Lösungen Mathematik 10, Übungen von Mathematik

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Aroatisnars Schlussel zur Mathematik Klasse 10 Rheinland-Pfalz Cornelsen Beraterin: Diana Tibo Berater: Sebastian Schénthaler Redaktion: Ludwig Heyder Illustration: Gudrun Lenz, Berlin Grafik/Zeichnung: Christian Bohning, Ludwig Heyder Unmschlaggestaltung: Studio SYBERG, Kirstin Eichenberg Technische Umsetzung: Ralf Franz, CMS — Cross Media Solutions GmbH Bildnachweis Fotos Titel: Fotolia/buellom; 7/1 Fotolia/Stefan Schurr; 9/1 Shutterstock/atiger; 11/1 Fotolia/DURIS Guillaume; 15/1 Cornelsen/Peter Hartmann; 23/1 Shutterstock/DenisProduction.com; 25/1 Shutterstock/kmls; 27/1 Fotolia/Fiona Coulter; 29/1 Fotolia/Anatolii; 31/1 Shutterstock/KuLouKu; 32/1 Fotolia/mathisa; 33/1 Fotolia/magicbeam; 39/1 Fotolia/pusteflower9024; 41/1 Shutterstock/Pavel L Photo and Video; 45/1 Fotolia/lyf2; 47/1 Shutterstock/lenetstan; 48/1 Fotolia/Stéphane Hell; 52/1 Shutterstock Quadratische Funktionen Scheitelpunktform quadratischer Funktionen * Der Graph der Funktion mit der Gleichung f(x) = 2° (y = x) heiBt Normalparabel. Der Scheitelpunkt der Parabel ist S(0| 0). * Verschiebt man die Normalparabel um e in y-Richtung, — Beispiele: so lautet die Gleichung der entsprechenden Funktion SOE f(x) = (= 3,5P Der Scheitelpunkt der Parabel ist S(0| e). * Verschiebt man die Normalparabel um d in x-Richtung, so lautet die Gleichung der entsprechenden Funktion f(x) =(x-d)?. Der Scheitelpunkt der Parabel ist S (d| 0). * f(x) = (x — d)?+ chat den Scheitelpunkt S(d|e). SG.5|=2) > Auftrag: Gib jeweils die Funktionsgleichungen an. Trai eo 1. Koordinatensystem mit verschobenen Normalparabeln a) Ergiinze die fehlenden Werte. x -2|-1| 0] 1 | 2] 3 f= 4 51,0 1 4 °9 f(x) =x? +5 9/6/5/)6)9) 14 f@)=x-4 0) -3|-4/-3) 0) 5 x -2|-1| 0] 1 | 2] 3 FQ) =x? 4 1,0 1,4 ~=9 fix) = (x + 1)? 1/o}1)|4) 9 | 6 fs) = («- 2)? 16 | 9 4 1 0 1 x -2 -1)| 0 1 2 3 fe) =(e+ 1? +2 3 2 3 6 11 | 17 fi@=@+?-4) -3 | -4/)-3 50/5) 2 fe =@-22-4 12 5 | 0 | -3 | -4 | -3 b) Beschrifte zuerst die Graphen. 7 S,(0|-#) S(2|-#) Gib danach im Koordinatensystem die Scheitelpunkte an. 2. Kreuze alle Parabeln an, die symmetrisch zur y-Achse sind. Gib, wenn méglich, jeweils den Scheitelpunkt S an. Zusatzaufgabe: Zeichne die Graphen mithilfe eines Funktionenplotters oder einer Tabellenkalkulation. x fe) =x2+3 90/3) fx) =x+7 |) fed =(r+5)? S50) |X) FO) =7-27 5(0|7) Scheitelpunktform quadratischer Funktionen 3 Nach oben geéffnete verschobene Normalparabeln f, Ah 4 | 3) -2 7% a) Gib die zugehérigen Funktionsgleichungen und die Koordinaten der Scheitelpunkte an. f,@= 2 S (0/0) f@= (x+6) S (-6|0) AQ)= x?-3 S (0|-3) f,Q)= (e-7)7?-2,5 S (7|-2,5) b) Zeichne im Koordinatensystem die verschobenen Normalparabeln ein und vervollstiindige die Angaben. Hinweis: Eine Schablone kann dabei helfen. Ss) = (43,5) S G5|0) fox)= (x +63 S(-6|-3) f, 0) = (x+ 6,5) +3 S (-6,5|3) fea = 2243 S(|3) Anwenden und Vernetzen 4 Zeichne zunichst die den Eigenschaften entsprechende verschobene Normalparabel in das Koordinatensystem ein. Gib danach die Funktionsgleichung an. Hinweis: Mithilfe einer Schablone wird das genauer. a) Der Graph der Funktion fschneidet die x-Achse an den Stellen x, = 1,5 und x)= 3,5. oe Fa, Hinweis: d=—~—. 7 fi) =-( -2,5P +1 S,(2,5|1) AQ) = P-1 5,(2,5|-1) b) Der Graph von g ist fiir x<-1 fallend und fiir x >-1 steigend. Der kleinste Funktionswert ist —2. f(x) = (x + 1)?-2 S(-1|-2) ¢) Der Graph der Funktion A ist symmetrisch zur Geraden x = 3 und verléuft durch den Punkt P(1 | 2). f,QX) = (x -3-2 S(3|-2) d) Die Punkte P(-3|2) und Q(-1 |2) gehéren zum Graphen i. fsx) = (x +27 +1 S(-2|1) Quadratische Funktionen Nullstellen quadratischer Funktionen * Die x-Werte, zu denen der y-Wert 0 ist, werden Nullstellen genannt. ¢ Eine quadratische Funktion kann entweder keine, eine oder zwei Nullstellen haben. Beispiele: f,@=4et 1241 A@=(- 3? 0=G-3) x=3 f@=xr-1 O=x2-1 0=1?-1 und 0=(-1)?-1 x=1 und x, hat keine Nullstelle. ist die einzige Nullstelle. 1 _ sind die zwei Nullstellen. > Auftrag: Beschrifte die Graphen und markiere die Nullstellen. Trainieren 1. Markiere zuerst die Nullstellen und ordne die Funktionsgleichungen zu. Uberpriife danach, wenn méglich, mithilfe einer Rechnung die Zuordnung der Nullstellen. -8 7 -6 5 4 3 fs Sf @= 0,5.x7 Nullstellen: fy (x) = 0,227 + 1 Nullstellen: Ak@= -0,2.x7 Nullstellen: f@=-(t3P +4 fs) = (x- 5)? fs) =-(@ + 6? fy @=(-5)?=1 2 Kreuze die Anzahl der Nullstellen an. Nullstellen: Nullstellen: Nullstellen: » Nullstellen: 1 wv oles 7 =! / w + e x oo Zusatzaufgabe: Ermittle mithilfe von Zeichnungen oder von Rechnungen die Nullstellen. f, ) =-0,81(¢- 23) = 23 fy) =2 - 0,36 A, @=P +081 fy (= (x-7)2 +081 fs (= (x+2)2- 36 X= 0,6; x)=-0,6 Rechnung: 0,5: 0? =0 Rechnung: Rechnung: Rechnung: ~(-5+3)?+4=0 —(-1+3)?+4=0 Rechnung: (5-5)?=0 Rechnung: -(-6+6)?=0 Rechnung: (4~—5)?-1=0 (6-5)-1=0 |_| keine Nullstelle |X| eine Nullstelle |_| zwei Nullstellen |_| keine Nullstelle |_| eine Nullstelle (x) zwei Nullstellen |X. keine Nullstelle |_| eine Nullstelle |_| zwei Nullstellen (X. keine Nullstelle |_| eine Nullstelle |_| zwei Nullstellen |_| keine Nullstelle |_| eine Nullstelle (x) zwei Nullstellen Allgemeine Form und Scheitel punktform 4 Parabeln im Koordinatensystem a) Wandle in die Scheitelpunktform um. hy fi few -4x-4= (+2)? fQ)ae-4x+4= (e-2)2 2 fojart+4x+1= (x +2)P-3 S,(-2/0) fee +4x-T= —(e-2) fot) =-222 -8x-11= -2(e+2)?-3 fot) = 3x2 -12x4+21= 30-2) +3 b) Gib im Koordinatensystem die Scheitelpunkte an und beschrifte die vorgegebenen Graphen nach a). Anwenden und Vernetzen 5 Das Foto zeigt die Lupu-Briicke iiber den Huangpu-Fluss im Zentrum von Shanghai. Sie war zum Zeitpunkt ihrer Fertigstellung 2003 die weltweit gréBte Bogenbriicke. Die Bogenspannweite betrigt 550m. Der Bogenscheitel hat eine Héhe von 100m iiber dem Wasserspiegel. Skizziere zuerst den fast parabelférmigen Bogen der Briicke in einem Koordinatensystem. Gib danach eine Funktionsgleichung fiir den Verlauf des parabelf6rmigen Bogens an. 200, -300 -200 -100 0 100 200 = 300 * —100. zB. Nullstellen: x, =-275 und x, = 275 Scheitelpunkt: S(0| 100) Gleichung: f(x) = ax? + 100 0 =a(-275)? + 100 daraus folgt a = —100 : (-275)? = -0,0013 JS (x) =-0,0013x? + 100 ist die gesuchte Funktionsgleichung fiir den Verlauf des parabelformigen Bogens. 6 Gegeben ist die Funktionsgleichung f(x) = —0,8.x? — 26x. a) Ermittle den grégten Funktionswert von f(x) = -0,8.x? — 26x. S (x) = -0,8x? — 26x = -0,8 (x? + 32,5.x) = -0,8 (x? + 32,5x + 16,25? — 16,257) = -0,8 ((x + 16,25)? — 264,0625) f(x) = -0,8 (x + 16,25)? - 264,0625 - (-0,8) = -0,8 (x + 16,25)? + 211,25 Der gréBte Funktionswert von f (x) = -0,8x? - 26x ist 211,25. b) Kreuze Zutreffendes an. Der Graph der Funktion f(x) = -0,8.x7- 26xist ... eine Gerade |X) ein Kreisbogenteil eine Parabel |_| eine Normalparabel ><) nach oben geéffet [ nach unten geffnet ><) nach links verschoben [ ] nach rechts verschoben gestaucht | gestreckt achsensymmetrisch |_| punktsymmetrisch Quadratische Gleichungen Lésen einfacher quadratischer Gleichungen ¢ Ein Produkt ist 0, wenn mindestens ein Faktor 0 ist. Hat eine quadratische Gleichung die Form (x + a)(x + b)=0, so lassen sich demzufolge die beiden Lésungen direkt ablesen: x, =—a undx,=—b. * Oftist auch nur zu iiberlegen, von welchen Zahlen das Quadrat gegeben ist. Beispiele: x?-7x=0 x?