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O objetivo deste trabalho consiste em obter a definição de diferenciabilidade de uma função definida em um subconjunto do Rn. Para isto, buscamos construíla sobre alguns resultados já conhecidos em R2, estendendo-os para o espaço Rn, através de definições e teoremas.
Tipologia: Notas de estudo
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“Júlio de Mesquita Filho” Instituto de Geociências e Ciências Exatas Campus Rio Claro
Carlos Celestino Lima Souza Edgard Lourenço Júnior Mariana Frassetto Malvezzi
Mestrado Profissional em Matemática Universitária Profa. Dra. Marta C Gadotti e Prof. Dr. Thiago de Melo Rio Claro, 02 de setembro de 2011.
Para definir a diferenciabilidade de uma função em Rn, a prinicípio usamos transformação linear de uma função entre os espaços vetoriais Rm^ e Rn^ e depois, consideramos sua derivação direcional e sua diferencial nestes espaços. Lançamos mão dessas definições e propriedades delas decorrentes para atingir nosso objetivo neste trabalho. Além disso, pretendemos com alguns exemplos presentes no texto, tornar mais claras tais definições e propriedades.
Definição 3.1. Dados um conjunto A ∈ En^ e B ∈ Em, En, Em^ espaços vetoriais, uma transformação T , de A em B é uma função cujo domínio é o conjunto A e cujo contra-domínio é B.
Dizemos que T leva um ponto p do domínio ao ponto T (p) = q, chamado imagem de p pela transformação T. Se p ∈ R^2 e q ∈ R^3 , podemos escrever p = (x, y), q = (u, v, w) e então, T (x, y) = (u, v, w). Esta transformação pode ser descrita especificando-se três funções tais que
u = f (x, y) v = g(x, y) w = h(x, y). Por exemplo, consideremos a transformação T : E^2 → E^3 tal que
u = x + y v = x − y w = x^2.
A imagem do ponto (1, 2) pela transformação T é (3, − 1 , 1) e a imagem da
Capítulo 3. Transformações 3.1. Considerações: transformações
Então, definimos a transformação R : R^2 → R^2 tal que
u = xy − 2 x v = − 2 xy
e R(p) = S(T (p)). Podemos obter também H(p) = T (S(p)) com H : R^3 → R^3 tal que H(x, y, z) = ((x − y)yz, 2(x − y), −yz). Contudo, note que ST 6 = T S.
Analogamente às funções, pode-se estender para transformações a noção de continuidade:
Definição 3.3. Def: Uma transformação T definida em um conjunto D é contínua em um ponto p 0 ∈ D se, e somente se, para qualquer > 0 , existe δ > 0 tal que |T (p) − T (p 0 )| < sempre que |p − p 0 | < δ, p ∈ D.
Teorema 3.1. Sejam T : D ⊂ En^ → Em^ uma transformação contínua em um conjunto aberto D ⊂ En^ e S um conjunto aberto em Em. Então, o conjunto de todos os pontos p ∈ D tais que T (p) ∈ S, é aberto, com relação à D.
Dem. Sejam V = {p ∈ D tal que T (p) ∈ S} (note que V é a imagem inversa de S pela transformação T ) e p 0 ∈ V com q 0 = T (p 0 ). Como q 0 ∈ S e S é aberto, podemos escolher > 0 tal que B(q 0 ) ⊂ S. Já que T é contínua em p 0 , existe δ > 0 tal que |T (p) − T (p 0 )| < sempre que |p − p 0 | < δ. Temos então, T (p) ∈ B(q 0 ) e, portanto T (p) ∈ S, ∀p ∈ Bδ(p 0 ). Então, todo ponto x ∈ D tal que x está em uma vizinhança de p 0 é levado a um ponto T (x) ∈ S. Logo, p 0 é um ponto interior de V. Como p 0 é arbitrário, concluímos que V é aberto.
Teorema 3.2. Seja T : En^ → Em^ uma transformação contínua em um conjunto aberto D. Então, T leva qualquer subconjunto conexo de D a um conjunto conexo.
Dem. Sejam E ⊂ D um conjunto conexo e T (E) a imagem de E.
Capítulo 3. Transformações 3.1. Considerações: transformações
Suponha que T (E) não seja conexo. Então, existem U 1 , U 2 conjuntos não- vazios tais que T (E) ⊂ (U 1 ∪ U 2 ) com U 1 ∩ U 2 = ∅. Pelo Teorema (3.1), as imagens inversas V 1 , V 2 de U 1 , U 2 respectivamente, são conjuntos abertos. Como a imagem de qualquer ponto de E pertence a U 1 ou a U 2 , então, todo ponto de E pertence a V 1 ou a V 2. Além disso, nenhum ponto poderia pertencer à intersecção de V 1 e V 2 , já que a imagem deste ponto deveria, então pertencer tanto a U 1 como a U 2 , simultaneamente. Por hipótese, E é conexo, então V 1 ou V 2 é um conjunto vazio e E é coberto completamente por um deles. Suponha que seja coberto por V 1 , logo T (E) é coberto por U 1. Absurdo. Portanto, T (E) é conexo.
