Baixe algebra linear 1 - modulo 2 e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity!
Espa¸cos Vetoriais (^) M ODULO 2´ - AULA 8
Aula 8 – Espa¸cos Vetoriais
Objetivos
Definir espa¸cos vetoriais, e estudar alguns dos principais exemplos dessa es- trutura. Identificar propriedades dos espa¸cos vetoriais.
Introdu¸c˜ao
Imagine um conjunto V onde seja poss´ıvel somar elementos e multipli- car os elementos por n´umeros reais, e que o resultado dessas opera¸c˜oes esteja no conjunto V. Imagine ainda que essas opera¸c˜oes tˆem ”boas”propriedades, aquelas que estamos acostumados a usar quando somamos e quando multi- plicamos por n´umeros reais:
- podemos somar os elementos trocando a ordem, ou agrupando-os como quisermos, sem que o resultado seja alterado;
- existe um elemento que quando somado a outro resulta sempre nesse outro;
- feita uma soma, ´e poss´ıvel desfazˆe-la com uma subtra¸c˜ao, e todo ele- mento de V pode ser subtra´ıdo de outro;
- multiplicar por um n˜ao faz efeito;
- multiplicar seguidamente por v´arios reais ´e o mesmo que multiplicar pelo produto deles;
- multiplicar o resultado de uma soma por um n´umero real ´e o mesmo que multiplicar cada parcela e depois somar;
- multiplicar por um elemento de V uma soma de reais ´e o mesmo que multiplicar cada real pelo elemento em quest˜ao e depois somar os re- sultados.
Existem v´arios conjuntos onde a adi¸c˜ao e a multiplica¸c˜ao por n´umeros reais que fazemos usualmente gozam dessas propriedades. Os conjuntos R, R^2 e R^3 s˜ao exemplos. Os conjuntos de matrizes de mesma ordem (M 2 × 3 (R), M 3 × 4 (R) etc.) tamb´em s˜ao exemplos (veja aula 3). Na verdade, h´a mui- tos exemplos de conjuntos com essa mesma estrutura. Chamamos a esses conjuntos, munidos dessas opera¸c˜oes com as propriedades acima de espa¸cos vetoriais.
Espa¸cos Vetoriais
A vantagem de se estudar os espa¸cos vetoriais de forma mais abstrata, como faremos a partir de agora, ´e que estaremos estudando propriedades e leis que s˜ao v´alidas em qualquer espa¸co vetorial, em particular nos exemplos que acabamos de destacar. Ou seja, veremos o que existe de comum entre conjuntos de matrizes, R, R^2 , R^3 e v´arios outros espa¸cos vetoriais.
Defini¸c˜ao de espa¸co vetorial
Considere um conjunto V no qual est˜ao definidas duas opera¸c˜oes: uma adi¸c˜ao, que a cada par de elementos u e v de V associa um elemento u + v de V , chamado soma de u e v, e uma multiplica¸c˜ao por escalar, que a cada n´umero real α e a cada elemento v de V associa um elemento αv de V , chamado produto de α por v. Dizemos que o conjunto V munido dessas opera¸c˜oes ´e um espa¸co vetorial real (ou um espa¸co vetorial sobre R, ou ainda, um R-espa¸co vetorial) se s˜ao satisfeitas as seguintes condi¸c˜oes, para todos os elementos de V , aqui designados pelas letras u, v e w, e todos os n´umeros reais, aqui designados pelas letras α e β:
- u + v = v + u (comutatividade);
- u + (v + w) = (u + v) + w (associatividade);
- existe um elemento em V , que designaremos por e, que satisfaz v+e = v para qualquer v em V (existˆencia de elemento neutro para a adi¸c˜ao);
- para cada v ∈ V , existe um elemento de V , que designaremos por −v, que satisfaz v + (−v) = e (existˆencia de inverso aditivo, tamb´em chamado de sim´etrico ou oposto);
- α(βv) = (αβ)v (associatividade);
- (α + β)v = αv + βv (distributividade);
- α(u + v) = αu + αv (distributividade);
- 1 · v = v (multiplica¸c˜ao por 1).
