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CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO
Questão 1: Explorando a circunferência
A circunferência é objeto de estudo desde antiguidade. Talvez o geômetra da antiguidade mais
conhecido seja Euclides, quem se atribuiu a obra Os elementos. Supõe-se que Euclides tinha vivido
e trabalhado em Alexandria, no Egito, em torno de 300 a. C., cidade que foi por vários séculos,
grande centro cultural do Mediterrâneo.
Os elementos se constitui num tratado de matemática que
engloba a maior parte da matemática conhecida pelos gregos.
Pois bem, a circunferência já foi um dos objetos matemáticos
estudados por Euclides em Os elementos. No entanto, mesmo
antes de Euclides outros geômetras já tiveram a circunferência
como foco de estudo.
A circunferência é uma figura geométrica muito simples,
definida apenas por um centro e um raio, mais que apresenta
propriedades muito interessantes.
Além do centro e do raio seus elementos básicos podem
destacar na circunferência outros elementos muito simples que serão úteis em nosso estudo são o
ângulo central, o arco e a corda.
Vamos trabalhar um pouco mais o texto anterior e com base nos links:
https://pt.khanacademy.org/video/language-and-notation-of-the-circle
https://pt.khanacademy.org/video/circles-radius-diameter-and-circumference, construa um glossário
com os elementos que constituem a circunferência.
Questão 2: Calculando o comprimento de algumas cordas
Já que aprendemos sobre as propriedades dos elementos da circunferência construa três
circunferências usando régua e compasso , cujo, raio delas seja igual.
Depois disso efetue os seguintes procedimentos:
Trace em cada uma dessas circunferências um ângulo central de abertura distinta.
Para cada caso trace sua respectiva corda.
Responda o que acontece com o tamanho da corda à medida que o ângulo central cresce?
Questão 3: O radianos como unidade de medida angular
Você já se perguntou sobre o que a geometria e a trigonometria têm em comum? Para esta etapa do
nosso estudo, vamos utilizar um dos entes matemáticos comuns à geometria e a trigonometria: o
ângulo (arco). Para os nossos fins vamos nos concentrar na unidade de medida angular denominada
de Radiano
Porém, a unidade de medida angular mais conhecida, sem dúvida, é o grau. O sistema sexagesimal,
que tem o grau por unidade de medida é conhecida desde os tempos os babilônicos, por volta de
5000 anos atrás. Um exemplo desse sistema utilizado nos dias atuais é a divisão em horas, minutos
e segundos para contagem de tempo.
O grau reinava absoluto como unidade de medir angular até boa parte do século XIX. Para Kennedy
(1992) Foi no período de 1870 a 1890 que matemáticos e físicos independentemente consideraram
a necessidade de uma nova medida angular. Os termos radial, π −¿medida, circular ou medida
arcual precederam a denominação utilizada hoje, o radiano. Provavelmente essa nova medida
angular surgiu pela necessidade de se expressar ângulos em termos de π para simplificações
fórmulas trigonométricas e em estudos da física.
Agora você vai trabalhar um pouco no sentido de compreender o que vem a ser o Radiano com base
nos links:
https://pt.khanacademy.org/video/introduction-to-radians
https://pt.khanacademy.org/video/radian-and-degree-conversion-practice
https://pt.khanacademy.org/video/we-converting-degrees-to-radians
https://pt.khanacademy.org/video/we-converting-radians-to-degrees, construa com régua,
compasso e transferidor uma circunferência trigonométrica com raio de 10 cm, dividido em
intervalos de arcos com comprimento de 15°, conforme modelo abaixo, com suas medidas em
radiano.
retângulo. Com a régua traça-se uma perpendicular ao eixo x e uma ao eixo y, construindo o
triângulo. Por fim, verificamos o comprimento do cosseno (eixo x) e do seno (eixo y) com a
régua.
Questão 5: Razões trigonométricas na circunferência
Seno
Dado um triângulo retângulo, o seno de um dos seus dois lados agudos é a razão (divisão) entre o
comprimento do cateto oposto a este ângulo e o comprimento da hipotenusa.
No círculo trigonométrico, o seno de um ângulo qualquer pode ser visualizado na projeção do seu
raio (por definição igual a 1) sobre o eixo vertical.
Cosseno
Dado um triângulo retângulo, o cosseno de um dos seus dois ângulos agudos é a razão entre o
comprimento do cateto adjacente a este ângulo e o comprimento da hipotenusa.
No círculo trigonométrico, o cosseno de um ângulo qualquer pode ser visualizado na projeção do
seu raio (por definição igual a 1) sobre o eixo horizontal.
Como o cosseno é esta projeção, e o raio do círculo trigonométrico é igual a um, segue que
∀ x ∈ R , − 1 ≤ cos x ≤ 1 , ou seja, a imagem do cosseno é o intervalo fechado [– 1,1].
Tangente
Dado um triângulo retângulo, a tangente de um dos seus dois ângulos agudos é a razão entre o
comprimento do cateto oposto a este ângulo e o comprimento do cateto adjacente a ele.
No circulo trigonométrico, o valor da tangente de um ângulo qualquer pode ser visualizado na reta
vertical que tangencia este circulo no ponto em que ele corta o eixo horizontal do lado direito. Nesta
reta tangente ao circulo trigonométrico, o valor da tangente trigonométrica de qualquer ângulo é
representado pelo segmento que vai do ponto em que ela corta o eixo horizontal até o ponto em que
ela corta a reta que contem o raio do circulo trigonométrico para o ângulo considerado. Para avaliar
este valor, deve-se compará-lo com o raio do circulo trigonométrico que por definição é igual a um,
de preferência quando este raio se encontra sobre a parte superior do eixo ortogonal vertical.
Observe que, enquanto o seno e o cosseno são sempre menores do que o raio do círculo
trigonométrico e, portanto, menores do que um, a tangente trigonométrica pode ser tanto menor
quanto maior do que um.
Agora você vai trabalhar um pouco no sentido de compreender como determinar o seno, cosseno, a
tangente, cotangente, cossecante e secante dos ângulos e os seus respectivos sinais com base no
link:
https://www.youtube.com/watch?v=-bOUeUMtTGU, confeccione uma tabela determinando o seno,
cosseno, a tangente, cotangente, cossecante e secante com os ângulos notáveis (agudos) e suas
respectivas simetrias nos demais quadrantes.
