Números Complexos: Origem e Conceito
UFPA /ITEC/FEEB – Rsana Sares
NÚMEROS COMPLEXOS: ORIGEM E CONCEITO
UM POUCO DA HISTÓRIA
Durante muitos séculos de estudo de equações algébricas, os matemáticos pensavam nelas como
meios de resolver problemas concretos. Um bom exemplo disto pode ser encontrado no livro “Ars
Magna” (A Grande Arte) de Giarolamo Cardano (1501-1576) publicado em 1545. Nessa obra, o autor
discute o problema de encontrar dois números x e y cuja soma seja 10, ou seja, x + y =10 e cujo
produto seja 40 ou xy = 40. Este problema gera uma equação quadrática x2 −10x + 40 = 0, cujas
raízes são e . Desse modo, ele observa que estes números não existem. Em
outro livro, diz que: “Raiz quadrada de 9 é 3 ou –3, mas não é nem 3, nem –3 e sim alguma
terceira espécie de coisa misteriosa.”
O maior triunfo de Cardano foi dar uma fórmula para resolver uma equação cúbica, com a forma dada
por x3 + px + q = 0, usada ainda hoje como Fórmula de Cardano. A sua fórmula dava soluções para
muitas equações cúbicas, mas em certos casos havia uma “aberração”, pois apareciam as raízes
quadradas de números negativos.
O passo que faltava para o entendimento dessas coisas misteriosas foi fornecido por Rafael Bombelli
(1526-1572), discípulo de Cardano. No seu livro “Álgebra”, Bombelli ampliou as ideias de Cardano em
diversas direções. Ele argumentou que era possível operar com essa “nova espécie de radical” apesar
de não pensar neles como números. Simplesmente usava as operações aritméticas com eles. Esse foi
o primeiro sinal de que os números complexos poderiam ser ferramentas úteis.
Mas o preconceito e a resistência entre os ilustres da matemática continuaram. Meio século mais
tarde, Albert Girard e Renée Descartes afirmaram que uma equação algébrica de grau n terá n raizes,
desde que se permitam raízes “verdadeiras” (reais positivas), raízes “falsas” (reais negativos) e raízes
“imaginárias” (complexas). Isso ajudou a tornar a teoria geral das equações algébricas mais simples e
arrumada.
O próximo passo foi de Abraham De Moivre no início do século XVIII. Está implícito no trabalho de De
Moivre a seguinte fórmula:
(cos(x)+isen(x))n= cos(nx) + isen(nx) , para n inteiro.
Alguns anos mais tarde, Leonhard Euler, usando cálculo descobriu que:
eix =cos(x)+isen(x) , para x medido em radianos.
Para x = π , esta expressão se torna eiπ = −1 , que relaciona alguns dos mais importantes números da
Matemática: os números irracionais “e” e “π”, o número imaginário i e o número 1 com o sinal
negativo.
Em meados do século XVIII sabia-se que os números complexos tinham uma ligação profunda com as
funções trigonométricas e exponenciais. Mas persistiam alguns problemas. Para Euler, a raiz
quadrada de -2 ainda era um problema.