De acordo com essa defini¸c˜ao, podemos concluir que n˜ao s˜ao espa¸cos vetoriais o conjunto N dos n´umeros naturais, e o conjunto Z dos n´umeros inteiros, para come¸car. Em nenhum dos dois, por exemplo, a opera¸c˜ao mul- tiplica¸c˜ao por escalar est´a bem definida: ao multiplicar um n´umero inteiro n˜ao nulo por
2, que ´e um n´umero real, a resposta certamente n˜ao ser´a um n´umero inteiro.
Espa¸cos Vetoriais
- Rn, com n natural n˜ao nulo qualquer O conjunto Rn^ ´e formado pelas n-uplas (lˆe-se ”ˆenuplas”) de n´umeros reais: Rn^ = {(x 1 , x 2 ,... , xn) : x 1 , x 2 ,... , xn ∈ R}.
Em Rn, as opera¸c˜oes usuais s˜ao definidas da seguinte maneira: consi- derando u = (x 1 , x 2 ,... , xn) e v = (y 1 , y 2 ,... , yn) elementos de Rn, e α em R, temos u + v = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 ,... , xn + yn) e αu = (αx 1 , αx 2 ,... , αxn). A prova de que Rn^ ´e um espa¸co vetorial ´e an´aloga `as provas para R^2 e R^3 , que s˜ao casos particulares onde se considera n = 2 e n = 3.
- Mn×m(R) J´a vimos na aula 3 que o conjunto Mn×m(R) com as opera¸c˜oes definidas na aula 2, satisfazem a todas as condi¸c˜oes dadas na defini¸c˜ao de espa¸co vetorial real.
- C Aqui apenas recordaremos as opera¸c˜oes de soma e produto por esca- lar no conjunto dos n´umeros complexos (conceitos vistos no curso de Pr´e-C´alculo), deixando a prova como exerc´ıcio. Considere os n´umeros complexos z 1 = a 1 + b 1 i e z 2 = a 2 + b 2 i, e o n´umero real α. Temos ent˜ao z 1 + z 2 = (a 1 + a 2 ) + (b 1 + b 2 )i e αz 1 = αa + αb 1 i.
- Polinˆomios de grau ≤ n (n natural n˜ao nulo), com coeficientes reais, a O grau do polinˆomio nulo n˜ao uma vari´avel, acrescidos do polinˆomio nulo est´a definido. Os polinˆomios s˜ao muito estudados em diversos ramos da Algebra. Os´ conjuntos de polinˆomios de grau ≤ n (acrescidos do polinˆomio nulo), para os diversos valores de n, tˆem estrutura muito rica (no sentido da quantidade de opera¸c˜oes e propriedades que s˜ao v´alidas nesses conjun- tos), e o fato de serem espa¸cos vetoriais ´e apenas uma de suas carac- ter´ısticas. Vamos fazer a prova para o conjunto dos polinˆomios de grau ≤ 2, sendo que a prova para o caso geral ´e inteiramente an´aloga. Usaremos a nota¸c˜ao P 2 (t, R) para indicar o conjunto dos polinˆomios de grau ≤ 2 a uma vari´avel t, com coeficientes reais, acrescido do polinˆomio nulo. Nesse caso,
P 2 (t, R) = {at^2 + bt + c : a, b, c ∈ R}.
Espa¸cos Vetoriais (^) M ODULO 2´ - AULA 8
A express˜ao “grau ≤ 2” ´e traduzida matematicamente pelo fato de que a pode ser qualquer n´umero real, inclusive zero: caso a seja 0, e b = 0, o polinˆomio em quest˜ao tem grau 1. Para o polinˆomio nulo, temos a = b = c = 0.
Lembre-se de que um polinˆomio ´e um objeto abstrato, ao trabalhar com uma express˜ao do tipo 2t^2 + t + 1 n˜ao estamos interessados em “encontrar t”(nem seria poss´ıvel, pois n˜ao se trata de uma equa¸c˜ao). No nosso curso estaremos interessados em somar tais express˜oes, ou multiplic´a-las por escalares, obtendo outras do mesmo tipo. Para isso, sejam p 1 = a 1 t^2 + b 1 t + c 1 e p 2 = a 2 t^2 + b 2 t + c 2 elementos de P 2 (t, R), e α ∈ R. Ent˜ao
p 1 + p 2 = (a 1 + a 2 )t^2 + (b 1 + b 2 )t + (c 1 + c 2 ),
αp 1 = αa 1 t^2 + αb 1 + αc 1.
