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NUMEROS COMPLEXOS NA FORMA TRIGONOMÉTRICA
Na representação trigonométrica, um número complexo z = a + bi é determinado pelo módulo do vetor que o representa e pelo ângulo que faz com o semi-eixo positivo das abscissas.
Vetor é uma entidade matemática que define grandezas que se caracterizam por módulo, direção e sentido, como por exemplo, velocidade e força. Um vetor é representado por um segmento de reta orientado. O módulo é expresso pelo comprimento do segmento, a direção é dada pelo ângulo entre a reta suporte e a horizontal, o sentido é dado pela seta. Quando z = a+bi:
- Argumento de z é o ãngulo θθθθ , θθθθ = arg(z) ;
- Módulo de z é o comprimento r = |z| = √Ↄ❹^ ㎗ ↄ❹^. O argumento geral de z, é θ+ 2kπ ou θ+ k360° ; o argumento principal é o valor de θ no intervalo - π < θ ≤ π ou -180°< θ ≤ 180° A partir das relações trigonométricas^1 obtêm-se: cos θ = a/r isto é a = r cos θ sen θ = b/r isto é b = r sen θ Portanto: Para o complexo z = a + bi z = (r cos θ) + (r sen θ) i
A representação trigonométrica^2 de um complexo z é z = r (cos θ+ i sen θ), com o argumento principal θ = arg(z) e r = |z| = √ᡓ⡰^ ㎗ ᡔ⡰ Ou é z = r (cos (θ + k. 360°)+ i sen (θ + k.360°)) com o argumento geral θ+ k360° Esta última expressão é importante para o cálculo das raízes de z. Da relação tg θ = b/a consegue-se o valor de θ. (^1) http://www.youtube.com/watch?v=FZLXujO3yw8 (^) Se você quiser relembrar as relações trigonométrica, assista: http://www.youtube.com/watch?v=YRt4Ni73954&NR= (^2) veja: (^) Se você quiser saber mais sobre a representação trigonométrica de um complexo, http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/trigonom/trigo03.htm
- Se z é um número imaginário, o ponto P pertence à reta das ordenadas (vertical) e |z| = 1 Isto é: θ = 90°+ k360° e |z| = 1 z = i na forma trigonométrica é z = (cos (90°+k360°)+ i sen (90° +k360°)) com k inteiro.
Na figura, OP representa um vetor e pode ser identificado com um número complexo z.
θθθθ = arg(z) = 30 ° |z| = √ᡓ⡰^ ㎗ ᡔ⡰^ = 2
z = |z| (cos θ+ i sen θ ) = 2 ( cos 30° + i sen30 °) = 2 ( √3 /2 + i/2) = √3 + i
- O complexo z = 1 + i é representado na figura abaixo com:
a=1 e b=1 logo tg θ = b/a = 1
Então θ= 45° Este valor corresponde à menor determinação de θ: 180°< θ ≤ 180° De uma forma geral θ = 45° + k360° , onde k é qualquer número inteiro (positivo, negativo ou nulo) ou seja, o mesmo ângulo é obtido a partir de um número inteiro de voltas em torno da origem O. Cada volta corresponde a 360°.
O módulo r = |z| = √Ↄ❹^ ㎗ ↄ❹^ = √
z = 1+i = r (cos θ+ i sen θ) = √2 ( cos 45º+ i sen 45°) Esta forma corresponde à menor determinação para θ Igualdade de Números Complexos Dados dois complexos z = a + i b e w = c + i d tem-se: Na forma trigonométrica com argumento geral, sendo z = r (cos (θθθθ + k.360°) + i sen (θθθθ + k.360°) ) w = r ’ (cós (αααα + k.360°) + + isen (αααα + k.360°) )
Exemplo:
z = 1+i = r (cos θ+ i sen θ) = √2 ( cos 45º+ i sen 45°) (- z) = -1- i = r (cos ( θ - 180°) + i sen ( θ - 180°) =
√2 (cos (-135°)+ i sen (-135°)) Conjugado de um Número Complexo O conjugado do complexo z = a + ib é o número complexo denotado por z = a - ib.
Na forma trigonométrica, o conjugado de z = z = r (cos θθθθ+ i sen θθθθ) = z = r (cos (-θθθθ ) + i sen (-θθθθ))
Corresponde a uma reflexão do afixo de z na reta das abcissas.