Teorema 3.3. Seja T : En^ → Em^ uma transformação contínua em um conjunto aberto D. Então, se D é compacto, também o é T (D).
Dem. Sejam Sr ∈ Em^ uma esfera aberta tal que |q| < r, ∀q ∈ Em^ (observe que, conforme r cresce, Sr se expande) e Vr a imagem inversa de Sr pela transformação T. Pelo Teorema (3.1), Vr também forma uma sequência de conjuntos abertos que se expande. Seja p ∈ D, então T (p) ⊂ Ur, para algum r e ?Vr se expande em p?. Assim, {Vr} cobre o conjunto D. Pelo teorema Heine-Borel 1 existe k tal que D ⊂ Vk. Então, T (D) ∈ Sk e é, assim, um conjunto limitado. Para provar que T (D), suponha por absurdo que seja aberto e considere q 0 um ponto de fronteira tal que q 0 ∈/ T (D). Seja {qn} ∈ T (D) uma sequência de pontos tal que (^) nlim→∞ qn = q 0. Temos que {qn} é a imagem de uma sequência {pn} ∈ D, que pode não ser convergente. Contudo, como D é compacto, existe uma subsequência {pkn } convergente para p 0 ∈ D, isto é, (^) nlim→∞ pkn = p 0. Como T é contínua em p 0 ,
T (p 0 ) = lim n→∞ T (pkn ). (^1) Teorema (Heine-Borel). Sejam C ∈ En (^) uma conjunto fechado e limitado e U 1 , U 2 ,... conjuntos abertos tais que U 1 ∪ U 2 ∪... cobre C. Então, existe um subconjunto finito Ui tal que Ui cobre C.
Capítulo 3. Transformações 3.2. Transformações lineares
em que (^)
y 1 = f 1 (p) = f 1 (x 1 , x 2 ,... , xn) y 2 = f 2 (p) = f 1 (x 1 , x 2 ,... , xn) ...
ym = fm(p) = f 1 (x 1 , x 2 ,... , xn).
A hipótese de que T é linear implica que cada uma das funções fi é linear. Então, cada fi tem a forma
fi(p) = ai 1 x 1 + ai 2 x 2 + · · · + ainxn.
Uma transformação linear pode ser representada por uma distribuição em forma de matriz, de seus coeficientes:
A = [aij ] =
a 11 a 12... a 1 n a 21 a 22... a 2 n
............ am 1 am 2... amn
Por exemplo, a matriz (^) [ 1 2 4 − 1 0 3
descreve uma transformação linear T : R^3 → R^2 tal que T (x, y, z) = (u, v) e u = x + 2y + 4z, v = −x + 3z. E a matriz-linha
representa uma função linear L tal que L(x, y, z) = 2x − 4 y + 5z. Uma transformação linear tem propriedades especiais e comportamentos diferentes. A maioria deles pode ser estudada pelo caso de transformações lineares de R^3 em R^3. Tais transformações serão representadas por matrizes A = [aij ] de ordem 3 e descritas pelas equações
Capítulo 3. Transformações 3.2. Transformações lineares
u = a 11 x + a 12 y + a 13 z v = a 21 x + a 22 y + a 23 z w = a 31 x + a 32 y + a 33 z
O domínio de T é todo espaço R^3 e T é contínua nesse espaço. Mas, qual é o conjunto imagem dessa transformação? Ela é bijetora? Ambas equações podem ser respondidas encarando (3.2) como um conjunto de equações lineares nas variáveis x, y, z. Um ponto q = (u, v, w) é a imagem de um ponto p = (x, y, z) se, e somente se os números u, v, w são tais que as equações de são resolvidas para valores de x, y, z. E a transformação T é bijetora se, e somente se existe uma única solução para x, y, z. Tais resulta- dos podem ser obtidos agora, usando-se a teoria de soluções de sistemas de equações lineares.
Teorema 3.5. Seja T : R^3 → R^3 uma transformação linear com matriz associada A. Se A tem posto 3, T é uma bijeção de R^3 → R^3 ; se A tem posto 2, T aplica R^3 em um plano através da origem; se o posto de A é 1, T aplica R^3 em uma reta que passa pela origem e se A tem posto igual a zero, T aplica R^3 à origem.
