deslocamento em seu argumento, como a função está no domínio temporal, podemos dizer que a função sofreu um atraso no tempo. Dado a função do tipo f (t − a) u(t − a), onde u(t − a) é a função de Heaviside. De forma análoga, vamos encontrar sua transformada de Laplace através da definição. Com efeito, pela Definição 1, temos que L {f (t − a) u (t − a)} é igual a:
Fazendo t − a = τ, chegamos a:
Definindo a transformada de Laplace em função de f ( ), chegamos na conclusão
Um circuito elétrico (ou sistema elétrico) é basicamente uma interconexão de elementos elétricos, de modo que formem pelo menos um caminho fechado para a corrente. Ele começa e termina no mesmo ponto e é formado por vários elementos que se ligam e, assim, tornam possível a passagem da corrente elétrica O funcionamento de diversos equipamentos elétricos depende dele como resistores, capacitores, indutores, diodos, fontes, e ETC. Podemos ter circuitos elétricos compostos por diversos componentes que são utilizados para as mais variadas finalidades. Os circuitos elétricos RLC, que são circuitos formados basicamente por resistores, capacitores e indutores conectados em série ou em paralelo e que são alimentados por fonte de tensão. Outra grande vantagem dos circuitos RLC é que qualquer tensão ou corrente nele pode ser descrita por uma EDO de segunda ordem. Tendo o domínio de como obter a transformada de Laplace de uma função e sua inversa, podemos aplicá-la na análise de circuitos elétricos RLC, devido a relativa facilidade quando nos encontramos no domínio da frequência complexa. Transformamos equações complicadas que envolvem derivadas e até integrais em equações algébricas.
Analisar os circuitos no domínio de s , pode nos ajudar a entender como os circuitos e sistemas realmente funcionam. O conceito de função de transferência, como as variáveis de estado podem ser usadas para analisar sistemas com diversas entradas e saídas.
5.1. Determinar a resposta transitória de circuitos
A solução completa é dada simplesmente pela soma das soluções particular e homogênea, de acordo com o princípio da superposição. A solução completa pode ser dividida em duas partes: uma resposta transitória, é obtida fazendo-se todas as condições iniciais iguais a zero. A vantagem de se trabalhar com condições iniciais nulas é que, a partir de (1), podemos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial para obtermos (usando algumas propriedades da Transformada de Laplace:
Sendo assim em posse da função de transferência podemos calcular a solução particular:
Usando o método (1), primeiramente calculamos U (s), que é a transformada de Laplace de u (t), e multiplicamos o resultado pela função de transferência H (s). Em seguida, usando uma tabela de transformadas de Laplace, calculamos a transformada inversa. Já pelo método (2), calculamos diretamente a solução particular fazendo a integral de convolução entre a entrada e a resposta impulsional do circuito h (t), que por sua vez corresponde à transformada inversa de H (s).
5.2. Função de transferência
O conhecimento da função de transferência permite visualizar o comportamento da saída em relação a entrada, se tornando uma ferramenta ideal para encontrar respostas de circuitos. O desempenho em regime permite que o sistema possa analisar referências de padrões “salto, rampa, parábola” e a rejeitar automaticamente sinais de perturbação.
Escrevendo o sistema linear na forma matricial:
Utilizando a regra de Kramer para a corrente I2(s),
Calculando os determinantes e simplificando a expressão:
Sendo a tensão no capacitor igual a:
E a função de transferência:
Explicitando Vi (s) na equação, obtemos:
A Função de Transferência é um conceito fundamental para o processamento de sinais, pois indica como o sinal é processado à medida que passa polo circuito, onde se faz como ferramenta excepcional para encontrar respostas no circuito.
5.3. Circuito nos domínios do tempo e da frequência
Para analisar um circuito no domínio da frequência, se faz necessário encontrar o circuito equivalente para transformamos os elementos de circuito do domínio do tempo para o da frequência. Este procedimento irá auxiliar no processo de solução de um circuito elétrico, como por exemplo o descobrimento de uma tensão ou corrente, e também na obtenção de uma função de transferência para o circuito. Uma senóide é definida por sua frequência e sua amplitude.