+10x+25=0 x2=9 x?=-81 x-(x-7)=0 (x+ 5)\(x+5)=0 xex=9 x-x=-81 Lésungen: 0); 7 Lésungen: —5 Lésungen: —3; 3 Lésungen: keine > Auftrag: Ergiinze die Lésungen. Trainieren Kreuze alle Lésungen der quadratischen Gleichungen an. Zusatzaufgabe: Beschreibe, wie man die Lésungen ermitteln kann. individuelle Lésungen a) @=0 -1 -0,5 x 0 | | 0,5 1 b) P=4 x! -2 -1 0 fiji x) 2 ¢) &-9=0 -5 x -3 0 [x] 3 5 d) d-(d-1,5)=0 3 15 x0 (x) 15 3 Gib im Stern die Anzahl der Lésungen an. a) 145,78x?=4,78 ‘Ze b) x-(v-112,4)=0 ‘2 ¢) 45,78x? +45,79 = 15,47.x7 oe d) (x-112,4)?=0 ote Gib die Lésungen an. a) ?=81 b) b?=-121 ©) c-(c+1,5)=0 d) (d-23)-d=0 Lésungen: —9; 9 Lésungen: Lésungen: 0;-1,5 Lésungen: 0); 23 e) (+7)(e+4)=0 f) + DF-71)=0 8) (g-8)(g-8)=0 h) (9-h6-h)=0 Lésungen: Lésungen: —7;7 Lésungen: 8 Lésungen: 6;9 Ermittle die Lésungen. a) x°+11=60 b) x?-95=26 ©) x°-64=297 d) 2x2+32= 160 x?=49 x?=121 x?= 361 2+x?=128 [:2 x?=64 Lésungen: 7; -7 Lésungen: 11;-11 Lésungen: 19; —-19 Lésungen: 8;—8 e) x°-3x=0 f) 2x243x=0 g) -2x2=x h) x?-8x=-16 x(x-3)=0 x+(2x+3)=0 O=x4+2x? x?-8x+16=0 O=x(1+2x) (x -4)(x- 4) =0 Lésungen: 0); 3 Lésungen: 0; —1,5 Lésungen: 0; —0,5 Lésungen: 4 Losen einfacher quadratischer Gleichungen 11 5 Gib quadratische Gleichungen an, die die vorgegebenen Lésungen haben. a) Lésungen: -0,4; 0,4 b) Lésungen: 0 c) Lésungen: 1,5 d) Lésungen: -0,2;-2 zB. zB. zB. zB. (x +0,4)(@ -0,4)=0 xex=0 (x -1,5)(x -1,5)=0 (x +0,2)(x + 2)=0 x7 -0,16 =0 x?=0 x? -3x+2,25=0 x?42,2x+0,4=0 6 Markiere zueinander dquivalente Gleichungen mit der gleichen Farbe. Lose dazu die Gleichungen oder forme geeignet um. (x+ 0,2)(x - 0,8) =0 A x? +0,6x-0,16=0B (x-0,2)(v+ 0,8) = 0B 2° -0,6x-0,16=04 0,5.x7=0,3x+0,08 A’ 4x°=0,52-1,8x C x°+0,6x=0,16 B 3x? = 0,48 - 1,80x B 7 Ein Wiirfel hat einen Oberflacheninhalt von 69,36 dm?. a) Berechne die Kantenlinge a des Wiirfels. 69,36dm?=6a? |:6 11,56 dm? = a? a=3,4dm Die Kantenlinge betriigt 3,4dm. b) Mina sagt: ,,.Der Wiirfel hat ein Volumen von rund 0,4 m3 Hat sie recht? V =a? = (3,4dm)> = 39,304. dm? = 0,04m> Mina hat nicht recht. Zahlenritsel a) Addiert man zum Quadrat einer natiirlichen Zahl 111, so erhalt man 400. Welche Zahl ist es? x?+111=400 |-111 x? = 289 Die gesuchte Zahl ist 17. b) Das Quadrat einer reellen Zahl ist gleich ihrem Siebenfachen. Welche Zahl kénnte es sein? x?=7x |-7x x'(x-7)=0 Die gesuchte Zahl kann 0 oder 7 sein. °) Das Quadrat eines Quadrates einer reellen Zahl ist 0,0256. Welche Zahl kénnte es sein? (x?)? = 0,0256 x? =0,16 Die gesuchte Zahl kann -0,4 oder 0,4 sein. d Der Flicheninhalt eines Fotos betriigt 300 cm”. Die ganzzahligen Seitenliingen verhalten sich zueinander wie 3 :4. Wie lang sind die Seiten? 3x+ 4x =300cm? 12x?=300cem? =|: 12 x7=25em? x =5em 3-5em=15em 4-5em=20cm Die Seiten des Fotos sind 20cm und 15cm lang. Potenzen und Wurzeln Zehnerpotenzschreibweise Sehr groBe bzw. sehr kleine Zahlen kann man mithilfe von Zehnerpotenzen darstellen. Die Zahl wird als Produkt geschrieben, bei dem der erste Faktor eine Zahl zwischen | und 10 und der zweite Faktor eine Zehnerpotenz ist. Beispiele: 31000000=3,1-10000000= 3,1 - 107 0,0000012= 1,2: 0,00000: 2-106 > Auftrag: Ergiinze die Beispiele. Trainieren 1 Schreibe mit Zehnerpotenzen wie bei a). a) 84000= 8,4- 10000=8,4- 10* b) 1200000= 1,2-1000000=1,2- 10° c) 176000= 1,76 - 100000 = 1,76 - 105 d) 28540000= 2,854 - 10000000 = 2,854 - 107 e) 0,008 = 8-0,001=8- 10> f) 0,000023= 2,3-0,00001 =2,3- 10-5 g) 0,00076 = 7,6°0,0001=7,6-104 h) 0,000491= 4,91-0,0001 =4,91- 104 2. Schreibe als Dezimalbruch wie bei a). a) 2,8-10°= 2,8 - 1000=2800 b) 6,8-10°= 6,8 - 1000000 = 6800000 c) 7,9-10°= 7,9- 100000 = 790000 d) 8,91-10°= 8,91- 100000 =891000 e) 8-10-= 8+ 0,000001 = 0,000008 f) 7-105 7-0,00001 = 0,00007 8) 9.2. 10-%= 9.2: 0,000 00001 = 0,000 000092 h) 7,36-10-*= 736° 0,0001=0,000736 3 Ergiinze die Tabelle zu den Vorsatzen und deren Bedeutung. Zusatzaufgabe: Nenne jeweils ein Beispiel fiir eine GréBenangabe mit dem Vorsatz. individuelle Lésung Faktoren, mit denen die Einheit multipliziert wird Faktoren, mit denen die Einheit multipliziert wird Faktor Bedeutung — Vorsatz Faktor Bedeutung Vorsatz 10'=10 Zehn Deka (da) 10-'=0,1 Zehntel Dezi (d) 107= 100 Hundert Hekto (h) 10-7 = 0,01 Hundertstel | Zenti (c) 10° = 1000 Tausend Kilo (k) 10-> = 0,001 Tausendstel | Milli (m) 10° = 1000000 Million Mega (M) 10-6 =0,000001 Millionstel — Mikro (u) 10° = 1000000000 Milliarde Giga (G) 10-° = 0,000 000001 Milliardstel — Nano (n) 10!?= 1000000000000 Billion Tera (T) 10-? = 0,000 000000001 Billionstel Piko (p) 4 Erginze. a) a= lo 3 = 0,001 b) : 100000 Zehnerpotenzschreibweise 5 Ordne die Taschenrechnerangaben nach der GriBe. Beginne mit der kleinsten Zahl. 8*104-7 7.0-8 8.07 7*1048 : 7.8*1047 7+10-§ < 8+ 10-7 <7,8- 107<8-107<7- 108 6 Finde heraus, bei welchen Aufgaben dein Taschenrechner das Ergebnis automatisch mit abgetrennten Zehnerpotenzen angibt. individuelle Lésung Anwenden und Vernetzen 7 Ordne jeweils mit Linien zu. tausend Millionen Quadrillion (10)*= 10 eine Million Billionen Milliarde 10° - 10°= 10° die 4-te Potenz einer Million Billion 10°. 10°= 10'? tausend Trillionen Trilliarde 10° - 10'S = 1074 eine Million Millionen Billiarde 10- 10!?= 10" tausend Billionen Quinquillion (10°)5 = 10° Anzahl von Zehntausend Myriade 104 die 5-te Potenz einer Million Trillion 10°. 10!7=10'8 8 Eine Strecke ist ein Lichtjahr lang, wenn Licht zum Durchlaufen dieser Strecke ein Jahr bendtigt. Die Lichtgeschwindigkeit betriigt 3 - 10° in, Gib ein Lichtjahr in Kilometern an. 365,25 + 24+ 60- 60s = 31557 600s 31557600s:3-1054™ ~9,47-10!2km Ein Lichtjahr ist etwa 9,47 - 10!? km lang. 9 Um wie viel Zentimeter ist der aus Eisen erbaute Eiffelturm (300 m) an einem Sommertag bei 30°C héher als im Winter bei -15 Grad °C, wenn sich ein 1 m langer Eisenstab pro Grad Erwiirmung um 1,2- 10~ m ausdehnt? 1,2-10-5=0,000012 Die Temperaturdifferenz betriigt 45 Grad. 300m - 0,000 012 - 45 = 0,162 m = 16,2cm An einem Sommertag mit 30°C ist der Eiffelturm 16,2 cm hoher als bei einer Temperatur von -15°C. 16 Potenzen und Wurzeln Rechnen mit Potenzen Beim Rechnen mit Potenzen kénnen Potenzgesetze angewendet werden. Rechnen mit Potenzen mit gleicher Basis: Rechnen mit Potenzen mit gleichen Exponenten: a atsa"*" at :at'=Ge an" a b= (a- bys a:b = = (2 "= (a by Speziell gilt: a! =a; a°= 1 (a #0); @""=a""; a Hinweis: Die Variablen stehen fiir bestimmte Zahlen: m, n€ Z; a, be R, als Divisor a, b+ 0. Beispiele: 34. 3?=34+2= 3°=729 Beispiele: 3°-25= 6°=7776 24.22— 244+2= 76-64 53.23= (5+2)3=103= 1000 58: 54= 56-4= 52-25 #:5=(2)=08%= 0,512 4: d4= 43-4=41 0,25 53:23= (5:2)3 SP 625 > Auftrag: Ergiinze die Beispielrechnungen und berechne auch die Potenzwerte. Du kannst fiir den letzten Rechenschritt bei Bedarf den Taschenrechner benutzen. Trai ren Verbinde jeweils zwei zusammengehérende Terme miteinander. 53-203 20853 208: 204 eo)? 53:203 | 53-202 B 202 100° a 5- 1002 | 207 Berechne mithilfe der Potenzgesetze. Bestimme schlieBlich den Wert der Potenz. Lésungen: 545 sos (zum Abstreichen) a) 145-35= (14-3)5 =425= 130691232 -1977326743 b) 37-38. 