Vamos `as propriedades das opera¸c˜oes:
- p 1 + p 2 = (a 1 + a 2 )t^2 + (b 1 + b 2 )t + (c 1 + c 2 ) = (a 2 + a 1 )t^2 + (b 2 + b 1 )t + (c 2 + c 1 ) = p 2 + p 1 ;
- p 1 +(p 2 +p 3 ) = (a 1 +(a 2 +a 3 ))t^2 +(b 1 +(b 2 +b 3 ))t+(c 1 +(c 2 +c 3 )) = ((a 1 +a 2 )+a 3 )t^2 +((b 1 +b 2 )+b 3 )t+((c 1 +c 2 )+c 3 ) = (p 1 +p 2 )+p 3 ;
- o polinˆomio 0 = 0t^2 + 0t + 0 satisfaz p 1 + 0 = (a 1 + 0)t^2 + (b 1 + 0)t + (c 1 + 0) = a 1 t^2 + b 1 t + c 1 ;
- tomando −p 1 = (−a 1 )t^2 + (−b 1 )t + (−c 1 ), temos p 1 + (−p 1 ) = (a 1 − a 1 )t^2 + (b 1 − b 1 )t + (c 1 − c 1 ) = 0t^2 + 0t + 0 = 0;
- α(βp 1 ) = α(βa 1 t^2 +βb 1 t+βc 1 ) = αβa 1 t^2 +αβb 1 t+αβc 1 = (αβ)p 1 ;
- (α + β)p 1 = (α + β)a 1 t^2 + (α + β)b 1 t + (α + β)c 1 = αa 1 t^2 + βa 1 t^2 + αb 1 t + βb 1 t + αc 1 + βc 1 = αp 1 + βp 1 ;
- α(p 1 + p 2 ) = α(a 1 + a 2 )t^2 + α(b 1 + b 2 )t + α(c 1 + c 2 ) = αa 1 t^2 + αa 2 t^2 + αb 1 t + αb 2 t + αc 1 + αc 2 = αp 1 + αp 2 ;
- 1 p 1 = 1a 1 t^2 + 1b 1 t + 1c 1 = a 1 t^2 + b 1 t + c 1 = p 1.
O conjunto dos polinˆomios de grau exatamente 2 n˜ao ´e um espa¸co ve- torial. De fato, a soma n˜ao est´a bem definida nesse conjunto: somando t^2 + t + 1 e −t^2 + 2t − 3, que tˆem grau 2, obtemos o polinˆomio 3t − 2, que tem grau 1.
Espa¸cos Vetoriais (^) M ODULO 2´ - AULA 8
- Para cada v ∈ V , existe um ´unico sim´etrico −v ∈ V.
De novo, suponhamos que algum v de V admitisse dois sim´etricos, −v e −v′. Nesse caso, ter´ıamos
v + (−v) = v + (−v′ ),
pois os dois lados da igualdade resultam no vetor nulo. Somando (−v) aos dois membros, obtemos
(−v) + (v + (−v)) = (−v) + (v + (−v′ )).
Pela associatividade da soma, podemos escrever
((−v) + v) + (−v) = ((−v) + v) + (−v′ ).
Usando o fato de que −v ´e sim´etrico de v, e 0 ´e o elemento neutro da soma, obtemos 0 + (−v) = 0 + (−v′ )
−v = −v′.
- Se u + w = v + w ent˜ao u = v.
Somando −w aos dois membros da equa¸c˜ao u + w = v + w, obtemos
(u + w) + (−w) = (v + w) + (−w).
Pela associatividade da soma e pelo fato de que −w ´e o sim´etrico de w e 0 ´e o neutro da soma, obtemos
u + (w + (−w)) = v + (w + (−w))
u + 0 = v + 0
u = v.
- −(−v) = v (ou seja, o sim´etrico do vetor −v ´e o vetor v).
Como o sim´etrico de um vetor qualquer de V ´e ´unico (propriedade 2), e como v + (−v) = 0 , ent˜ao o sim´etrico de −v s´o pode ser v.
Espa¸cos Vetoriais
- Fixados u e v em V , existe uma ´unica solu¸c˜ao para a equa¸c˜ao u+x = v.
Somando −u aos dois membros da equa¸c˜ao u + x = v, obtemos
(−u) + (u + x) = (−u) + v
((−u) + u) + x = (−u) + v 0 + x = (−u) + v x = (−u) + v, ou seja, a equa¸c˜ao u + x = v tem pelo menos uma solu¸c˜ao, que ´e (−u) + v. Supondo que x e x′ sejam solu¸c˜oes da referida equa¸c˜ao, ou seja, que u + x = v e u + x′ = v, teremos
u + x = u + x′ ,
e, pela propriedade 3, x = x′.
