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TELEEXERCICES01-T
Enonc´e
Exercice 01
- Justifier que arctan x ∈
]
π 2
[
pour tout x > 0.
- Pour n ∈ N, montrer que l’´equation : 2 π
arctan x = cos x
admet une unique solution xn ∈ [2nπ, (2n + 1)π].
- Montrer que xn ∼ 2 nπ, quand n → +∞. On pose dans la suite yn = xn − 2 nπ.
- Pour quelles valeurs de x, a-t-on : x = arccos(cos x)? Montrer que yn = arccos
π arctan xn
et en d´eduire la limite de (yn).
Indications :
- C’est l’occasion de tracer le graphe de x 7 → arctan x.
- On ´etudiera f : x 7 →
π
arctan x − cos x et on ´etudiera le signe de f (2nπ) et f (2nπ + π).
- On part de l’encadrement : 2nπ < xn < 2 nπ + π.
- On se rappelle que arccos est `a valeurs dans
[
π 2
]
. Pour trouver la limite de yn quand n tend vers
+∞, on remarque que xn tend vers +∞ quand n tend vers +∞.
Exercice 02
Soit A =
(^). Calculer An^ pour tout n ∈ N.
Indications : M´ethode 01. Synopsis : on cherche le polynˆome caract´eristique χA(t) de A puis on remarque qu’il y a deux racines λ 1 (qui est double) et λ 2 (qui est simple). Puis on d´etermine une base de vecteurs propres du sous-espace propre Eλ 1 et de mˆeme Eλ 2. On en d´eduit la matrice de passage P et si D = Diag (λ 1 , λ 1 , λ 2 ), on a une relation entre A, P, Dˆ et P −^1 `a ´ecrire. On en d´eduit An.
M´ethode 02. Synopsis : on remarque que A = B + 2I 3 puis on calculera B^2 en fonction de B puis Bk en fonction de B. On utilisera alors la formule du binˆome de Newton pour calculer An^ = (B + 2I 3 )n.
Correction
Exercice 01
- C’est donc l’occasion de tracer le graphe de x 7 → arctan x. C’est une fonction croissante et impaire
d´efinie sur R et `a valeurs dans
]
π 2
π 2
[
. De plus arctan 0 = 0 et donc il est clair que arctan x ∈
]
π 2
[
pour tout x > 0.
- On ´etudie f : x 7 →
π arctan x − cos x. Sa d´eriv´ee est :
f ′(x) =
π(1 + x^2 )
Comme l’on travaille sur [2nπ, (2n + 1)π], sin x > 0 et comme
π(1 + x^2 )
0 , f ′(x) > 0 pour tout
x ∈ [2nπ, (2n + 1)π]. Etudions le signe de^ ´ f (2nπ) et f (2nπ + π). On a :
f (2nπ) =
π
arctan(2nπ) − cos(2nπ) =
π
arctan(2nπ) − 1.
Or,
π
arctan(2nπ) ∈
]
0 ×
π
π 2
×
π
[
= ]0, 1[ et donc :
f (2nπ) =
π arctan(2nπ) − 1 < 0.
De mˆeme,
f (2nπ + π) =
π
arctan(2nπ + π) − cos(2nπ + π) =
π
arctan(2nπ + π) + 1 > 0.
D’apres le th´eoreme des valeurs interm´ediaires, il existe un unique xn ∈ [2nπ, 2 nπ + π] tel que f (xn) = 0. Donc l’´equation :
2 π arctan x = cos x
admet une unique solution xn ∈ [2nπ, (2n + 1)π].
- On part de l’encadrement :
2 nπ < xn < 2 nπ + π ⇒ 1 =
2 nπ 2 nπ
xn 2 nπ
2 nπ + π 2 nπ
Quand n tend vers +∞, la quantit´e
xn 2 nπ
tend vers 1 d’apres le th´eoreme des Gendarmes.
- On se rappelle que arccos est `a valeurs dans
[
π 2
]
Pour quelles valeurs de x, a-t-on : x = arccos(cos x)? Quand x ∈ [0, π].
Comme yn ∈ [0, π], et comme cos(yn + 2nπ) =
π
arctan xn, on a :
yn = arccos
π
arctan xn
Pour trouver la limite de yn quand n tend vers +∞, on remarque que xn tend vers +∞ quand n tend vers +∞.
Donc
π
arctan xn tend vers 1 et yn tend vers 0 = arccos 1.