3-5= 37#8+5) = 310 = 59049 —0,32768 0,1296 ©) (-7)*+ (7): (-7)2 = (-7)4*8*? = (-7)!! = -1977 326743 81 1000 d) 0,68: 0,64= 0,6°-4= 0,64 =0,1296 46 656 59049 e) (-2)8- 38:0,58= (-2-3-2)8 = (-12)8 = 429981 696 17210368 130691232 14, (1)4_ (9)4_ a4 f) (By: =[a/s3t=81 429981696 0,00017 - 1000003 = (10~4)° - (105)> = 10-7 - 10'S = 10° = 1000 & h 18: (317: 3%) = 18°: 3° = 6° = 46 656 i) (28°: 28°) -288 = 28°-9*§ = 285 = 17210368 i) €4)3-() = (2) =(-0,8)5 = -0,32768 Potenz—Wurzel 19 5 Bestimme den Wert der Potenz. Rechne ohne Taschenrechner. Forme so geschickt wie méglich um, dass das Ergebnis. leicht zu ermitteln ist. Denke dabei auch an die Radikanden der Wurzeln. Zur Kontrolle des Ergebnisses darf der Taschenrechner verwendet werden. b) (Veh = (V28P P= (V2) 6 Finde passende Beschriftungen der Dominosteine mit Potenzen und Wurzeln wie auf dem ersten Dominostein. Es kann mehrere Méglichkeiten geben, die aber alle gleichwertig sind. Vergleicht miteinander, ob das tatsachlich so ist. Schreibe mindestens zwei weitere Beispiele gefundener Beschriftungen unten auf. Anwenden und Vernetzen 7 Zahlenritsel a) Wenn man zu einer einstelligen natiirlichen Zahl zuerst 13 addiert und danach aus dem Ergebnis die Quadratwurzel zieht, erhalt man den Nachfolger der Zahl. Welche Zahl ist gemeint? 16 =4=3+1 Vx + 13 =x +1; Die Zahl kann nicht sehr grof sein, also Probieren: V3 + 13 Die gesuchte Zahl ist 3. b) Die vierte Wurzel aus dem Quadrat einer Zahl ist genauso groB wie sechs minus die Quadratwurzel der Zahl. Welche Zahl ist gemeint? Vix? = 6 - Vx; Vx =6- Ve; 20x = 6; Vx =3; x=9 Die gesuchte Zahl ist 9. 8 Das Volumen eines Wiirfels darf nicht gréBer als fiinf Liter sein, muss aber mindestens vier Liter betragen. Welche Kantenlingen in Zentimeter sind méglich? 5 1= 5000 cm; 5000 em: 7m (abrunden); 41 = 4000 cm; 4000 cm? = 16cm (aufrunden) Der Wiirfel darf Kantenlingen von 16cm oder 17cm haben. 20 Potenzen und Wurzeln Potenzfunktionen Grundwissen ¢ Die Funktionsgleichungen von Potenzfunktionen kénnen in der Form f(x) = ax" geschrieben werden. Dabei ist a eine beliebige Zahl (a ¥ 0). n sei eine ganze Zahl (n+ 0). ¢ Potenzfunktionen haben symmetrische Graphen. Bei den Graphen der Potenzfunktionen kénnen Symmetrieachsen oder Symmetriepunkte angegeben werden. * Graphen von Potenzfunktionen kénnen Asymptoten haben, das sind Geraden, denen sich der Graph nahert. ¢ Durch den Faktor a wird zusitzlich eine Streckung oder Stauchung gegeniiber dem Graphen von f(x) =x” in Richtung y-Achse bewirkt, auch zusitzlich eine Spiegelung an der x-Achse bei a< 0. ¢ Potenzfunktionen haben auch besondere Monotonieeigenschaften, wie zum Beispiel streng monoton wachsend oder streng monoton fallend. ¢ Der Exponent n erzeugt vier verschiedene Falle von Potenzfunktionen f(x) = x”, deren Graphen jeweils gemeinsame Eigenschaften haben. Yet, | 2 f@)= f 2B. f(x)= fsx > Auftrag: Schreibe jeweils ein Beispiel fiir eine Funktionsgleichung einer Potenzfunktion auf, die einen ahnlichen Verlauf des Graphen hat wie in der Skizze im Grundwissen. Trai eo Begriinde, dass die reinquadratische Funktion f(x) = 3.x? eine Potenzfunktion ist. z.B. Die Gleichung entspricht der allgemeinen Gleichung f(x) = ax" fiir Potenzfunktionen. Der Graph ist eine gestreckte Parabel. Ihr Aussehen ist dem linken Beispiel im Grundwissen fiir Potenzfunktionen ahnlich. Im Koordinatensystem sind die Graphen der Potenzfunktionen f(x) = x, f(x) =. und f(x) =x“ dargestellt. Ordne die Gleichungen entsprechend zu und gib besondere Punkte und weitere besondere Eigenschaften an. QI =#85 Pi CLI-Ds P01 0)5 Ps LID y symmetrisch zum Koordinatenursprung (0| 0) fiir alle x streng monoton steigend 4; P, (-1| 1)3 P, 0] 0); P(A] 1D) f= symmetrisch zur y-Achse; © streng monoton: fallend fiir x < 0; steigend fiir x >0 3; P,(-1|-1); P, (1| 1); symmetrisch zu (0| 0) o!* fiir alle x + 0 streng monoton fallend x-und y-Achse sind Asymptoten Potenzfunktionen 3 Kreuze ohne zusatzliche Hilfsmittel Zutreffendes zum Graphen der Funktion an. Zur Kontrolle darfst du einen Funktionenplotter verwenden. a) f(x)=2x!0 isteine Hyperbel ....... ist achsensymmetrisch zur y-Achse ...... x verliuft durch (1| 1)... . ist fiir x> 0 streng monoton wachsend .... >< b) fx) =0,5x7 isteine Hyperbel ....... x ist punktsymmetrisch zu (0|0) .......... verliuft durch (10,5)... >< ist fiir x> 0 streng monoton fallend ...... . x ©) f@)=5x7 ist eine Hyperbel . . - [X] ist punktsymmetrisch zu (0|0) .. [x] verkiuftdurch (5|1) .... | ist fiirx <0 streng monoton wachsend .... | d) f()=0,40 ist eine Hyperbel ....... ist achsensymmetrisch zur y-Achse ..... . x| | x| | verliuft durch (0/0)... . ist fiir alle x streng monoton wachsend ... . 4 Der Graph einer Potenzfunktion der Form f(x) = ax" verliuft durch die Punkte A (-1 | 3) und B(2|0,75). Welche konkrete Gleichung hat die Potenzfunktion? Schreibe auf, wie du die Werte erhiiltst. z.B. Bei x = -1 ist der besondere Punkt (-1| 1) der Funktion f(x) = x", also a = 3. f(x) =x" hat damit bei x = 2 den Funktionswert f (2) = 0,25 = t (0,75 : 3).2"= t gilt nur fiir n = -2, also hat die Funktion die Gleichung fc) =3x Anwenden und Vernetzen 5 Aus Wiirfeln, die 1,1 cm lange Kanten haben, kénnen wiederum Wiirfel zusammengesetzt werden. a) Ergiinze die Tabelle fiir die Folge der ersten Wiirfel. Li aincem 11 2,2 33 44 ie var We {| Vinem* | 1,331 | 10,648 | 35,937 | 85,148 Wh | b) Aus der Anzahl x der Wiirfel pro Kantenlinge und a 4 Tih 1 \ dem zugehérigen Volumen y in cm* wurden WA AMT Funktionsgleichungen gebildet. Kreuze an, welche Gleichung passt. f(x) = 1,123 f@=C,1x S(x)=1jlx- 1 lx- 1x [x] SQ)=1,33103 XK Jan hat die Funktion aus b) mit einem Funktionenplotter dargestellt. y Seine Mitschiilerin meint, dass das so nicht zu dem Sachverhalt mit den Wiirfeln passt. Wie kommt sie darauf? ¢ Fiir x = 1,7 zum Beispiel gibt es keinen Funktionswert. z.B. Es gibt nurx = 1, x =2,x =3 usw. Nur fiir x = 1, x = 2 usw. konnen Punkte im Koordinatensystem markiert werden, sodass keine Kurve als Graph entstehen kann. yal rx Wachstum und Exponentialfunktionen Wachstumsfaktor Bei der Untersuchung von Wachstumsvorgiingen werden auch Anderungen in Prozent betrachtet. Dies nennt man Wachstumsrate. Daraus ergibt sich der Wachstumsfaktor q. Beispiele: 1. Zunahme von 200 auf 212; Zunahme um 12, alsoum 6% auf 106% = 1,06 Wachstumsfaktor: g = 1,06 200 - 1,06= 212 2. Abnahme von 200 auf 180; Abnahme um 20, also um 10% auf 90% = 0,9 Wachstumsfaktor: g= 0,9 200 - 0,9 = 180 3. Zunahme von 300 auf 360; Zunahme um 60, also um 20% auf 120% = 1,2 Wachstumsfaktor: g= 1,2 300 - 1,2 = 360 4. Abnahme von 400 auf 300; Abnahme um 100, also um 25% auf 75% = 0,75. Wachstumsfaktor: g= 0,75 400 - 0,75 = 300 > Auftrag: Ergiinze die Beispiele 3 und 4 entsprechend der Beispiele 1 und 2. Trainieren Bestimme den Wachstumsfaktor und iiberpriife mit einer Rechnung. a) Anderung von 3200 auf 2400 Abnahme um 800; 800 von 3200 sind 25% ;Abnahmeum 25 %auf 75 %;q= 0,75; 3200-°0,75 = 2400 b) Anderung von 840 auf 1092 Zunahme um 252; 252 von 840 sind 30%; Zunahme um 30% auf 130%; q =1,3; 840-1,3= 1092 c) Anderung von 150 auf 123 Abnahme um 27; 27 von 150 sind 18%; Abnahme um 18% auf 82%; q =0,82; 150- 0,82 = 123 d) Anderung von 6800 auf 7140 Zunahme um 340; 340 von 6800 sind5%; Zunahme um 5% auf 105%; g = 1,05; 6800- 1,05=7140 e) Anderung von 6 auf 6,09 Zunahme um 0,9; 0,9 von 6 sind 1,5%; Zunahme um 1,5% auf 101,5%; q = 1,015; 6-1,015=6,09 ‘Von einem Wachstumsvorgang sind der gleichbleibende Wachstums faktor und der Wert G, bekannt. Gib an, ob eine Zunahme oder Abnahme vorliegt. Bestimme den Ausgangswert Gy und den Folgewert G,. a) q=1,2; G,=660€ Zunahme Gy= 660 €: 