Dem. Se o determinante de A-det(A) é diferente de zero, então as equações em (3.2) podem ser resolvidas para x, y, z através da Regra de Cramer, obtendo solução única. Isso mostra que quando det(A) 6 = 0, a tranformação T é bijetora e é denominada transformação linear não-singular. A solução de (3.2) tem a forma
x = b 11 u + b 12 v + b 13 w y = b 21 u + b 22 v + b 23 w z = b 31 u + b 32 v + b 33 w
em que os coeficientes bij são calculados por determinantes envolvendo os co- eficientes aij. Essas equações definem uma transformação linear do espaço U V W no espaço XY Z, já que essa transformação reverte a ação da trans-
Capítulo 3. Transformações 3.2. Transformações lineares
equações da transformação T são dadas por
u = x + 3y + 7z v = −x + 2y − 3 z w = x + 8y + 11z.
As equações não têm uma solução para todas as possíveis escolhas de u, v, w, já que w = 2u + v. Vemos assim, que a transformação T aplica todo espaço XY Z no plano 2 u + v − w = 0, no espaço U V W. Além disso, T não é bijetora pois, a imagem inversa de qualquer ponto neste plano é uma reta no espaço XY Z.
A =
Temos que toda submatriz de A, de ordem 2 tem determinante não nulo e que as equaçãoes da transformação T são
u = 4x − 8 y + 12z v = 2x − 4 y + 6z w = 3x − 6 y + 9z.
Como 3 u = 6v = 4w = 12x − 24 y + 36z, uma condição necessária e suficiente para que as equações de (3.2) tenham solução é que w = 3 4 u^ e^ v^ =
2 u. Vemos assim, que T aplica todo espaço XY Z em uma reta em U V W , que passa pela origem.
Para o caso geral, temos
Teorema 3.6. Sejam T : En^ → Em^ uma transformação linear com matriz associada A e r o posto de A. Então, se r = m, a imagem de En^ é o espaço
Capítulo 3. Transformações 3.2. Transformações lineares
Em, enquanto que, se r < m, a imagem de En^ é um “plano” de dimensão r pertencente a Em, passando pela origem. A aplicação T é bijetora se, e somente se r = n.
A representação de transformações lineares por matrizes permite um sim- ples procedimento para calcular a composição de uma ou mais transformações lineares. A matriz que representa a composição de duas transformações lineares S e T pode ser obtida multiplicando-se as matrizes relativas às transformações S e T. Para ver a ligação entre a composição de transformações lineares e o pro- duto das matrizes associadas a elas, consideremos T : En^ → Er^ cuja matriz associada é B e S : Er^ → Em^ transformação linear cuja matriz associada é A. A composta ST : En^ → Em^ é então uma transformação linear. Sejam T (x 1 , x 2 ,... , xn) = (y 1 , y 2 ,... , yr) para (x 1 , x 2 ,... , xn) ∈ En^ e S(y 1 , y 2 ,... , yr) = (z 1 , z 2 ,... , zm) ∈ Em. Então,
yk =
∑^ n j=
bkj xj e zi =
∑^ r k=
aik yk
com k = 1, 2 ,... , r, i = 1, 2 ,... , m. E portanto,
zi =
∑^ r k=
aik
∑^ n j=
bkj xj =
∑^ n j=
xj
( (^) r ∑ k=
aik bkj
∑^ n j=
cij xj ,
em que cij =
∑^ r k=
aik bkj. Como ST (x 1 , x 2 ,... , xn) = (z 1 , z 2 ,... , zm), a matriz C = [cij ] representa a transformação linear ST.
Exemplo 3.3. Sejam T : R^2 → R^4 e S : R^4 → R^3 dadas respectivamente
Capítulo 3. Transformações 3.2. Transformações lineares
Exemplo 3.4. Se T é representada por [ 1 − 3 4 7 2 0 − 1 − 2
então, a imagem de
é encontrada fazendo-se
isto é, T (1, 2 , 0 , −1) = (− 12 , 0).
Temos que uma transformação linear é contínua em qualquer espaço mas, o teorema a seguir nos garante mais, que uma transformação linear T : En^ → Em é uniformemente contínua.
Teorema 3.7. Seja T : En^ → Em^ uma transformação linear representada pela matriz [aij ]. Então, existe uma constante K tal que |T (p)| ≤ K|p| para todos os pontos p.
Dem. Sejam p = (x 1 , x 2 ,... , xn) e q = T (p) = (y 1 , y 2 ,... , ym) tais que
yi =
∑^ n j=
aij xj , i = 1, 2 ,... , m.
Temos então, |p|^2 =
∑^ n j=
|xj |^2 e |q|^2 =
∑^ m i=
|yi|^2 e daí,
|yi|^2 ≤
{ (^) n ∑ j=
|aij ||xj |
∑^ n j=
|aij |^2
∑^ n j=
|xj |^2 = |p|^2
∑^ n j=
|aij |^2.
