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2 ESTABILIDADE INICIAL
Tendo sido definidas as condições de estabilidade de um corpo flutuante e mostrado como surge um conjugado de endireitamento em uma embarcação inclinada, segue-se a determinação do valor desse conjugado para pequenos ângulos de banda.
2.1 Estabilidade Inicial
No estudo de estabilidade inicial o interesse recai na determinação do valor de GM inicial ou do braço de endireitamento GZ para um pequeno ângulo de banda. O valor de algum desses parâmetros permite julgar a adequação de uma embarcação do ponto de vista de estabilidade inicial.
A condição de equilíbrio depende da posição do CG e da movimentação do centro de carena B. Com isso em mente se estará, a seguir, deduzindo expressões que determinam a posição de B como uma função do ângulo de inclinação.
Esse desenvolvimento será efetuado de duas maneiras diferentes, o que, acredita-se, garante uma perfeita compreensão da questão.
Em primeiro lugar considere a seção transversal de um navio ilustrada na figura abaixo.
W L
W (^1)
L 1
L.C.
B B 1
G
M
dq
Z dq
Figura 2.1 - Localização do metacentro transversal
Quando um corpo flutuante, que estava em equilíbrio, é inclinado de um pequeno ângulo a nova linha d'água intercepta a linha d'água original no plano de centro da embarcação se os seus costados são verticais. Essa é a única maneira de tornar os volumes das cunhas emersa e imersa iguais e manter o deslocamento submerso constante.
Se, no entanto, os costados não são verticais essa aproximação só é válida se a inclinação for suficientemente pequena.
Se V for o volume de cada uma das cunhas e o volume total do deslocamento, g 1 e g 2 os centros de volume das cunhas, o centro de carena da embarcação se moverá:
a)numa direção paralela à linha que liga g 1 e g 2 ; b)de uma distância BB 1 igual a V.g 1 g2 /.
Conforme a inclinação se aproxima de zero a linha g 1 g2 , e portanto BB 1 , se aproxima da horizontal original. Assim qualquer variação dos costados torna-se desprezível, e portanto:
Se y é a meia boca da linha d'água em qualquer ponto ao longo do comprimento do navio, designado por L , então, já que a área da seção transversal das cunhas é de e os seus centróides estão afastados de uma distância , ter-se-á:
ou
Note-se que o lado direito desta expressão está associado ao momento de inércia da área do plano de flutuação.
De maneira a se ter isso muito bem claro, faça-se essa demonstração.
Considerando a figura a seguir, onde foi representa uma determinada curva da qual se quer determinar o momento de inércia transversal em relação ao eixo x.
Figura 2.2 - Curva a ser integrada
O momento de inércia transversal em relação ao eixo x é definido como a somatória dos elementos de área dxdy multiplicados pela distância ao quadrado até o referido eixo. Portanto,
(2.2a)
como
(2.2b)
A (2.1) pode ser escrita como:
De posse de BM pode-se calcular GM , que é o parâmetro de interesse, pela simples relação:
(2.4)
onde o valor de KG foi determinado pela experiência de inclinação, ou pela ponderação de todas as massas e suas alturas em relação a um plano de referência.
Figura 2.4 - Trajetória do centro de carena
Nota-se agora que o metacentro, da maneira como definido, é o ponto de aplicação do raio vetor da curva definida pela trajetória do centro de carena B. Como a trajetória de B não é um círculo, o metacentro se move em função do ângulo F 07 1.
O raio vetor fornecerá o valor de BM.
Figura 2.5 - Declividade da trajetória de B****.
como:
então é possível calcular:
lembrando que a função f(x) é a coordenada Y (^) B em função de XB , tem-se:
e pode-se, finalmente, calcular o raio de curvatura:
Para XB =0 obtem-se o valor de BM inicial:
Com a expressão obtida pode-se achar não só o raio de curvatura da trajetória do centro de carena, como também a trajetória do metacentro, bastando para isso somar-se vetorialmente o ponto B com o raio de curvatura naquele ponto.
O braço de endireitamento pode ser obtido com um pouco de álgebra linear. Considere-se a figura a seguir:
Figura 2.6 - Braço de endireitamento
Para se determinar o braço GZ deve-se, em primeiro lugar, determinar a equação da reta que passa pelo metacentro instantâneo e pelo ponto B 1. A distância dessa reta ao centro de gravidade é o braço de endireitamento.
A reta em questão deve passar pelo ponto B 1 :
e deve ser ortogonal à trajetória do centro de carena, esboçada como a parábola na figura, e que é determinada pela função:
Portanto, a reta tangente tem inclinação e, conseqüentemente, a reta que passa por B tem inclinação. Substituindo:
A distância da reta ax+by+c=0 ao ponto (x0,y0) é dada por:
o que conduz finalmente a:
A expressão obtida para GZ é exata desde que os costados sejam verticais e não haja imersão do convés nem afloramento do bojo. A tabela a seguir compara os valores obtidos pela formulação acima e pela formulação simplificada, (GZ=GM.senF 07 1 ), considerando-se BM 0 =10m e BG =5m:
F 0 7 1 GZ^ GMsenF 07 1 1 0.087 0. 2 0.175 0. 3 0.263 0. 4 0.352 0. 5 0.442 0. 6 0.534 0. 7 0.628 0. 8 0.723 0. 9 0.821 0. 10 0.922 0. 15 1.480 1. 20 2.20 1. 25 3.032 2. 30 4.20 2. 35 5.680 2.
Tabela 2.1 - Valores do braço de restauração
Da mesma maneira que a curva do braço de restauração real é mais inclinada positivamente para ângulos médios( 10<θ<50) ela tomará grandes inclinações negativas e abruptamente a partir de seu valor máximo, que em geral acontece para ângulos em torno de 50 o^ a 60o^.