- Se v ∈ V satisfaz v + v = v, ent˜ao v = 0 (s´o o elemento neutro satisfaz a essa equa¸c˜ao). Note que, se v + v = v, ent˜ao v ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao v + x = v. Como 0 tamb´em ´e solu¸c˜ao, visto que v + 0 = v, pela propriedade anterior, tem-se v = 0.
- 0v = 0
Basta verificar que, pela propriedade distributiva,
0 v + 0v = (0 + 0)v = 0v.
Pela propriedade anterior, 0v = 0.
- α 0 = 0 , qualquer que seja o real α considerado.
De novo usando a propriedade distributiva da adi¸c˜ao, e o fato de que 0 + 0 = 0 , temos α 0 = α( 0 + 0 ) = α 0 + α 0. Pela propriedade 6, α 0 = 0
- Se αv = 0 ent˜ao α = 0 ou v = 0
Note que essa propriedade nos diz que a equa¸c˜oes das propriedades 7 e 8 representam as ´unicas formas de obter o vetor nulo como produto
Espa¸cos Vetoriais
Exerc´ıcios
- Verdadeiro ou falso? Justifique!
a- O conjunto Q dos n´umeros racionais ´e um espa¸co vetorial real. b- O conjunto Q^2 = {(a, b) : a, b ∈ Q}, com as opera¸c˜oes usuais, ´e um espa¸co vetorial real. c- O conjunto unit´ario { 0 }, com as opera¸c˜oes usuais, ´e um espa¸co vetorial real. d- R+^ = {x ∈ R : x > 0 } com as opera¸c˜oes usuais n˜ao ´e espa¸co vetorial real. e- O conjunto dos n´umeros complexos com parte real n˜ao negativa ´e um espa¸co vetorial real.
- Mostre que R^3 com as opera¸c˜oes usuais ´e um espa¸co vetorial real (siga os passos da demonstra¸c˜ao para R^2 feita no exemplo 1).
- Mostre que C^2 = {(z 1 , z 2 ) : z 1 , z 2 ∈ C} ´e um espa¸co vetorial real, com as opera¸c˜oes definidas abaixo:
Adi¸c˜ao: (z 1 , z 2 ) + (z 1 ′, z′ 2 ) = (z 1 + z 1 ′, z 2 + z 2 ′) Multiplica¸c˜ao por escalar: α(z 1 , z 2 ) = (αz 1 , αz 2 )
onde (z 1 , z 2 ) e (z′ 1 , z 2 ′) s˜ao elementos de C^2 e α ∈ R.
- Mostre que, no conjunto A = { 0 , 1 }, as opera¸c˜oes definidas abaixo sa- tisfazem a todas as condi¸c˜oes da defini¸c˜ao de espa¸co vetorial real, exceto
a lei associativa para a multiplica¸c˜ao por escalar eas leis distributivas.
Adi¸c˜ao: 0 ⊕ 0 = 0, 0 ⊕ 1 = 1, 1 ⊕ 0 = 1 e 1 ⊕ 1 = 0 Multiplica¸c˜ao por escalar: α x = x se α > 0 e α x = 0 se α ≤ 0, onde α ∈ R e x ∈ A.
- Tamb´em definem-se espa¸cos vetoriais sobre o conjunto dos n´umeros racionais (o corpo dos racionais), apenas fazendo com que a opera¸c˜ao multiplica¸c˜ao por escalar considere apenas escalares racionais, e man- tendo o restante da defini¸c˜ao inalterado. Mostre que o conjunto Q^2 ´e um espa¸co vetorial sobre os racionais.
Espa¸cos Vetoriais (^) M ODULO 2´ - AULA 8
Auto-avalia¸c˜ao
O conte´udo desta aula envolve conceitos muito abstratos. Para obter alguma seguran¸ca nesses conceitos, talvez seja necess´ario reler v´arias vezes algumas partes. N˜ao se preocupe se vocˆe n˜ao conseguiu fazer alguns dos exerc´ıcios de imediato, retorne a esta aula depois de estudar a pr´oxima, que trata dos Subespa¸cos Vetoriais, e vocˆe estar´a mais familiarizado com os conceitos aqui apresentados.