Para i = 1, 2 ,... , m obtemos
|q|^2 =
∑^ m i=
|yi|^2 ≤ |p|^2
∑^ m i=
∑^ n j=
|aij |^2
Capítulo 3. Transformações 3.2. Transformações lineares
e |T (p)| = |q| ≤ K|p|, onde K =
{ (^) m ∑ i=
∑^ n j=
|aij |^2
Observação 2. Note que a constante K encontrada não é a menor com esta
propriedade. A transformação identidadem representada por
é tal
que |T (p)| = |p|, enquanto o teorema garante K =
Contudo, este não é o caso para funções lineares. Seja L a matriz linha [ c 1 c 2... cn ]. Então, de acordo com o teorema
|L(p)| ≤
( (^) n ∑ i
|cj |^2
|p|.
E tomando p = (c 1 , c 2 ,... , cn) temos
L(p) = c 1 c 1 + · · · + cncn =
∑^ n i
|cj |^2 =
( (^) n ∑ i
|cj |^2
|p|.
Capítulo 4. Diferencial de uma função4.1. Considerações: derivadas parciais e direcionais
No entanto, quando pensamos em funções de várias variáveis, essa ideia é consideravelmente mais complicada. Note que, para esse caso, quando nos movemos de um determinado ponto p 0 , podemos fazê-lo indo para muitas ou tras direções e, para cada uma delas, há uma taxa de variação instantânea distinta uma das outras. Para obtermos uma noção mais exata do significado de diferenciação para funções de várias variáveis, estudaremos o significado da derivada direcional de uma função. Observe que, nos espaços de dimensão 1, temos somente duas direções: es- querda ou direita (à frente ou atrás). Nos espaços de dimensão 2, é normal pensarmos nos ângulos como forma padrão de descrever as direções. Nos es- paços de dimensão n, n ≥ 3 , é mais fácil dizer que a direção é um ponto β, onde |β| = 1. Dizemos que β está no limite da fronteira de uma esfera unitária; intuitivamente, pensamos em um vetor unitário partindo da origem até esse ponto β. Por exemplo, se desejarmos nos mover de um ponto p 0 “na direção β”, entendemos, então, que partiremos de p 0 através de um segmento de reta até o ponto p 0 + β. Em geral, quando temos um vetor que se origina em p 0 e aponta na direção β, temos na verdade um conjunto de pontos da forma p 0 +tβ, t ≥ 0.
Agora, suponha f uma função que assume valores reais, contínua e definida em uma vizinhança de p 0. Então, a taxa de variação de f em p 0 , na direção β, ou seja, a derivada direcional de f em p 0 , na direção β, é definida como:
(Dβ f )(p 0 ) = lim t→ 0 f^ (p^0 +^ tβ t)^ −^ f^ (p^0 )
Agora, se mantivermos o mesmo p 0 e variarmos β, o valor de (Dβ f )(p 0 ) não permanecerá o mesmo. Intuitivamente, é claro que ao inverter a direção β, inverteremos também o sinal da derivada direcional. De fato:
(D−β f )(p 0 ) = lim t→ 0 f^ (p^0 −^ tβ t)^ −^ f^ (p^0 )
Se fizermos λ = −t, teremos:
Capítulo 4. Diferencial de uma função4.1. Considerações: derivadas parciais e direcionais
f (p 0 − tβ) − f (p 0 ) t =^ −
f (p 0 + λβ) − f (p 0 ) λ tal que (D−β f )(p 0 ) = −(Dβ f )(p 0 ), como havíamos pensado.
Nesse contexto, as derivadas parciais de uma função f de n variáveis, po- dem ser interpretadas como casos particulares da derivada direcional dessa função, calculadas para uma direção β específica. Mais precisamente, β assume as direções dos vetores unitários (1, 0 ,... , 0), (0, 1 ,... , 0),... , (0,... , 0 , 1) que compõem a base canônica de um espaço com dimensão n.
Algumas notações para o uso das derivadas parciais:
w = f (x, y, z) β = (1, 0 , 0) (0, 1 , 0) (0, 0 , 1) f 1 f 2 f 3 D 1 f D 2 f D 3 f ∂f ∂x
∂f ∂y
∂f ∂z Dβ f = fx fy fz ∂w ∂x
∂w ∂y
∂w ∂z wx wy wz
Podemos, então, obter a derivada parcial f 1 = D 1 f , tomando β = (1, 0 , 0) em um espaço de dimensão n = 3, de forma que:
f 1 (x, y, z) = lim t→ 0 f (x + t, y, z) − f (x, y, z) t
Observação 3. f (x, y, z) é tratada como uma função de uma variável (de acordo com a notação f 1 , a variável é a primeira coordenada x) e as demais são tratadas como constantes no processo de derivação.