1,2 = 550 € G,= 660 €-1,2=792 € b) g=1,05; G,=336g Zunahme Gy= 336 ¢:1,05 =320¢g G,= 336€-1,05 = 352,82 ¢) g=0,8; G,=48 cm Abnahme Gy= 48cm: 0,8=60cem G,= 48cm -0,8 = 38,4 cm d) g=2,4; G,=30h Zunahme Gy= 30h:2,4=12,5h G,= 30h+2,4=72h e) q=0,2; G,=13,50€ Abnahme Gy= 13,50 € : 0,2 = 67,50 € G,= 13,50 €-0,2=2,70 € f) g=1,2:G,=0,5h Zunahme Gy= 30min : 1,2 = 25 min G,= 30min: 1,2 = 36 min Wachstumsfaktor 3 Ein Wachstumsvorgang erfolgt mit gleichbleibender Wachstumsrate p%. Gib an, ob eine Zunahme oder Abnahme vorliegt. Gib den Wachstumsfaktor an. Bestimme aus dem Ausgangswert Gy drei weitere Folgewerte. a) p%=5%; Gy=20€ Zunahme q= 1,05 G= 20 €-1,05=21€ G,= 21 €-1,05 = 22,05 € G,= 22,05 €- 1,05 = 23,15 € b) p%=0,5%; Gy =800€ Zunahme qz= 1,005 G,= 800 €- 1,005 = 804 € G,= 804€- 1,005 = 808,02 € G,= 808,02 €- 1,05 = 812,06 € ) p%=-4%; Gy=30€ Abnahme q= 0.96 G,= 30 €- 0,96 = 28,80 € G,= 28,80 €- 0,96 = 27,65 € G,= 27,65 €- 0,96 = 26,54 € d) p%=-0,5%; Gy=200€ — Abnahme q= 0,995 G,= 200 €- 0,995 = 199 € G,= 199€-0,95 = 198,01 € G,= 198,01 €- 0,995 = 197,02 € Anwenden und Vernetzen 4 Eine Strecke von 4cm Linge wird immer um ein Viertel ihrer Lange verlingert. a) Bestimme die Wachstumsrate und den Wachstumsfaktor. Lange in em 14. p%=25%3q=1,25 b) Fille die Tabelle fiir die ersten fiinf Verlingerungen aus. 12: x Gib gegebenenfalls auf Millimeter gerundete Lingen an. Verliingerung oO 1 2 3 | 4 | 5 | 46 x Streckenlingeincm 4 | 5 6,3 87,8 =9,8 ~12,2 8 ¢) Stelle die Werte der Tabelle in dem Diagramm rechts dar. 6: Kannst du die Punkte miteinander verbinden? Begriinde. va 4K Nein, nach der Wachstumsvorschrift diirfen die Punkte nicht miteinander verbunden werden. 2 Verlingerung 0 1 4 5 6 d) Klare, obes sich bei dem Wachstum um lineare Zunahme handeln kann. Es kann sich nicht um lineare Zunahme handeln, weil die Punkte nicht auf einer durchgingigen geraden Linie liegen. e) Welche Linge wird die achte Verliingerung der Strecke haben? Findest du einen Term, mit dem du jede beliebige Verlingerung berechnen kannst, zum Beispiel die dreibigste? 4em 1,25 -1,25-...(8-mal) = 23,8cm fiir x Verlingerungen: 4 cm: 1,25 x; 4 em: 1,25* = 3231,2 em 26 Wachstum und Exponentialfunktionen Exponentielles Wachstum Bei exponentiellem Wachstum andern sich in gleichen Einheiten aufeinanderfolgende Werte um den gleichen Faktor g. Ist g> 1, ergibt sich exponentielle Zunahme, ist 0 < q< 1, ergibt sich exponentielle Abnahme. Exponentielles Wachstum kann mithilfe einer Gleichung beschrieben werden: G,, = Gy -q”. Gy ist der Ausgangswert zu Beginn des Wachstumsprozesses.. Beispiel: Von vier Packungen Paprika wird jeden Tag die Hiilfte verbraucht. Der Zusammenhang ist in dem Diagramm dargestellt. Es ist eine exponentielle Abnahme Tage 0 1 2 3 4 5 Packungen 4 2 1 0,5 | 0,25 | 0,125 Gleichung: n: Tage; q= 0,5 G,= 4-05 > Auftrag: Ergiinze fehlende Angaben im Beispiel. Trainieren In den Zuordnungen soll exponentielles Wachstum mit jeweils gleicher Zunahme bzw. Abnahme erfiillt sein. @ exponentielle Zunahme @® exponentielle Abnahme n 0 1 2 4 5 7 n 0 1 2 3 4 5 G, 0,5 1 2 8 16 64 G, 5 1 0,02 | 0,04 | 0,008 |0,0016) Gleichung: G,= 0,5 +2" Gleichung: G, = 5-0,2" @® exponentielle Zunahme @ exponentielle Abnahme n 1 3 4 5 n 1 4 5 6 G, 2.4 3,456 4,1472 | 4,97664 G, 1 0,125 0,0625 0,031.25 Gleichung: G,= 1,2” Gleichung: G,=2- 0,5" a) Gib zuniichst an, ob exponentielle Zunahme oder Cu exponentielle Abnahme vorliegt. y 3 b) Ergiinze in den Tabellen die fehlenden Werte und 4 vervollstindige die Gleichungen. 2 c) Im Diagramm sind Graphen exponentieller 3 Zuordnungen dargestellt. Welche Tabelle passt zu welchem Graphen? 2 Schreibe die Nummer jeweils an den Graphen. Exponentialfunktionen 3 Im Winter wird eine Thermoskanne mit 80°C heiBem Tee versehentlich drauBen vergessen. Stiindlich nimmt die Temperatur des Tees in der Kanne um etwa 10% ab. a) Kreuze zuerst die passende Funktionsgleichung an. ¥ Gib danach die praktische Bedeutung der Variablen an. 110. (fx) =80- 10" f(x) = 80-11 100. Sé) FOX) = 80- 0,9" Fix) =80-0,1" 90 80: xsteht fiir die Anzahl der vergangenen Stunden. 70 60: ysteht fiir die jeweilige Temperatur des Tees. 50. | 40 b) Erstelle eine Wertetabelle und skizziere dazu den Graphen. 30 iB. 20 x 0 4 8 12 16 10. Sf) 80 52,49 | 34,44 | 22,59 | 14,82 0 123 4 56 7 8 9 1011 1213 * c) Finde heraus, nach wie vielen Stunden der Tee eine Temperatur von unter 10°C hat. Anwenden und Vernetzen 4 Salmonellen sind stibchenférmige Bakterien, die bei Menschen und Tieren Krankheiten verursachen. Sie kénnen unter anderem bei Eiern und in Gefliigelfleisch vor- kommen. Bei sommerlichen Temperaturen verdoppelt sich die Anzahl der Salmonellen etwa alle 20 Minuten. Eine Speiseprobe enthielt zu Beginn der Untersuchung rund 160 Bakterien. nach etwa 20 h (9, Zeit in min -80 -60 -40 -20 0 +20 +40 +60 +80 Generation vor und nach der 4 3 2 “1 0 41 42 3 44 Untersuchung Anzahl der Salmonellen 10 20 40 80 160 320 640 1280 | 2560 a) Ergiinze die Tabelle und veranschauliche die Werte im } Koordinatensystem. / b) Stelle eine passende Funktionsgleichung auf. 2500: Gib danach die praktische Bedeutung der Variablen an. ] 2.000 y= 160-2" / +500. xsteht fiir die Anzahl der Generationen. i ysteht fir die jeweilige Anzahl der Salmonellen. 1.000. c) Ermittle, vor wie vielen Stunden die ersten beiden 500 Salmonellen in die Speiseprobe gekommen sein kénnten. | Es kann vor etwas mehr als zwei Stunden gewesen sein. 0 1 > 3 ¥ d 3 aera Angenommen, es liegt lineares Wachstum vor, bei dem pro Generation 160 Bakterien hinzukommen. Zeichne den passenden Graphen in das Koordinatensystem ein. Gib die zugehérige Funktionsgleichung an. y= 160x +160 30 Wachstum und Exponentialfunktionen Logarithmus und Logarithmusfunktion Ist bei einer Potenz der Exponent unbekannt, wird ein Logarithmus Beispiele: berechnet: a’ =c; log,c=b;a>0;a#1;c>0 4° = 64; log, 64=3 (sprich: Logarithmus c zur Basis a) = yt Ist die Basis 10, also 10” = c, wird der ,,dekadische“ Logarithmus Se aed berechnet und man schreibt lg c= 5. log, 64= eee oe 3 Jeder beliebige Logarithmus kann mit dem dekadischen Logarithmus berechnet werden: log, c=/8£ log, 100 = 1g100 = 4,19 Iga" Das kann genutzt werden, um mit dem Taschenrechner beliebige Logarithmen berechnen zu kénnen. (Auch wenn bei Modellen ,.log“ auf der Taste steht, wird nur ,,lg¢“ berechnet.) Die Logarithmusfunktion f(x) = log, x ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion f(x) = a*. Sie hat deshalb die y-Achse als Asymptote und verlauft fiir alle x (x > 0) streng monoton steigend bei a > 1 und streng monoton fallend bei a < 1. > Auftrag: Berechne den Logarithmus im Beispiel des Grundwissens. Runde an der Hundertstelstelle. Beschrifte im Koordinatensystem die Graphen richtig mit den Gleichungen f(x) = log, x und f(x) = logo 5 x. Trainieren 1 Schreibe in die zweite Zeile der Tabelle darunter, welche Zahl fiir x richtig einzusetzen ist. 10*= 1000 10*=0,01 2*=16 S*= 125 3*=1 2*=0,25 0,5*= 0,125 3 2 4 3 0 2 3 2 Schreibe die Gleichung entweder in Logarithmenschreibweise oder in Potenzschreibweise. a) 34=81 log, 81=4 b) 6=216 log, 216 =3 c) 45=1024 log, 1024 =5 d) log,16=2-42=16 e) log, 2401=4 = -74= 2401 f) logy32728=5 — 85=32728 g) 10'=10000 1g 10000=4 h) 105=1000 lg 1000 =3 i) 10°=1 Ig 1=0 j) Ig 100=2 00 k) 1g0,001=-3 —10= 0,001 j) Ig 100000=5 3 Bestimme den Logarithmus ohne Taschenrechner. Die Ergebnisse