Vibrações Aleatórias, Exercícios de Engenharia Mecânica

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FACULDADE SATC

ENGENHARIA MECÂNICA

JOSÉ REINALDO B. MOREIRA

VIBRAÇÕES ALEATÓRIAS

CRICIUMA, JUNHO DE 2009

SUMÁRIO

• 1 INTRODUÇÃO.........................................................................................................................
• 2 VIBRAÇÃO ALEATÓRIA
• 2.1 Conceito De Vibração Aleatória
• 2.2 Força Aleatória
• 2.3 Sinal Aleatório
• 3. DENSIDADE ESPECTRAL
• 3.1 A Função de Autocorrelação..............................................................................................
• 3.2 Densidade Espectral de Energia
• 4 RESPOSTA A EXCITAÇÃO ALEATÓRIA
• 4.1 Resposta a uma Força Impulsiva
• 4.2 Solução do Sistema.............................................................................................................
• 4.3 Valor Esperado.....................................................................................................................
• 4.4 Equações do Sistema Excitado por uma Força Aleatória
• 5 CONCLUSÃO
• 6 REFERÊNCIAS

2 VIBRAÇÃO ALEATÓRIA

2.1 Conceito De Vibração Aleatória

A noção de vibração começa com a idéia do equilíbrio. Um sistema está em equilíbrio quando a resultante de todas as forças atuantes sobre o mesmo é nula. Qualquer sistema que esteja sob esta condição somente sairá dela quando ocorrer alguma perturbação externa. A oscilação irá ocorrer quando, após a perturbação atuar, o sistema apresentar a tendência a retornar à sua posição de equilíbrio. Um sistema vibratório é um sistema dinâmico para o qual as variáveis tais como as excitações (causas, entradas, inputs) e respostas (efeitos, saídas, outputs) são dependentes do tempo. A resposta de um sistema vibratório depende, geralmente, das condições iniciais e das ações externas. Isto faz com que seja necessário estabelecer um procedimento de análise que permita o entendimento das influências de cada um dos fatores. O procedimento geral é o que começa com o estabelecimento de um modelo físico, determinação das equações diferenciais que governam o movimento (modelo matemático), solução destas equações e interpretação dos resultados. A vibração livre ocorre quando o movimento resulta apenas de condições iniciais, não havendo nenhuma causa externa atuando durante o mesmo. Vibração forçada é aquela onde o sistema está sujeito a atuação de uma força externa. Se o valor ou magnitude da excitação(força ou movimento) que está agindo sobre o sistema for conhecido( em qualquer instante de tempo), a excitação é denominada determinística. A vibração resultante é conhecida como vibração determinística. Em alguns casos, a excitação não é determinística, mas sim aleatória. O valor ou magnitude desse tipo de excitação para um instante de tempo não pode ser determinado. Exemplos de excitações aleatórias são a velocidade do vento, a aspereza de uma estrada e o movimento dos solos durante um terremoto. Se a excitação é aleatória, a resposta do sistema (também aleatória, como a excitação) é chamada de Vibração Aleatória.

2.2 Força Aleatória

Considera-se força aleatória toda e qualquer força que, para um determinado instante de tempo, seu valor pode ser encontrado somente através de ferramentas estatísticas.

2.3 Sinal Aleatório

Quando se fala de sinais aleatórios (nesse caso, a resposta do sistema), não é possível se concentrar nos detalhes do sinal. Esse tipo de informação é muito difícil de ser obtida, e conseguem-se resultados satisfatórios utilizando os dados obtidos estatisticamente. Uma das principais informações a se considerar em um sinal aleatório é o fato do mesmo ser ou não um sinal estacionário. Um sinal é considerado estacionário de se suas propriedades estatísticas não se alteram com o decorrer do tempo. Para um sinal aleatório x(t), podemos definir sua média como:

Nesse caso, é conveniente (e aceitável) definir que, para um sinal aleatório estacionário, (t)=0.

Outro fator importante é a média do quadrado da variável aleatória x(t), dada por:

Quando se trata de sinais aleatórios, esse valor é também chamado de variância, e fornece uma medida da magnitude das flutuações no sinal x(t). Outro valor relacionado, chamado de média quadrática (root-mean- square), é a raiz quadrada da variância:

4 RESPOSTA A EXCITAÇÃO ALEATÓRIA

4.1 Resposta a uma Força Impulsiva

Para um sistema massa-mola-amortecedor excitado por uma força F(t) arbitrária, a resposta pode ser representada usando a função resposta de uma força impulsiva, dada pela equação:

A transformada de Fourrier dessa função resulta na resposta em freqüência do sistema:

4.2 Solução do Sistema

Para encontrar a solução do sistema aleatório, considera-se que:

A partir dessa consideração substitui-se a Eq. 3.1 na Eq. 3.2, e utilizando a Eq. 4.3, temos que:

Ou simplesmente:

(4.6)

O processo para se alcançar tal equação é complexo, porém é muito mais importante estudar os resultados do que o processo para chegar na equação. Onde corresponde à autocorrelação da função da força F(t) e corresponde a transformada de Fourrier da mesma, ou seja, a densidade

espectral da força F(t). A equação 4.6 representa uma importante conexão entre a Densidade Espectral da Força, as características da estrutura e a Densidade Espectral da resposta do sistema. Para sistemas aleatórios, essa equação é a equivalente à solução do sistema, pois indica a velocidade que a resposta x(t) mura em relação a velocidade de mudança da força aleatória.

4.3 Valor Esperado

Outro valor útil para os cálculos da resposta de um sistema excitado por uma força aleatória é o “valor esperado” de x(t), chamado de E[x] e definido por:

Que é, de acordo com a Eq. 2.1, ao valor médio. A média do produto das duas funções x(t) e x(t+ ) descreve como a

função x(t) muda com o tempo. Para um processo aleatório, essa é também a função de autocorrelação.

Se considerarmos para a Eq. 3.1 , temos:

Se compararmos vibração aleatória com não aleatórias, as equações são equivalentes à resposta impulsiva e resposta da freqüência.

Determinísticos Aleatórios X(w)=G(w)+F(w)

5 CONCLUSÃO

O estudo de vibrações aleatórias promove a melhoria da qualidade em diversos ambientes, pois tanto em casa quanto no trabalho, as vibrações tem efeitos diversos sobre o ser humano e as maquinas e estruturas que o rodeiam. A diferença entre estudar a resposta de processos aleatórios e processos determinísticos, nesse caso, está diretamente ligado à força que excita cada tipo de sistema. Infelizmente, não de pode definir função para uma força aleatória, mas somente analisar dados estatísticos e determinar valores aceitáveis para a realização de cálculos. Tal fato pode ser um empecilho quando se estuda um novo sistema, sem referencias ou histórico. Por fim, a análise dos resultados também é feita de forma diferente, pois em um sistema aleatório, a “resposta” não possui o mesmo perfil que a resposta de um sistema determinístico.