Re z = Re Im z = -Im |z| = | | arg z = -arg
Exemplo
z = 1+i = ρ (cos θ+ i sen θ) = √2 ( cos 45º+ i sen 45°)
= 1 - i 㐄 √2 (cos (-45°)+ i sen ( -45°))
Inverso de um Número Complexo Já vimos que,
sendo z = a + b i (≠0), o seu inverso é z -1^ = (a - b i ) / (a^2 + b^2 ) = / |z|²
onde |z|² = a^2 + b^2 pois |z| = r = √ᡓ⡰^ ㎗ ᡔ⡰ Observe que:
- o argumento de z -1^ é o mesmo argumento de : ( - θ )
- o módulo é o inverso do módulo de z, pois
como | | = |z| então | z -1^ | = | | / |z|² = |z| / |z|² = 1/ |z|
z = r (cos θ+ i sen θ) z -1^ = (1/r) ( cos (-θ)+ i sen ( -θ))
Exemplo
z = 1+i = r (cos θ+ i sen θ) = √2 ( cos 45º+ i sen 45°) z -1^ = (a - b i ) / (a^2 + b^2 ) = (2/ √2) (cos (-45°)+ i sen ( -45°) )
APLICATIVO 2
-3z = - (3+3i) = 3r (cos ( θ - 180°) + i sen (θ - 180°) =
3√2 (cos (-135°)+ i sen (-135°)) Caso 2: O produto de um complexo z = a + bi por um imaginário puro. z = r (cos θ+ i sen θ) w = r’(cos 90°+ i sen 90°) z.w = r (cos θ+ i sen θ) r’ (cos 90°+ i sen 90°) = r r’ [(cos θ. cos 90° - sen θ. sen 90°)+ i (sen θ. cos 90° + cos θ. sen 90°)
É preciso, neste momento, relembrar a expressão trigonométrica para seno e cosseno da soma de arcos (ou ângulos)^3 : cos ( θ + φ ) = cos θ. cos φ - sen θ. sen φ sen ( θ + φ ) = cos θ. sen φ + cos φ. sen θ Logo: cos θ. cos 90° - sen θ. sen 90° = cos (θ + 90°) sen θ. cos 90° + cos θ. sen 90° = sen (θ + 90°) Voltando:
z.w = r r’ (cos (θ + 90°) + i sen (θ + 90°)) O produto do complexo z por um imaginário puro (^3) em: (^) Se você quiser verificar as justificativas destas expressões, vejahttp://criar.no.sapo.pt/sen_cos.html
corresponde a uma ampliação ou contração do vetor, seguido de uma rotação de 90º no sentido anti-horário em torno da origem do vetor obtido.
Estas operações podem ser facilmente visualizadas na figura seguinte:
Caso 3: O produto de um complexo genérico z por outro complexo w z = r (cos θ+ i sen θ) w = r’ (cos φ + i sen φ) z.w = r (cos θ+ i sen θ) r’ (cos φ + i sen φ) = r r’ [(cos θ. cos φ - sen θ. sen φ)+ i (sen θ. cos φ + cos θ. sen φ)= r r’ (cos ( θ + φ ) + i.sen ( θ + φ ))
z.w= r r’ (cos ( θ + φ ) + i.sen ( θ + φ )) O produto do complexo z por outro complexo w
Potenciação com expoente inteiro Vamos nos restringir à potências com expoente inteiro, embora, nos complexos seja possível definir potência com base e expoente complexo. Chamamos potenciação a uma potência de expoente inteiro. Tem-se: zn^ = z. z. .... z (n vezes), n natural. z = r (cos θ+ i sen θ) Como o produto de dois complexos corresponde à soma dos argumentos, temos: z^2 = r^2 (cos (2 θ)+ i sen (2θ)) z^3 = r 3 (cos (3θ)+ i sen (3θ))
Demonstra-se, por indução que z n= rn^ (cos (nθ)+ i sen (nθ)) Esta é a chamada Fórmula de Moivre.
A demonstração da Fórmula de Moivre pode ser vista no Vídeo: potências de complexos
APLICATIVO 3
http://www.drec.min-
edu.pt/Eviprof/resources/school7/files/trab2/complejos5.htm Este aplicativo é em português e permite a visualização de diferentes exemplos para a transformação de complexos da forma algébrica para a trigonométrica e vice versa. z = r (cos θ+ i sen θ) = r cis ( θ) A expressão com seno e cosseno é abreviada para outra mais simples: (cos θ+ i sen θ) = cis ( θ) APLICATIVO 4 http://www.drec.min- edu.pt/Eviprof/resources/school7/files/trab2/complejos6.htm Este aplicativo é em português e permite a visualização de diferentes exemplos de potências e raízes de complexos na forma trigonométrica.
Radiciação
Definição:
Dado z, complexo, chamamos raiz n-ésima de z, a todo w complexo tal que wn^ = z.
obtidas pela fórmula de Moivre para a radiciação: Wk = ㊉㒓^ ρ [ cos^ θ^ ⡸ ⤡.⡱⡴⡨ ぁ ° + i sen^ θ^ ⡸ ⤡.⡱⡴⡨ ぁ ° ] com k inteiro
Neste curso vamos investigar apenas as raízes da unidade, isto é as, soluções da equação complexa zn^ = 1
Veja o exemplo da equação z^5 = 1 na Apresentação: Raízes da Unidade.
APLICATIVO 5
É essencial que você manipule este aplicativo. Com ele, toda esta “complicação” algébrica vai ficar clara: http://www.drec.min- edu.pt/Eviprof/resources/school7/files/trab2/complejos7.htm Este aplicativo é em português e permite a visualização das n- ésimas raízes de um complexo. Nosso objetivo é apenas calcular e visualizar as raízes de UM, verificando que elas completam os vértices de um polígono regular de n lados.
Instruções de uso Focalize o segundo aplicativo. Aumente o zoom para 50 de modo que o complexo 1 fique bem visível. Estabeleça os dados para 1: r = 1 e A = 0 ( A neste aplicativo representa o argumento θ.) Faça variar n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, etc. Observe as raízes de 1 e os polígonos que ali se formam.
APLICATIVO 6
Neste aplicativo, você pode visualizar a potenciação e a fórmula de Moivre. Pode dar valores positivos e negativos para n, vendo as potências zn^ e z-n. http://www.ies.co.jp/math/java/comp/cgyak_d/cgyak_d.html INSTRUÇÕES DE USO How to use this applet
Este texto foi baseado em: Números Complexos, uma abordagem científica extraído do sitehttp://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/euler/numeroscomplex os.htm#Representação%20Trigonométrica
CARMO, Manfredo; MORGADO, Augusto; WAGNER, Eduardo. Trigonometria e Números Complexos. Publicação SBM, 2001, 122 p.