sind ganze Zahlen. Zur Kontrolle kannst du den Taschenrechner verwenden. Wie machst du das? Es gibt verschiedene Méglichkeiten. a) log, 64= 6 b) log, 243 ¢) log, zr d) log,625= 4 e) log, 343= 3 f) logy p= 2 g) lg 1000000= 6 h) 1g 0,00001 = —5 ) keys Kontrolle zum Beispiel, indem iiber die Potenzschreibweise nachgerechnet wird, ob das stimmt. Kontrolle auch mithilfe des Quotienten aus den entsprechenden dekadischen Logarithmen. Logarithmus und Logarithmusfunktion 4 Berechne mit dem Taschenrechner. Runde das Ergebnis an der Tausendstelstelle. a) Ig300= 2,477 b) 1g46= 1,603 o) Igz= -0.477 d) log,45= 2,746 e) log, 120= 4,358 f) logs b= -1,723 g) log, 100000= 5,537 h) log, 0,001 = —4,983 i) log, 7h= ~2,096 5 Aus dem Graphen einer Logarithmusfunktion f(x) = log, x kann sehr schnell die zugeh6rige Funktionsgleichung abgeleitet werden. Wie geht das? Teste gegebenenfalls mit einem Funktionenplotter oder schau in die Darstellung der Funktionsgraphen im Grundwissen. z.B. Man liest fiir y = 1 den zugehdrigen x-Wert > 1 ab, z. B. 2. Das bedeutet x = a! = 2, alsox =a=2 und somit f(x) = log, x. Gibt es nur fiir y = —1 einen zugehGrigen x-Wert > 1,z.B. 5, dann gilt x =a'=5, also a=4=0,2 und somit f(x) = log,.x. Anwenden und Vernetzen 6 Logarithmusfunktionen kénnen wie quadratische Funktionen im Koordinatensystem verschoben oder x auch durch Faktoren verindert werden. | 7 | In dem Koordinatensystem rechts wurden sechs Oo Logarithmusfunktionen dargestellt. Es sind aber nur 2 _ fiinf Graphen zu sehen. Finde heraus, welche 1 Loe Logarithmusfunktionen dargestellt sind. S 8 = # Hinweis: Wie bei quadratischen Funktionen erfolgt al i eine Verschiebung entlang der y-Achse durch einen -2 Se Wert nach dem Funktionsterm (f(x) = log, x + c) und eine Verschiebung entlang der x-Achse durch einen 4. | Wert im Funktionsterm (f(x) = log, (x — b)) O Sf) =log,x ® f&)=logya5x ® fle) = log) 95 +2 @ f(x) =log, (x-3) ® f(x) =log,x oder f(x) =2log,x oder f(x) = 3 logy x oder f(x) = 4 logy, x... 7 Bakterienkulturen a) Eine Bakterienkultur mit 100 Bakterien vermehrt sich tiiglich um 20%. Nach wie vielen Tagen hat sich die Anzahl der Bakterien ungefihr verdreifacht? zB. Bakteridnahzabl am Anfang: By Bakteri¢nahzahl nach n Tagen: B,, tdgliche Vermehrung: g=12 B= By 11,2"; 1,2" =B,,:B,=3; n= log, 13 = 6,03 |] Nach fast genau sechs Tagen hat sich die Bakterienanzahl verdreifacht. b) Es gibt Bakterien, die sich halbstiindlich auf das Doppelte vermehren. Nach drei Stunden sind bereits 1920 Bakterien vorhanden. Wie viele Minuten dauert es, bis es ca. 3840 Bakterien geworden sind. Es dauert nur noch eine Generationszeit (Verdopplung), also eine halbe Stunde, denn 3840 = 2 - 1920. 34 Trigonometrie Streckenberechnungen mit Sinus, Kosinus und Tangens Sind in einem rechtwinkligen Dreieck ein spitzer Winkel und eine Seitenlinge bekannt, k6nnen mit den trigonometrischen Beziehungen die anderen Seitenlangen berechnet werden. So kénnen auch Berechnungen tiber rechtwinklige Teildreiecke durchgefiihrt werden. Cc Beispiel: Ein Rechteck hat die rechts skizzierten Eigenschaften. Berechne den Flicheninhalt des Rechtecks. 4& Yi Ee & b cos a) = £; cos 30° = wom? a= cos 30°-7 cm = 6,06 cm Atn=30 fl F b= sin30°-7cm sin a, 5cm Flicheninhalt: A =a-b = 6,06 cm: 3,5 cm; A = 21,21 cm? > Auftrag: Vervollstindige das Beispiel und bestimme damit den gesuchten Flicheninhalt des Rechtecks. Trainieren 1. Berechne die Linge der blau markierten Strecke. a) b) ¢) 64cm PB 2, s Sy * g LN Z0\ 7,7c0m cos 42° = 50 cos 21° = tan 23° =_8_ cm. cm. 6.4m x=30em-cos 42° = 2,2 cm b=7,7 em: cos 21° =7,2em g =6,4 cm: tan 23° = 2,2cm d) f) 5,8cm SN & 3 “ cos 58° = 30m sin 49° = 97" ¢=3 em: cos 58° =5,7cm y =6,7 cm: sin 49° = 8,9 cm 2 Im Beispiel im Grundwissen hiitte nach der ersten Teilrechnung, in der die Lange der Seite a berechnet wurde, ein anderer Rechenweg weitergefiihrt werden kénnen. a) Es hiitte eine andere trigonometrische Beziehung genutzt werden kénnen. Finde diesen anderen Rechenweg und untersuche, ob du auf das gleiche Ergebnis kommst. tan a= 5 tan 30°% — 3 b= tan30° -6,06 cm =3,50 cm a. 6,06 cm. A=a-‘b=6,06cem-3,5em; A= 21,21 em? Das Ergebnis ist unverandert. b) Es wiire keine andere trigonometrische Beziehung nétig gewesen, sondern der Satz des Pythagoras anwendbar. Ergibt sich auch mit diesem Rechenweg das gleiche Ergebnis? b?=e?-a?; b?=(7em)?-(6,06em)*; b? = 12,2764em*; b= 3,50 em A=a-‘b=6,06cem-3,5em; A= 21,21 em? Das Ergebnis ist unverandert. Streckenberechnungen mit Sinus, Kosinus und Tangens 35 3 Fiille die Tabelle aus. Rechne gegebenenfalls nétige Nebenrechnungen auf einem extra Blatt. a) Jede Zeile der Tabelle steht fiir ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit y= 90° (siehe Skizze). a db a a B Y 4cm 3cm Sem 53° 37° 6 cm? 3,3em 7,3¢m 8cm 24° 66° 11,9 cm? A 2,1em 9.7. cm 9,6cm 12,5° 77,5° 9,8 cm? b) Jede Zeile der Tabelle steht fiir ein gleichschenkliges Dreieck ABC (siehe Skizze). Hinweis: Nutze zur Berechnung des Flicheninhalts des Dreiecks die Besonderheit, dass die Katheten gleichzeitig auch Grundseite und zugehérige Hohe des Dreiecks sind. a Cc a Y h, A e Cc 45cm 69cm 40° 100° 2,9¢em 10,0 cm? b a 2,3 em 1,9 cm 65° 50° 2,1em 2,0 em? Za (BN, 3,5em 4cm 55° 70° 2,9 cm 5,7 em? c 4 Berechne den Flicheninhalt des Parallelogramms (siehe Skizze). h d=b=7em; sin60° == “—; h,=7cem: sin60° = 6,1 em m2 a Azach,; A=48,5cm? Anwenden und Vernetzen 5 Voneinem Haus wird in 27 m Hohe ein etwas entfernt stehendes d Haus (siehe Skizze) angepeilt. 1a?) a Mithilfe der zwei gemessenen Tiefenwinkel kénnen die Entfernung und die Héhe des anderen Hauses ermittelt werden. a) Bestimme diese Liingen. Hinweis: Ergiinze die Skizze geeignet, um mithilfe von rechtwinkligen Dreiecken die Lingen ermitteln zu kénnen. “B"UE"E"E 27m +++ z.B. Hausentfernung: d; Héhendifferenz: x h o ° Oo tan 24,4° =27™ ; d= 27m: tan 24,4° = 59,5m OW i ° h=27m-x; tanl4°=52—; x=148m; h=12,2m Das andere Haus ist ca. 59,5 m entfernt und ca. 12,2 m hoch. b) Angenommen, bei der Messung der Winkel ist eine Abweichung von 1° entstanden. Welche Auswirkungen hat das. zum Beispiel auf die Entfemung der beiden Hauser? Was meinst du dazu? z.B. Hausentfernung: d; tan 23, d= 27m: tan 23,4° = 62,4m; 62,4m -59,5m=2,9m tan 25,4° =27m 3 d=27m: tan 25,4° = 56,9m; 59,5 m - 56,9 m=2,6m Es ergeben sich durch den Messfehler Abweichungen von 2,6 m bzw. 2,9 m. z.B. Bei einer Entfernung von fast 60 m bedeuten ca. 3 m eine Abweichung von 5%. Das ist okay. 36 Trigonometrie Winkelberechnungen mit Sinus, Kosinus und Tangens Sind in einem rechtwinkligen Dreieck zwei Seitenlingen bekannt, kénnen mit den trigonometrischen Beziehungen die GréSen der Winkel berechnet werden. So kénnen auch Berechnungen iiber rechtwinklige Teildreiecke durchgefiihrt werden. Beispiel: Ein Rechteck ist 6 cm lang und 4 cm breit. D G Wie grof ist der gréBere Winkel ¢, unter dem sich die Diagonalen schneiden? Yi) & 3 6 0 + tany,=4; tany,=2= 1,5; y, = 56,3 ul b i i V1 s es 2+y,=2+56,3°5 = 112,6° Ae Gz6em—B Die Diagonalen des Rechtecks schneiden sich unter dem gréSeren Winkel 112,6°. > Auftrag: Vervollstindige das Beispiel und bestimme damit den gesuchten Schnittwinkel. 