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Vetores no Plano e
Coordenadas Polares
Def: Vetor, Vetores iguais
Um vetor é um segmento de reta orientado. Dois vetores são iguais (ou 0 mesmo) se têm o mesmo comprimento, amesma direção e o mesmo sentido.
Exemplo:
Sejam os pontos Mostre que os vetores e são iguais. A = (0, 0), B = (3, 4), C = (− 4 , 2), D = (− 1 , 6) u = −−→ AB v^ =^ −−→ CD
Def.: Representação em
Componentes de um Vetor
Se é um vetor no plano igual ao vetor com ponto inicial e ponto final , então a representação em componentes de é v (0, 0) (v 1 , v 2 ) v v = 〈v 1 , v 2 〉 Dados os pontos e , o vetor posição equivalente a é P (x 1 , x 2 ) Q(x 1 ,^ x 2 ) v = 〈v 1 , v 2 〉 − P−→ Q v = 〈x 2 − x 1 , y 2 − y 1 〉 A norma, comprimento ou magnitude do vetor v = é −−→ P Q | v |= √ v 12 + v 22 = √ (x 2 − x 1 )^2 + (y 2 − y 1 )^2
EX. Encontre
a. as componentes
b. o comprimento do vetor
com ponto inicial e ponto final P = (− 3 , 4) Q = (− 5 , 2) Ex. Uma força que move um carrinho. Um carrinho é puxado ao longo de uma superfície horizontal lisa com uma força de que forma um ângulo de 45º com a superfície. Qual é a força efetiva que move o carrinho para a frente? F 20 lb A força efetiva é a componente horizontal de F = 〈a, b〉, dado por a =| F | cos 45 o^ = (20) ( (^) √ 2 2 ) ≈ 14 , 14 lb o vetor com comprimento é o vetor nulo O vetor nulo também é o único vetor sem direção e sentido específicos. Qualquer vetor de comprimento 1 é um vetor unitário, ou versor. Se fizer um ângulo com o eixo positivo, então Vetor nulo e vetor unitário 0 0 = 〈 0 , 0 〉 v v = 〈v 1 , v 2 〉 θ x v 1 =| v | cos θ = cos θ, (| v |= 1 ) v 2 =| v | sin θ = sin θ Resumo: Um vetor unitário no plano que forma um ângulo com o eixo positivo é representado por v θ x v = 〈cos θ, sin θ〉 Sejam e vetores e um escalar (número real) Adição: Multiplicação:
DEf: Operações Algébricas com vetores
u = 〈u 1 , u 2 〉 (^) v = 〈v 1 , v 2 〉 k u + v = 〈u 1 , u 2 〉 + 〈v 1 , v 2 〉 = 〈u 1 + v 1 , u 2 + v 2 〉 ku = 〈ku 1 , ku 2 〉
O vetor tem coeficiente angular 3/2 , assim como todo múltiplo de diferente de zero. Pra encontrarmos um múltiplo de que seja um vetor unitário, dividimos por Obtendo O vetor é tangente à curva em ( 1 , 1 ) porque tem mesma diração que. v = 2 i + 3 j v v v (^) | v |= √ 22 + 32 = √ 13 u v u = v | v | = 2 √ 13 i + 3 √ 13 j Obviamente, qie aponta o sentido oposto, também é tangente à curva em ( 1 , 1 ). Para encontrarmos os vetores normais à curva em ( 1 , 1 ), procuramos vetores unitários cujos coeficientes angulares sejam os recíprocos negativos do coeficiente angular de. −u = − 2 √ 13 i − 3 √ 13 j u Isso é feito rapidamente trocando-se os componentes escalares de e mudando- se o sinal de um deles. Obtemos Novamente, qualquer um servirá. Os vetores têm sentidos opostos , mas ambos são normais à curva em ( 1 , 1 ). u n = − 3 √ 13 i + 2 √ 13 j −n = 3 √ 13 i − 2 √ 13 j