A trajetória do metacentro não recebeu maior atenção porque o que realmente interessa é o braço de restauração.
O primeiro termo da parte superior significa os momentos de inércia próprios das áreas de flutuação de cada coluna e o segundo termo representa o momento de inércia de transporte.
Portanto:
GMt=KB+BMt-KG =7,89+21,00-19,85 = 9,04m
O BM longitudinal considera o momento de inércia longitudinal da área do plano de flutuação. Assim:
e portanto:
GMl=KB+BMl-KG =7,89+11,74-19,85= -0.22m
- Conforme se percebeu no exercício anterior uma semi-submersível possui dois valores principais de GM , assim como um navio. Se sua área de linha d'água não for simétrica esses valores podem ser diferentes.
Naturalmente, qualquer sistema flutuante possui alturas metacêntricas em relação a qualquer direção de inclinação. Pode-se demonstrar, no entanto, que os valores máximo e mínimo de momento de inércia do plano de flutuação são referentes a eixos principais de inércia. Portanto, como KB e KG são fixos, os eixos principais apresentam máximo e mínimo valor de GM.
A preocupação do projetista recai sempre no valor mínimo de altura metacêntrica e, portanto, refere-se a uma inclinação com eixo coincidindo com o eixo principal, que apresenta menor momento de inércia.
Quando a área de linha d'água apresenta planos de simetria demonstra-se facilmente que os eixos principais são os eixos de simetria. Isso estava tacitamente implicito no problema anterior e não foi preciso determinar os eixos principais. No problema a seguir, como a área do plano de linha d'água não apresenta simetrias, é necessário, antes de mais nada, determinar os eixos principais.
Considere-se, então, a mesma semi-submersível do exercício anterior. Devido a uma razão qualquer uma das colunas perdeu área de flutuação. Deseja-se calcular os novos valores de GM , máximo e mínimo, nessa situação. Para simplificação da solução admita-se que essa perda de área não altere o seu calado nem sua posição angular.
Resolução.
Em primeiro lugar deve-se determinar a nova posição do centro de área de flutuação. Isso, mais uma vez, é feito ponderando-se as áreas dos elementos que compõem a seção pela distância até um eixo de referência. Sejam os eixos de referência ortogonais passando pelo
centro geométrico da área de linha d'água intacta, orientados longitudinal e transversalmente. As novas coordenadas do centro de área serão dadas por:
Figura 2.4 - Coordenadas do novo centro de área e eixos principais de inércia.
O processo para cálculo dos eixos principais de inércia e dos novos momentos de inércia pode ser efetuado, com relativa facilidade, através do procedimento que se utiliza do círculo de Mohr. Primeiramente, é necessária a determinação dos momentos de inércia em relação a dois eixos quaisquer que passem pelo centro de área. Sejam x'y' os novos eixos, como mostrado na figura 2.4. Então:
Agora, de acordo com o procedimento de Mohr, os pontos de coordenadas (Ix,Ixy), (Iy,-Ixy) são pontos diametralmente opostos de uma circunferência, cujos pontos de intersecção com o eixo x determinam o máximo e mínimo momentos de inércia da seção considerada.
Figura 2.5 - Círculo de Mohr
O centro da circunferência e os pontos de intersecção com o eixo x podem ser calculados simplesmente utilizando-se propriedades geométricas e trigonométricas.
Centro= =(278.165,0) Raio=106.327m Máximo I =+384.492m Mínimo I =-171.838m
Pode ser demonstrado também que os eixos principais de inércia são obtidos girando- se os eixos x' e y' de um ângulo /2 , onde é indicado na figura acima, no mesmo sentido seguido no círculo de Mohr.
Uma vez calculado os eixos e os momentos principais de inércia, a determinação dos valores máximo e mínimo de GM segue o procedimento ilustrado no exercício 1
- Considere agora uma semi-submersível de quatro colunas iguais e de diâmetro 12m. Os centros das colunas são dispostos nos vértices de um quadrado de aresta 80m. Pede- se calcular os momentos de inércia em relação a um sistema ortogonal de eixos obtidos pela rotação de 35 de um sistema fixo no centro de área de linha d'água e paralelo aos eixos de simetria.
4)Considere uma semi-submersível composta por 2 pontões de seção retangular de 12m x 8m e comprimento de 90m, e 4 colunas cilindricas de diâmetro 10m, dispostas nos vértices de um quadrado de aresta 70m. Assumindo KG =20m determine o calado para o qual o GM é máximo. O calado mínimo deve ser considerado como aquele que imerge completamente os pontões.
B) Exercícios não resolvidos:
- Considere uma navio de F 04 4 = 320t, que flutua em água doce e tem a seguinte tabela de
cotas de área de linha d’água:
Baliza meia boca 0 0 ½ (^) 1, 1 2 2 3 3 3. 4 3. 5 3. 6 3. 7 2. 8 2. 9 2. 9 1/2 1. 10 0
Seu comprimento total é de 50 metros, KB=2m e KG=3m. Determine os valores de GM longitudinal e transversal.
- Considerando a seção de um navio em forma de caixa, mostre que o raio metacêntrico é dado por. Defina então o metacentro.
- Por que não é usual utilizarmos o círculo de Mohr para cálculo dos eixos principais de
inércia de um navio que flutua com parte da área de linha d’água avariada, da mesma maneira com que fazemos com plataformas semi-submersíveis?
- Qual o procedimento para determinação das alturas metacênctricas de uma semi-sub. que
perde parte da área de flutuação?