1 Berechne die Gréfe des blau markierten Winkels. a b) ¢ ) ) 12cm ) 96cm 5 Sem ary 7 x. ® 3 % cos a = 28 = in y= 4:7 = 0,4 cos @= 75 =0,8 sin y=5 6 = 90,4896 a= 36,9 y= 29,3° d) e) 12em i) 5 3 “a a % % ® %.6cem . an ga —2. tan a= sin B= 75% 0,5833 tany=37= 2,0426 a= 26,6° Bx 35,7° y= 63,9° 2 Fiille die Tabelle aus. Rechne gegebenenfalls nétige Nebenrechnungen auf einem extra Blatt. Jede Zeile der Tabelle steht fiir ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit y= 90° (siehe Skizze). Hinweis: Nutze zur Berechnung des Flacheninhalts des Dreiecks die Besonderheit, dass die Katheten gleichzeitig auch Grundseite und zugehérige Héhe des Dreiecks sind. a b c a B A 4cm 45cm 6cm 41,8° 48,2° 8,9 cm? 6,1cem 5.2cm 8cm 49,5° 40,5° | 15,8cm? 38cm 94cm 10,1em 22° 68° 17,9 em? Sinussatz und Kosinussatz 3 Berechne die fehlende Seitenlinge mithilfe des Kosinussatzes. a? = (6 cm)? + (7 cm)?-2 +6 cm+7 cm: cos 46° = 26,65 em? a=5,16cm b? = (7 cm)? + (3. cem)?-7 em +3 cm «cos 100° = 65,29 em? a=8,08 cm 4 Berechne die drei Winkelgré8en mithilfe des Kosinussatzes. a Zusatzaufgabe: Priife mithilfe der Innenwinkelsumme von B <i Dreiecken, ob deine Ergebnisse stimmen kénnen. _individuelle Lésung a36 Cc (6em)? = (4em)? + (6cm)7- 2-4 em- 6 em: cos @ (4.cm)? = (6 em)? + (6 em)7-2-6 em: 6 em + cos 6 2. em? — 48 em? ‘cos a |-52¢m? 16 cm? = 72 em?- 72 cm? ‘cos 6 |-72 em? -16 em? = -48 cm? } cos @ |: (48 em?) 56 em? = -72 cm? {cos B |: (-72 em?) 0,33 = cos a «= 70,53° und y= 70, 0,78 = cos B B= 38,94° ENaC Tre NYS 4) 5 Flora ist auf dem Leuchtturm Westerheversand. Deniz und Yasmin stehen auf der Eingangshohe des Turms. Sie sind etwa 100m voneinander entfernt. Flora sieht beide in einem Sichtwinkel von ca. 10°. Deniz sieht Flora in einem Sichtwinkel von ca. 10°. Er schitzt, dass der Leuchtturm Westerheversand 25 m hoch ist. Yasmin sieht Flora in einem Sichtwinkel von 20°. Sie schiitzt, dass der Leuchtturm Westerheversand 40 m hoch ist. Werschiitzt besser? Hinweis: Die Skizze ist nicht maBstabsgetreu. zB. 00m | an 10°= sin 10 x= 100m in2°s Be: Ti |. sip2q? = 100m x=34m (iiber Augenhidhe) Yasmin schitzt besser. 6 Berechne alle fehlenden Seitenlingen und WinkelgréBen. Schreibe die Ergebnisse an die Skizze. Hinweis: Die Skizze ist nicht maBstabsgetreu. zB. 6= 180° — 90° = 90° (Nebenwinkelsumme) y= 180° — (90°+ 507) =|40° (Innenwinkelsumme) EiS307 9] f 40° (Basiswinkel) 180° — (90°+/405) = 50° (Innenwinkelsumme) n= 180° -2+50° =80° (Nebenwinkelsumme) B= 180° — (80°+ 259) = 755 (Innenwinkelsumme) =11,65cem (Sinussatz) i=114em f=7,66em (nheiBt,,eta, CheiBt ,,zeta‘*) 39 40 Trigonometrische Funktionen Sinusfunktion Pist ein Punkt auf dem Einheitskreis. aist der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der vom Ursprung durch P geht. Die Funktion, die jedem Winkel aden Wert y=sin @zuordnet, heift Sinusfunktion. Beispiele: sin 90°= 1 sin 180°= 0 > Auftrag: Ergiinze die Beispiele. Trainieren 1 Einheitskreis und Sinusfunktion a) Vervollstindige mithilfe der Zeichnung die Tabelle. Zeichne fiir sin a entsprechende Strecken ein und lies die Werte ab. 90° fins Lf [/ aa Loar Peeueey Pett cceeaarr| 1LE 0° aim Grad- mab 0° 10° 20° 30° 50° 60° 70° 80° b) Skizziere die Sinusfunktion y = sina mithilfe der Teilaufgabe a) im vorgegebenen Koordinatensystem. fix)=sine 0,64 0,77 0,87 0,94 0,98 90° oe 450° oe 810° a Sinusfunktion 8 3 Gib vier zu dem Funktionswert passende WinkelgréBen an. Hinweis: Nutze die Zeichnungen bei Aufgabe 1. Zusatzaufgabe: Notiere rechts eine allgemeine Regel zum Berechnen der WinkelgréBen. 3) vn 90° =l sin 450° =1 sin 810° =l sin 1170° 1 90° +n + 360° (ne Z) b) sin 270° =-1 sin 630° =-1 sin 990° =-1 sin 1350° =-1 270° ++ 360° (neZ) c) sin oe =0 sin 180°" =0 sin 360° =0 sin 540° =0 n-+180° (neZ) d) sin 30° =0,5_— sin 150° =0,5 sin 390° =0,5 sin 510° =0,5 90° + 60° + -360° (neEZ) 3 Gegeben ist der Graph der Sinusfunktion. Ergiinze zu einer vollstandigen Darstellung im Koordinatensystem. a) b) a =180° 0 AP 0 “\ =I =1 Anwenden und Vernetzen AP 4 Ein Feuerwehrfahrzeug hat eine 35 m lange Drehkorbleiter. Diese ist in einer H6he von 1,60 m angebracht. Die Drehleiter wird bis zu einem Winkel von 45° aufgerichtet und dann voll ausgefahren. a) Veranschauliche zuniichst den Sachverhalt mithilfe einer Skizze. b) Kann mit dieser Leiter eine Person aus einer Héhe von 25 m gerettet werden? ‘Wenn ja, was ist dabei zu beriicksichtigen? 75m 24,75 m + 1,60 m=26,35m Da 26,35 m gréfer als 25 m sind, ist das méglich. Es muss beachtet werden, dass der Fuf der Leiter von der Rettungsstelle nicht zu weit entfernt ist. c) Fiir die unterschiedlichen Aufstellwinkel der Leiter ergeben sich verschiedene gré&tmégliche Rettungshohen. Vervollstindige die folgende Wertetabelle. Aufstellwinkel 0° 5° 10° 15° 20° 25° 30° 35° 40° 45° groBte Rettungshéheinm | 1,60 | 4,65 | 7,68 | 10,66 | 13,57 16,39 | 19,1 | 21,68 24,10 | 26,35 d Inc) liegt ein funktionaler Zusammenhang mit dem Sinus vor. Versuche, aus b) und deinen Berechnungen in c) eine Funktionsgleichung zu erstellen, mit der fiir beliebige mégliche Winkel die gré8tmégliche Rettungshéhe berechnet werden kann? Berechne verschiedene Werte. f(@ = 35 m-sina+1,6m z.B.f(12°) = 35 m:sin 12° + 1,6 m= 8,88 m;_f(33°) = 35 m- sin 33° + 1,6 m= 20,66 m e) Der Fub der Drehleiter steht 16 m von der Rettungsstelle entfernt. Wie kannst du schnell angeben, welche gréBt- mégliche Rettungshéhe erreicht werden kann? Durch 45° Aufstellwinkel ist das Dreieck gleichschenklig, also ist die Rettungshéhe maximal 16 m. Ce Trigonometrische Funktionen Form- und Lageanderung der Sinusfunktion Der Graph von Funktionen der Form Beispiel: f@)=a-sinbx+c (a#1,b#1:c#0) unterscheidet sich vom Graphen der Funktion g(x) =sin(x). Die Parameter a, b und c verursachen folgende Verinderungen. | g@)=sinx h(x)=-1Ssinx — i(x)=-1,Ssin0,5x k(x) = 1,Ssin2x oN — a bewirkt die Streckung (a > 1) oder Stauchung (0<a< 1)in Richtung der y-Achse 5 Fiir a < 0 wird der Graph zusitzlich an der x-Achse gespiegelt. — b bewirkt die Streckung (0 < b< 1) oder Stauchung (b> 1) in Richtung der x-Achse . Fiir b < 0 wird der Graph zusitzlich an der y-Achse gespiegelt. — c bewirkt die Verschiebung um cin Richtung der y-Achse. > Auftrag: Ergiinze die Sitze mit der Richtungsangabe. Trainieren Gegeben sind Graphen von Funktionen der Form f(x) =a - sin bx +c. Vervollstindige die Tabelle und beschrifte die Graphen. Einfluss der Streckung oder Stauchung Spieselung an der Verschiebung Parameter in Richtung der ... Pregetung ~ in Richtung der ... Funktions- gleichungen x-Achseum y-Achseum x-Achse y-Achse = x-Achseum__y-Achse um g(a) =3sinx 1 3 | Nein | Nein 0 0 h(x)=sin2x-2 ; 1 | Nein | Nein 0 -2 k(x) =-sinx+2 1 1 Ja Nein 0 2 i(x) = 5 sin(—0,8x) +1 1,25 ; Nein Ja 0 1 Form- und Lageanderung der Sinusfunktion ut 2 Kreuze die passenden Funktionsgleichungen an. Zusatzaufgabe: Zeichne die Graphen mit dynamischer Geometriesoftware. a) Der Graph der Sinusfunktion ist um 5 nach unten geschoben. fx) =5+sinx x g@)=sinx-5 A(x) =sinx+5 i(x) =sin 5x b) Der Graph der Sinusfunktion ist um 6 nach oben geschoben. SM fla) =sinx+6 g(x)=sinx-6 h(x) =sin(x- 6) >< i(x) =sin 6 +x c) Der Graph der Sinusfunktion wurde in Richtung der y-Achse aut gestaucht. X f@)=4-sinx (| g@)ssin dx (| h@)=7-sinx (iG) =sin 7x d) Der Graph der Sinusfunktion wurde zuerst an der x-Achse und danach an der y-Achse gespiegelt. Sg) f(x) =-sin(—x) g(x) =-sinx h(x) =sin(-x) S<) iQ) =sin x Anwenden und Vernetzen 3 Im folgenden Diagramm ist die Bewegung des Pendels einer Uhr dargestellt. Vor der ersten Schwingung befindet sich das Pendel in der Mitte in Ruhestellung. Ausschlag in cm 4 RENE. ERENEY SERED ILE 8 Zeit in Sekunden a) Wie grof ist der Abstand zwischen den Maximalausschliigen? Der Abstand zwischen den Maximalausschligen betriigt 16cm (3 Sekunden). b) Wie viele Schwingungen finden pro Stunde statt? Eine Schwingung (von links nach rechts und zuriick) dauert 6 Sekunden. 