Figura 5 – Representação de Frequência e sua Amplitude – Google Imagens
Todo sinal pode ser representado por uma soma infinita de impulsos transferidos e escalados, estes mesmos sinais podem ser representados por uma soma infinita de senóides de diferentes frequências. Quando a entrada de um sistema linear invariante no tempo é uma senóide de qualquer amplitude e frequência, a saída será uma senóide transladada e escalada no tempo, mas de mesma frequência. É fato que a resposta de um sistema a todo tipo de sinal senoidal, então a resposta do sistema a qualquer outro sinal pode ser determinada sempre. Podemos transformar o circuito do domínio do tempo para o da frequência e encontrar o valor de v0 (t) supondo condições iniciais iguais a zero conforme Exemplo.
Utilizando a transformada inversa de Laplace a partir da tabela:
Figura 7 – Caracterização de um sistema usando sua resposta em frequência - ftp://ftp.dca.fee.unicamp.br/pub/docs/vonzuben/
É uma propriedade Física que caracteriza o estado de um Sistema Dinâmico independente de como o sistema chegou naquele estado. Alguns exemplos são os modelos matemáticos que descrevem variáveis de estado como a pressão, volume e temperatura. O comportamento de correntes e tensões em um circuito elétrico são as variáveis de estado no indutor e a tensão no capacitor, onde descrevem de forma unificada o estado de um sistema elétrico. No modelo de variáveis de estado, podemos descrever conjuntos internos que descrevem seu comportamento interno. Elas determinam o futuro comportamento de um sistema quando são desconhecidos o estado atual dos sinais de entrada, sendo que elas são variáveis que possibilitam analogias algébricas de um determinado sistema. A representação no espaço de estados é escrita da seguinte maneira:
A, B, C e D são matrizes n × n, n × m, p × n e p × m. Onde: A = matriz de estado; B = matriz de entrada; C = matriz de saída; D = matriz de transição direta.
Sendo:
Supondo condições iniciais zeradas, a função de transferência do sistema e extraindo sua transformada de Laplace temos:
Após a manipulação e a dividindo por U (s) teremos a FTS da seguinte forma:
Onde: A = Matriz do Sistema B = Matriz Conjugada de entrada C = Matriz de saída D = Matriz de avanço
= Vetor de estado representando n vetores de estado;
= Vetor de entrada representando m entradas;
= Vetor de saída representando p saídas;
Esse estudo possibilitou uma análise detalhada de como a transformada de Laplace pode ser útil no processo de resolução e na análise de circuitos elétricos de quaisquer categorias. Procurei ter um contato inicial com as definições e propriedades do método em questão, posteriormente aplicando em resoluções de equações diferenciais e na análise de circuitos elétricos RLC. Desta forma, foi mostrado como a transformada de Laplace pode nos auxiliar numa análise do comportamento de um circuito elétricos, foi mostrada como a análise no domínio da frequência e do tempo podem ser interessantes. Também foi mostrado como podemos, neste mesmo circuito, representá-lo por meio de variáveis de estado diretamente da sua função de transferência. Devido ao fato de ser um estudo apenas de como podemos utilizar a transformada de Laplace na análise de circuitos elétricos, não foram apresentados muitos resultados físicos em relação as funções de transferência e variáveis de estado. A literatura mostra também que o operador de Laplace é útil para resolver questões. Adicionalmente, pode ser utilizado em alguns problemas de valores de contorno, onde sua aplicação deriva, onde transforma equações diferenciais parciais em equações diferenciais ordinárias, que são solúveis com muito menos esforço. É válido afirmar que um estudo mais detalhado acerca deste tema poderia ser realizado num trabalho posterior, mostrando, por exemplo, como as funções de transferência e variáveis de estados determinam respostas que serão importantes para o funcionamento de um sistema dinâmico qualquer. Sendo assim, toda a investigação que colaborou com a execução deste trabalho, permitindo a certificação da enorme utilidade da Transformada de Laplace está em resolver EDO’s lineares com coeficientes constantes, ou sistemas dessas equações, e seus correspondentes problemas de valor inicial.
AKISHINO, A. S.; FERNANDES, T. S. P. Manual didático: Introdução a circuitos elétricos. UFPR. Curitiba, 2006.
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