Respostas dos exerc´ıcios
- a- Falso. b- Falso. c- Verdadeiro. d- Verdadeiro. e- Falso.
Subespa¸cos vetoriais (^) M ODULO 2´ - AULA 9
Aula 9 – Subespa¸cos vetoriais
Objetivos
Pr´e-requisito: Aula 8. Caracterizar subespacos vetoriais; Identificar subespa¸cos vetoriais, demonstrando que atende `as condi¸c˜oes de subespa¸co.
Introdu¸c˜ao
Nesta aula veremos um tipo muito importante de subconjuntos de espa¸cos vetoriais: os subespa¸cos vetoriais. Nem todo subconjunto S de um espa¸co vetorial V ´e um seu subespa¸co: ´e necess´ario que o subconjunto em quest˜ao tenha a mesma estrutura de V , como estabelece a defini¸c˜ao a seguir.
Defini¸c˜ao
Considere um espa¸co vetorial V. Um subconjunto S de V ´e dito um subespa¸co vetorial de V se S for um espa¸co vetorial com respeito `as mesmas opera¸c˜oes que tornam V um espa¸co vetorial.
Como primeira conseq¨uˆencia dessa defini¸c˜ao, um subespa¸co vetorial S deve ser n˜ao vazio, j´a que uma das condi¸c˜oes que devem ser satisfeitas para que S seja um subespa¸co vetorial de V ´e a existˆencia em S de um elemento neutro para a adi¸c˜ao de vetores: com isso, obrigatoriamente 0 ∈ S.
De acordo tamb´em com a defini¸c˜ao acima, para verificar se um dado subconjunto S de um espa¸co vetorial V ´e um subespa¸co vetorial de V , deve- se checar se as opera¸c˜oes de adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao por escalar est˜ao bem definidas em S, e se elas satisfazem a todas as condi¸c˜oes dadas na defini¸c˜ao de espa¸co vetorial.
Se observarmos melhor, no entanto, veremos que n˜ao ´e necess´ario ve- rificar cada uma das condi¸c˜oes: uma vez que a adi¸c˜ao em S esteja bem definida (ou seja, que a soma de dois elementos quaisquer de S seja tamb´em um elemento de S), ela n˜ao deixar´a de ser comutativa (por exemplo) apenas porque estamos considerando elementos de S, pois a adi¸c˜ao em V tem essa propriedade. O mesmo se verifica para a multiplica¸c˜ao por escalar.
Subespa¸cos vetoriais
A seguir, ent˜ao, listamos trˆes condi¸c˜oes que, se satisfeitas, garantem que um subconjunto S de um espa¸co vetorial V ´e um subespa¸co vetorial de V :
- S = ∅.
- Dados u e v quaisquer em S, a soma u + v est´a em S.
- Dados u ∈ S e α ∈ R, o produto αu est´a em S. Uma vez que S ⊂ V satisfa¸ca tais requisitos, todas as outras proprie- dades listadas na defini¸c˜ao de espa¸co vetorial ser˜ao automaticamente “her- dadas” pelo conjunto S.
Exemplos
- Dado um espa¸co vetorial V qualquer, os conjuntos { 0 } (conjunto cujo ´unico elemento ´e o vetor nulo) e V s˜ao subespa¸cos vetoriais de V. De fato, ´e claro que { 0 } = ∅. Al´em disso, dados dois elementos de { 0 }, a soma deles pertence a { 0 } (o ´unico elemento que existe para considerarmos ´e 0 !) e o produto de um n´umero real qualquer por um elemento de { 0 } resulta no vetor nulo, pertencendo, portanto, a { 0 }. Para verificar que V ´e subspa¸co vetorial de V , basta aplicar diretamente a defini¸c˜ao de subespa¸co vetorial, e observar que V ⊂ V e ´e obviamente um espa¸co vetorial com respeito `as mesmas opera¸c˜oes. Por serem os subespa¸cos mais simples do espa¸co vetorial V , { 0 } e V s˜ao chamados subespa¸cos triviais de V.
