Universidade Federal de Itajubá – Campus Itabira
Atividade RTE - parte III – Sinais e Sistemas (ECAI26)
Professor: Matheus Henrique Marcolino
Aluno: Mateus Andrade Peixoto
Itabira - 2020
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Transformada de Laplace: Obtencão de Equações Algebricas a Partir de Equações Diferenciais, Resumos de Sinais e Sistemas
O conceito básico da transformada de laplace, incluindo a obtenção de uma equação algébrica a partir de uma equação diferencial que modela um sistema dinâmico, a transformação do domínio do tempo (t) para o domínio de s (frequência complexa), propriedades da transformada e exemplos de aplicação usando o matlab. Além disso, são fornecidos comandos úteis e referências para estudos adicionais.
Tipologia: Resumos
2020
Compartilhado em 11/09/2020
usuário desconhecido 🇧🇷
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Universidade Federal de Itajubá – Campus Itabira
Atividade RTE - parte III – Sinais e Sistemas (ECAI26)
Professor: Matheus Henrique Marcolino
Aluno: Mateus Andrade Peixoto
Itabira - 2020
Transformada de Laplace
Obter uma equação algébrica a partir de uma equação diferencial que modela
um sistema dinâmico.
Domínio do tempo (t) → Domínio de s (frequência complexa).
A transformada de uma função f(t) é dada por:
f(t). e
−st
dt = F(s)
+∞
0
na qual s = σ + jω.
Exemplo: função degrau u(t) = A, para t ≥ 0:
∫ A. e
−st
dt = (A.
e
−st
−s
+∞
0
A
−s
[ lim
t→+∞
e
−st
− e
−s. 0
] =
A
s
Para F(s) =
N(s)
D(s)
, no qual N(s) = s + 1 e D(s) = s + 2 :
Polos de F(s) = raízes de D(s) (denominador).
Zeros de F(s) = raízes de N(s) (numerador).
p = - 1
z = - 2
Propriedades
Linearidade : ℒ{α. f(t) + β. g(t)} = α. F(s) + β. G(s)
df(t)
dx
= s. F(s) – f( 0 )
d²f(t)
dx
= s². F(s) − s. f( 0 ) − f’( 0 )
Teorema do Valor Final : se os polos de s.F(s) possuem σ < 0 , então lim
t→+∞
f(t) =
lim
s→ 0
s. F(s) = L (valor de regime permanente)
Exemplo: F(s) =
1
s(s+ 1 )
→ s.
1
s(s+ 1 )
1
(s+ 1 )
, na qual p = - 1. Aplicando
o T.V.F:
lim
s→ 0
s.
1
s(s+ 1 )
= 1 = f(∞) = L → limite do sinal no domínio do tempo.
- x(t) = δ(t) −
4
3
e
−t
. u(t) +
1
3
e
2t
. u(t)
X(s) = ∫ δ(t).
∞
0
e
−st
dt −
s + 1
s − 2
s + 1
s − 2
- x(t) = cos ωt. u(t)
cos ωt. u
t
[e
jωt
- e
−jωt
]. u(t)
X(s) =
. ℒ[e
jωt
. u(t) + e
−jωt
. u(t)]
[
s − jω
s + jω
]
s
s² + ω²
Referências
OPPENHEIM, Alan Victor; WILLSKY, Alan S. Sinais e Sistemas. 2. ed. São Paulo: [ s. n. ],
LATHI, B.P. Sinais e Sistemas Lineares. 2. ed. Porto Alegre: [ s. n. ], 2007.
DE ALMEIDA, Paulo Cesar. Comandos e Funções do MATLAB. Rio de Janeiro, 15 abr.
- Disponível em: http://www.eng.uerj.br/deptos/professor/207/ASF2010-
2/ASF2010-2_Comandos_Matlab.pdf. Acesso em: 27 abr. 2020.
SYMBOLIC Math Toolbox. [ S. l. ], 2020. Disponível em:
https://www.mathworks.com/help/symbolic/. Acesso em: 28 abr. 2020.