3600s : 6s = 600 In einer Stunde finden 600 Schwingungen statt. 4 Ergiinze die entsprechenden Funktionsgleichungen. Hinweis: Skizziere die Graphen der Funktionen auf einem zusitzlichen Blatt Papier oder mit dynamischer Geometriesoftware. Der Graph der Funktion Der Graph der Funktion A(@=x... k(x) =sinx... wurde an der x-Achse gespiegelt hy(x) ° ky (x) =-sinx zB. wurde an der y-Achse gespiegelt hy (x)= k, (x) =sin(@e-) wurde zuerst an der x-Achse und he (x) =-x2 k(x) =si danach an der y-Achse gespiegelt 130) = a= sine wurde in y-Richtung um —5 verschoben hy@= k(x) =sinx -5 wurde in y-Richtung um 4 verschoben fn; (x) =x? +4 kg(x) =sinx +4 wurde in y-Richtung mit 2 gestreckt glx) =2 keg(s) =2sinx-7 und um —7 in y-Richtung verschoben 46 1 Trigonometrische Funktionen Kosinusfunktion und deren Form- und Lageanderung Wie bei der Sinusfunktion kénnen aus Kosinuswerten funktionale Zusammenhange dargestellt werden. Fiir die Darstellung im Koordinatensystem ist die Verwendung des Bogenmabes sinnvoll. Es ergibt sich die Funktionsgleichung f(x) = cos x. Auch die Kosinusfunktion kann durch Parameter veriindert werden: f@)=a-cosbx+c; a#1; b#1; c#0 Durch eine Verschiebung in Richtung der x-Achse hat die Sinusfunktion den gleichen Verlauf wie die Kosinusfunktion: f (x) = cos x entspricht f(x) = sin (x + 3) Der Graph Sinusfunktion wird um BI nach links verschoben und fallt mit dem Graphen der Kosinusfunktion zusammen. > Auftrag: Stelle die Sinusfunktion und ihre Verschiebung mithilfe eines Funktionenplotters dar und beschreibe die Veriinderung im Zusammenhang mit der Kosinusfunktion. Trai Gao Im Koordinatensystem ist die Sinusfunktionen f(x) = sin x dargestellt. y flx)=sinx flx)=cosx _ Zt = 2 ele -1 © Ergiinze die Beschriftung der x-Achse mit Vielfachen von n. © Zeichne in das gleiche Koordinatensystem auch die Kosinusfunktionen f (x) = cos x. Um das genauer zu schaffen, gibt es Schablonen. @® Aufeinigen solcher Schablonen gibt es aber auch Vorlagen, um zum Beispiel f (x) = 0,5 cos x darstellen zu k6nnen. Zeichne auch diese Kurve in das Koordinatensystem. 2 Nenne mindestens zwei Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Kosinusfunktion f(x) = cos x und Sinusfunktion f(x) =sinx. Gemeinsamkeiten: z.B. Definitionsbereich: IR; Wertebereich: -1 </f(x) <1; Periode: 21 (360°) Beide ergeben sich aus dem Einheitskreis; Beide sind Winkelfunktionen. Unterschiede: z.B. Der Graph der Kosinusfunktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse, die Sinusfunktion ist punkt- symmetrisch zum Koordinatenursprung; Die Sinusfunktion hat Nullstellen bei k - x(k € Z). Die Kosinus- funktion hat Nullstellen bei k Fk eZ). Tests Kapitel Quadratische Gleichungen Kreuze jeweils alle Lésungen der quadratischen Gleichung an. a) &=9 “x -3 -1 0 [ji xX} 3 b) P=-9 -3 -1 0 [ji 3 c) -4=0 x) -2 -1 0 cil x} 2 d) d-(d+1)=0 [ ]-2 [x] -1 x) 0 mn [ ]2 e) (-2+e)-(e-2)=0 (i-4 0 |) 2 [Jo [—xj2 4 f) -f=16-8f i! -)-2 [Jo []2 x] 4 Gib die Lésungen an. a) x2=100 b) x2+19=100 ©) x-(x-1,75)=0 d) (x-8,7)-(x+1,7)=0 Lésungen: 10;-10 Lésungen: 9;—9 Lésungen: 0); 1,75 Lésungen: 8,7; -1,7 Wandle zuerst die Gleichungen in die Normalform x? + px + q=0um. Gib danach p und gan. a) 2x2+72-0,8x=10 |-10 b) 3.6x=2,44+4x2 |-3,6x 2x?-0,8x+ 62=0 [:2 0=4x?-3,6x +2,4 [:4 x?-0,4x-31=0 -0,9x + 0,6 p=-0,4 q=3l 0,9 q= 0,6 Ermittle die Lésungen. a) 0=2x?-10x-28 = |:2 b) 10x=x?+9 = |-10x Lésungen: Lésungen: 9; In einem gleichschenkligen Trapez ABCD mit einem Flaicheninhalt von 20cm? D - c ist die eine parallele Seite viermal so lang wie die andere und die Héhe ist doppelt so lang wie die kiirzere Parallele. a) Berechne die Lingen der zueinander parallelen Seiten a und c sowie die der Héhe h. Hinweis: A = 44 20cm? 4em?=a? xy=2 a=2em c=8cem h=4cem (4 =-2 Kommt als Maf nicht infrage.) a=8cm b) Zeichne das gleichschenklige Trapez ABCD. 50 Tests Kapitel Potenzen und Wurzeln Firbe die Kartchenpaare mit gleicher Farbe ein, bei denen nach dem Multiplizieren der Terme in verkiirzter Schreibform der Exponent 8 steht. oA xt B oC x oA x’ D xP OB x! D roc Firbe die Kértchenpaare mit gleicher Farbe ein, bei denen nach dem Dividieren der Terme in verkiirzter Schreibform der Exponent 4 steht. ya y B yc y’ B yA y? D yoo y D Verbinde jeweils zwei zusammengehérende Terme miteinander. 48.258 40:54 84: 648 | (100-1)2 84:86 45254 8 1002 100¢ | 4-100! a 82 Berechne mithilfe der Potenzgesetze. Bestimme schlieBlich den Wert der Potenz. Lésungen: a) 126. 25= (12+2)6=24%= 191102976 (zum Abstreichen) 279 936 b) 46.47.4-4= 46+7+(-4) = 49 = 262 144 0,244 140625 . 0,2401 c) 8)? (-8)> - (-8)3 = (-8)?*5*8 = (-8)!°= 1 073 741 824 13 9 5, 9-5 4 tps d) 0,79: 0,75= 0,79-5=0,74=0,2401 16384 e) 5)’-47:0,37= (-5-4-0,3)7 = (6)? = -279 936 20a ™“ ° ~ - 100000000 1p .(L ps 191 102976 wy (3) (ts) ~ 1073741 824 g) 0,000014 - 100000004 = (10-*)*- (107) = 107° - 1078 = 10° = 100 000 000 h) 247: (6!4: 67) = 247: 67 =47= 16384 i) G25: 32!).327= 325-"+7 = 327= 1024 i 5). (A) (-3]' = 0,625) = -0,244 140 625 Gib die Ergebnisse an. Hinweis: Arbeite ohne Taschenrechner. a) ¥i00000 = 10 b) V8i = 3 c) Vi000 = 10 d) Vi2i = 11 e) Vi25=5 f) Vi28 = 2 g) Vor=4 h) Vi=1 Gib jeweils das Ergebnis an. Uberpriife es durch Potenzieren. Hinweis: Arbeite ohne Taschenrechner. a) V0,000001 = 0,01, denn (0,01)3 = 0,000001 b) ¥0,0081 = 0.3 denn (0,3)4=0,0081 ° Vi2i =1,1 denn (1,1)? = 1,21 d) ¥0,00032 = 0,2 ,denn (0,2)5=0,00032 Tests Kapitel Wachstum und Exponentialfunktionen In den Zuordnungen soll lineares Wachstum mit jeweils gleicher Zunahme bzw. Abnahme erfiillt sein. @® lineare Abnahme @® lineare Zunahme n 0 1 2 4 5 7 n 2 3 4 5 6 7 G, 4 3,5 3 2,5 2 0,5 G, 2,5 | 2,75 3 | 3,25 | 3,5 | 3,75 Gleichung: G,= 4-05 Gleichung: G,= 2 +0,25n a) Gib zuniichst an, ob lineare Zunahme oder lineare Abnahme vorliegt. b) Ergiinze in den Tabellen die fehlenden Werte und vervollstindige die Gleichungen. ¢) Stelle alle Graphen in dem Diagramm rechts dar. Uberpriife damit auch, ob du in b) alles richtig gemacht hast. In den Zuordnungen soll exponentielles Wachstum erfiillt sein. @ exponentielle Zunahme @ exponentielle Abnahme n 1 3 4 5 | n 1 4 5 6 G, 0,75 1,6875 =2,531 | =3,797 | G, 15 0,324 0,1944 0,11664 Gleichung: G,,=0,5 - 1,5" Gleichung: G,=2,5- 0,6" a) Gib zuniichst an, ob exponentielle Zunahme oder Gy exponentielle Abnahme vorliegt. 1 b) Ergiinze in den Tabellen die fehlenden Werte und 4 vervollstindige die Gleichungen. c) Im Diagramm sind Graphen exponentieller 3 Zuordnungen dargestellt. Welche Tabelle passt zu welchem Graphen? 2 Schreibe die Nummer jeweils an den Graph. 1 0 1 2 3 4 5 6 77 Auf einem Konto werden 5000 € fiir zehn Jahre fest angelegt, sodass die jihrlichen Zinsen mitverzinst werden. Dafiir wurde ein Zinssatz von 5,4% p.a. iiber die gesamte Laufzeit gewahrt. Stelle eine Formel auf, mit der du das Endkapital nach 10 Jahren in einem Schritt berechnen kannst und bestimme diesen Betrag. Wie viel Prozent des Starkapitals gab es an Zinsen nach den zehn Jahren? 