- Seja S = {(x, 2 x) : x ∈ R}. O conjunto S ´e um subespa¸co vetorial de R^2. Nota: Na se¸c˜ao seguinte, veremos quais s˜ao todos os subespa¸cos de R^2. Neste momento, estudaremos este exemplo particular, para nos famili- arizarmos com o procedimento de verifica¸c˜ao de que um dado conjunto ´e um subespa¸co vetorial. Ao nos confrontarmos com um “candidato” S a subespa¸co, temos que nos fazer trˆes perguntas:
i- S = ∅? ii- Se u ∈ S e v ∈ S ent˜ao u + v ∈ S (a adi¸c˜ao est´a bem definida em S)? iii- Se α ∈ R e u ∈ S ent˜ao αu ∈ S (a multiplica¸c˜ao por escalar est´a bem definida em S)?
Subespa¸cos vetoriais
- O conjunto solu¸c˜ao do sistema
x + 2y − 4 z + 3t = 0 x + 4y − 2 z + 3t = 0 x + 2y − 2 z + 2t = 0 ´e o subconjunto de R^4 dado por {(− 2 y − 2 z, y, z, 2 z); y, z ∈ R}. Vocˆe pode verificar que esse conjunto satisfaz `as trˆes condi¸c˜oes de subespa¸co.
- O conjunto-solu¸c˜ao de um sistema linear homogˆeneo de m equa¸c˜oes e n inc´ognitas ´e um subespa¸co vetorial de Rn. O exemplo anterior ´e um caso particular deste. Considere o sistema escrito na forma matricial,
AX = 0 (1)
onde A ∈ Mm×n(R), X ´e o vetor-coluna (de n linhas) das inc´ognitas do sistema, e 0 ´e o vetor nulo de Rm^ representado como coluna. Va- mos verificar que o conjunto S de todos os vetores X de Rn^ que, se representados por vetores-coluna, satisfazem `a equa¸c˜ao matricial (1), formam um subespa¸co vetorial de Rn:
i- S = ∅? Como sabemos, um sistema homogˆeneo qualquer tem sempre a solu¸c˜ao trivial, portanto (0, 0 ,... , 0) ∈ Rn^ ´e um elemento de S (podemos tamb´em verificar que A 0 = 0 , tomando o cuidado de notar que o s´ımbolo 0 representa uma coluna de n zeros do lado direito da equa¸c˜ao, e uma coluna de m zeros do lado esquerdo da equa¸c˜ao). ii- Se U ∈ S e V ∈ S ent˜ao U + V ∈ S (a adi¸c˜ao est´a bem definida em S)? Sejam U e V duas solu¸c˜oes do sistema (1), ou seja, vetores-coluna de Rn^ qe satisfazem `aquela equa¸c˜ao matricial. Ent˜ao temos
A(U + V ) = AU + AV = 0 + 0 = 0
onde a primeira igualdade vem da propriedade distributiva da adi¸c˜ao de matrizes, e a segunda do fato de que, como U e V s˜ao solu¸c˜oes do sistema (1), AU = 0 e AV = 0. Vemos, portanto, que U + V satisfaz `a equa¸c˜ao matricial (1), representando, portanto, uma solu¸c˜ao do sistema.
Subespa¸cos vetoriais (^) M ODULO 2´ - AULA 9
iii- Se α ∈ R e U ∈ S ent˜ao αU ∈ S (a multiplica¸c˜ao por escalar est´a bem definida em S)? Novamente, considere U um vetor coluna de Rn^ que satisfaz `a equa¸c˜ao (1). Seja α ∈ R. Ent˜ao temos
A(αU) = αAU = α 0 = 0. A primeira igualdade utiliza a propriedade mn1, de multiplica¸c˜ao de matrizes por n´umeros reais, vista na Aula 2.
Acabamos de verificar, usando representa¸c˜oes matriciais, que a soma de duas solu¸c˜oes de um sistema linear homogˆeneo tamb´em ´e solu¸c˜ao desse sistema e que qualquer m´ultiplo real de uma solu¸c˜ao tamb´em o ´e. Logo, o conjunto-solu¸c˜ao de um sistema linear homogˆeneo com n inc´ognitas ´e um subespa¸co vetorial de Rn.
- O conjunto S =
{[
a 0 c d
]
; a + c = d
´e subespa¸co vetorial de M 2 × 2 (R).
- O conjunto S = {a + bx + cx^2 ; a, b, c ∈ R e a = b + c} ´e subespa¸co vetorial de V = P 2. Lembrando: P 2 ´e o con- junto de todos os polinˆomios a vari´avel e coeficientes reais, de grau menor ou igual a 2, acrescido do polinˆomio iden- ticamente nulo.
Observe que R e R^2 s˜ao espa¸cos vetoriais, e R n˜ao ´e um subespa¸co vetorial de R^2. Isso porque R n˜ao est´a contido em R^2 , assim como R^2 n˜ao est´a contido em R^3. A confus˜ao costuma acontecer, em parte, porque a repre- senta¸c˜ao geom´etrica de R^2 (plano cartesiano) parece incluir a representa¸c˜ao geom´etrica de R (reta). Na verdade, por´em, R ´e um conjunto de n´umeros, enquanto R^2 ´e um conjunto de pares ordenados de n´umeros, e esses dois objetos s˜ao completamente distintos. Veremos mais tarde que R^2 cont´em apenas “c´opias” de R, assim como R^3 cont´em “c´opias” tanto de R como de R^2.
Os subespa¸cos vetoriais de R^2
Ja conhecemos alguns dos subespa¸cos de R^2 :
- {(0, 0)} e R^2 , que s˜ao os subespa¸cos triviais;
- {αw : α ∈ R}, onde w ∈ R ´e um elemento de R^2.
Subespa¸cos vetoriais (^) M ODULO 2´ - AULA 9
Note que o subespa¸co S n˜ao pode consistir apenas das duas retas da figura (2). Isso porque a adi¸c˜ao n˜ao est´a bem definida no conjunto formado pela uni˜ao das duas retas; se considerarmos, por exemplo, o vetor w + v, veremos que ele n˜ao pertence a nenhuma das duas retas. Lembre-se de como somar vetores geometricamente no plano!
w v
v + w
Fig. 3: Soma de w e v
Observe, agora, que qualquer vetor de R^2 (com origem em 0 = (0, 0)) pode ser obtido pela soma de vetores das duas retas, e isso significa que, nesse caso, S = R^2. Na figura (4), vemos alguns exemplos de vetores em diversas posi¸c˜oes, obtidos como soma de vetores das retas, e vocˆe pode procurar mais exemplos para se convencer desse fato.
w v
2w - v
v - w
3w + 12 v
Fig. 4: Vetores de R^2
Subespa¸cos vetoriais
At´e agora, resumindo, temos os seguintes fatos para um subespa¸co S de R^2 :
- se S n˜ao cont´em vetores n˜ao nulos, S = { 0 };
- se S cont´em um vetor n˜ao nulo, S tamb´em cont´em a reta que cont´em esse vetor;
- se S cont´em dois vetores n˜ao nulos, que n˜ao estejam sobre uma mesma reta, ent˜ao S = R^2.
Com isso, os ´unicos subespa¸cos vetoriais de R^2 s˜ao { 0 }, R^2 e as retas Uma reta de R^2 que n˜ao de R^2 que passam pela origem. cont´em a origem (ponto (0, 0)) pode ser um subespa¸co
vetorial de R^2? Por quˆe? Os subespa¸cos vetoriais de R 3
Os subespa¸cos vetoriais de R^3 s˜ao do seguinte tipo:
- { 0 } e R^3 (triviais);
- retas do R^3 que contˆem a origem ( 0 = (0, 0 , 0) neste caso);
- planos de R^3 que contˆem a origem.
N˜ao faremos aqui uma demonstra¸c˜ao desse fato, como fizemos na se¸c˜ao passada. Os motivos que fazem com que esses sejam os ´unicos poss´ıveis subespa¸cos s˜ao inteiramente an´alogos ao caso de R^2. Nas pr´oximas aulas estudaremos conceitos que permitir˜ao uma demonstra¸c˜ao bem simples desse fato.
Resumo
Nesta aula vimos a defini¸c˜ao de subespa¸co: trata-se de subconjuntos de espa¸cos vetoriais que s˜ao, por si mesmos, espa¸cos vetoriais tamb´em, con- siderando as mesmas opera¸c˜oes definidas no espa¸co que os contˆem. Vimos que, para comprovar que um subconjunto de um espa¸co vetorial ´e um su- bespa¸co, basta verificar trˆes condi¸c˜oes: ser n˜ao-vazio, e ser fechado para as opera¸c˜oes de adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao por n´umero real. Vimos tamb´em que, embora sejam em n´umero infinito, os subespa¸cos de R^2 e R^3 s˜ao facilmente identificados.