5000 €- 1,054! = 8460,11 Nach zehn Jahren sind es 8460,11 € Endkapital. z.B. 8460,11 : 5000 = 1,692; 69,2 % Steigerung 69,2% des Startkapitals kamen an Zinsen dazu. BY Fit fir den Abschluss Beispielaufgaben Die Basisaufgaben sind kurze Aufgaben, in denen deine Grundkenntnisse iiberpriift werden. Versuche, so oft es geht, diese Aufgaben im Kopf zu lésen. Grundrechenaufgaben Kopfrechnen — Kreuze Zutreffendes an. 56 ist das Ergebnis von ... 9-643 (X 6-942 _ 7:9-6 x) (5+3)-7 34-6=... 184 194 |X} 204 | 214 160:5=... | 30 [Xx] 32 | 34 || 36 12-44+2-135... -18 23 x 34 | 38 126 ist das Ergebnis von ... * 95+31 150-34 x =140-14 | 96 +20 Kopfrechnen — Bestimme das Ergebnis. 275+ 16= 291 152-71= 81 4,5+6,8= 11,3 57,5-9,3= 48,2 _ 114-5= 570 488: 8= 61 3+ (-2,5)= -7,5 —-180: 60= —240: (-60)= 4 260+ 3 -(-30)= 170 340: (4-21) = -20 -32-(4-6)= 64 Runden, Uberschlag — Kreuze Zutreffendes an. ... ergibt gerundet 0,5. X 0,45 X) 0,531 | 0,055 (xX 0,487 1,0999 auf Hundertstel gerundet ist ... 11 1,09 x 1,10 | 1,100 4699 auf Hunderter gerundet ist ... 4600 4690 x 4700 | 4800 1319 - 4 ist ungefahr... 8000 > 5200 >< 4000 | 3000 5361 + 27986 ist ungefiihr.... __ 30000 __ 32000 |X} 33000 [x| 33300 Uberschlagsrechnen — Vergleiche mithilfe von Uberschliigen. 9395-6 < 60000 2533-6 > |14.724-879 8316:9 < 342 +789 83-178 < |53-(-4) Qe —- DL Tyenebmenceherwasoden, —- @] nmmuse noch ben GroBen GréBen und Schatzen — Kreuze Zutreffendes an. 0,04 km ist kiirzer als ... x 400m x 0,lkm 30000 mm | 100cm Ein Smartphone-Display hatca....Fliche. = 9.em? ><} 90cm? 9000 mm?_ |X 0,9 dm? 80 ml sind weniger als ... ><) 800m? | 0,05dm3— |X 90 em3 | 9000 mm? 6 hdauem linger als ... 15000 s 3000 min 0,2 Tage | > 300 min Mit Gré8en rechnen — Bestimme das Ergebnis in der kleineren Einheit. 32 m+ 156cm= 6 cm 124g¢+0,7kg= 824¢ 0,25h-6min= 9 min 15 cm?—25mm?= 1475 mm? 31+456cm3= 3456 em* 741g-0,08kg= 661g Qin — OD Tyeyesmenceherwassden, (Rn noch ben Fit fiir den Abschluss by} he eR Tare rT 1) 7 Anders schreiben, umwandeln — Kreuze Zutreffendes an. 0,6 ist in Bruchschreibweise ... 4 } x 3 [x * a... a iy i x3 75% =... X 75/100 |X 0,75 [x] # [x]? 3s... | 66% <<! 0,6 xX 666% ™ # 2.5h=... X< 150min |X) $h X< 2th Bn 0,65 =... X 65% s x 0,650 x 8 8 Vergleichen und anordnen — Kreuze Zutreffendes an. GriBer als 0,4 ist ... x|4 x|2 xX 50% / | 0389 Kleiner als 0,72 ist ... 3 x|zZ 3 |x! 70% Zwischen 4 und 2 liegt... |X| 38% | |2 [x] 2 xX 035 Zwischen $ und 1 4 liegt ... /<| 120% x| 2 | | 0,7 x|2 9 Rechnen mit rationalen Zahlen — Berechne das Ergebnis. a dele bia feo! } 240,5= 0,9 0,46: (-0,2) = -2,3 0,28-4= 0,07 0,5-2,5= 1,2 0,8: 1,6= 0,5 2,3-012= 2,18 —4,6+0,75 OU tine OQ ereottenocherwasiten, QL haus noch ben 10 Terme, Vereinfachen— Kreuze Zutreffendes an. 4—a+ 13-5 +6a ist zusammengefasst ... Ta+12 Sa+8 x Sa+12 | 2a+8 7x-6- 15x +3 ist zusammengefasst ... 21x-3 xX -8x-3 -34+8x [xX -3-8x Fiir.x=4 ist der Wert von-2.x+9... xd mene | 15 ou Fiir x =-3 ist der Wert von 5 - (x- 3)... 0 mare) a) (| -18 .Summe aus 17 unddem Vierfachen vonx* | 17-4x | T4 4x X) ITH 4ex Xa $17 . Hiilfte der Differenz aus einer Zahl und 9* 3x9 X) 0506-9) X (= 9:2 X 5-9) 11 Gleichungen lésen — Kreuze Zutreffendes an. Die Lésung der Gleichung 3 x=—15 istx xX -5 -12 5 | 18 Die Lésung der Gleichung 2x=x+3 istx=... 6 5 x3 oa Die Lésung der Gleichung5x-4=Oistx=... | 4 |X] 8 | 35 (0 —5 ist die Lésung der Gleichung ... | 2xs10 |X -10x=50 X -vt2=7 || 3x4857 2,5 ist die Lésung der Gleichung ... X x+7=9,5 (XX -1=-4x &) 7=6x-8 [X 1224-4 OU ttn OT rreottenocherwasiten, QL haus noch ben 56 12 13 14 15 16 Fit fiir den Abschluss Zuordnungen und Dreisatz Zuordnungen in Wertetabellen erkennen — Proportional (p), antiproportional (a) oder keins von beiden (k)? P)x}o 12°33) (Kixjt 2.5/7 (@/x/2.3,6 8 [P)xi21 3 6 y0 3.69 yi 4 6 12/16 y 128 43 -y 6 3 9 18 Kix -o)1 3) ale 6-324 (Kile 1234 Kle saig y 31 5 13 y 8 16 24 -12 cy cl 4-14 iy 4 10-10 -5 Zuordnungen in Diagrammen — Ordne je einmal zu: proportional (p), antiproportional (a), linear (1), quadratisch (q) 1” a ¥ [a y ply 0 x x 0 x Zuordnungen in Texten erkennen — Proportional, antiproportional oder keins von beiden? Kreuze Zutreffendes an. Ein Stiick Kuchen kostet 1,60 €. Wie viel kosten drei Stiick Kuchen? x Pp a k Jens hat in diese Woche 2 € ausgegeben. Wie viel hat er in drei Wochen ausgegeben? Pp a x &k Eine Milchtiite reicht bei zwei Personen 3 Tage. Wie lange reicht sie bei 4 Personen? Pp xX) a k Eine Busfahrt dauert bei 2 Personen 2 h. Wie lange dauert sie bei 6 Personen? Pp a x &k In 1h kann ein Arbeiter 2 m Platten verlegen. Wie viel Meter schafft er in 3h? x Pp a k Dreisatz — Ergiinze die drei Sitze fiir die proportionale oder die antiproportionale Zuordnung. * Drei Jacken kosten 126 €. Eine Jacke kostet 42 €. Vier Jacken kostendemnach 168 €. ¢ Ein Kanister kann in vier Flaschen zu 0,75 Liter gefiillt werden. In nur eine Flasche gefiillt sind das 3 Liter. In fiinf Flaschen gefiillt miisste jede Flaschen demnach (),6 _ Liter Inhalt haben. * Inacht Glisern sind 2 Liter. In einem Glas sind (),25 Liter. In fiinf solchen Gliisern sind demnach 1,25 Liter. ¢ Fiir sechs Kleintiere reicht das Futter einen Monat (30 Tage). Ein Kleintier kann damit 6 Monate ( 180 Tage) Futter erhalten. Fiir neun Kleintiere reicht das Futter demnach 20) Tage. « Auf 20 Meter Linge werden zehn Zaunfelder bendtigt. Auf einem Meter Linge sind das 0,5 | Zaunfelder. Auf 30 Meter Linge sinddasdemnach 15 — Zaunfelder. Wertetabellen von Zuordnungen ausfiillen— Proportional (p), antiproportional (a) P. Anzahl Baume 1 2 4 5 7 8 10 aT 15 Lange der Anpflanzung 0,6m 1,2m 2,4m 3m 42m 48m 6m 6.6m 9m a Anzahl weiterer Baume 1 2 3 4 5 8 10 12 15 Pflanzabstand 24m 12m 8m 6m 48m 3m 2,4m 2m 1,6m © Das ging richtig gut. ) Das ging nicht so gut. @ Das ging schlecht. Ich bin fit. Ich sollte noch etwas iiben. Ich muss noch iiben. Fit fiir den Abschluss 59 26 Funktionsarten und Gleichungen — Ordne die Funktionsarten lineare Funktion und quadratische Funktion richtig zu und wihle die passenden Gleichungen. Blau: lineare Funktion Rot: quadratische Funktion Grin: lineare Funktion Braun: quadratische Funktion f(x) = 2x42 f(x) =x+2] Blau fox) =2x| Grin fQ)=2x-2 4 fx) = -x?-2 SQ) =1°-2| Rot fx) =x? +2 f(x) =x? 3.x44,25 [Braun - 27 Eigenschaften linearer Funktionen — Kreuze an, ob die Aussage richtig oder falsch ist. Lineare Funktionen haben immer eine Nullstelle. richtig [x] falsch Graphen linearer Funktionen sind bei Steigungen kleiner als null fallend. richtig ] falsch Alle Graphen linearer Funktionen verlaufen durch drei Quadranten des Koordinatensystems. richtig x ] falsch Die Punkte des Graphen einer linearen Funktion kénnen gleiche y-Koordinaten haben. >< _ richtig ] falsch 28 Eigenschaften quadratischer Funktionen — Kreuze an, ob die Aussage richtig oder falsch ist. Quadratische Funktionen haben eine oder keine Nullstelle. richtig x ] falsch Graphen quadratischer Funktionen sind achsensymmetrisch. [x] richtig [| falsch Die Scheitelpunkte von Graphen quadratischer Funktionen liegen auf der y-Achse. [| richtig [x] falsch Die Graphen von quadratischen Funktionen sind Normalparabeln. i] richtig [x] falsch 29 Normalform und Scheitelpunktform quadratischer Funktionen — Wandle die Gleichungen entsprechend um, gib die Scheitelpunkte an und ob die Parabeln nach oben oder nach unten ge6ffnet sind. Normalform Umrechnung Scheitelpunktform Scheitelpunkt Offnung fe) = 22 +4x4+2 x? +4xt+4-442 f(x) = (x + 2)?-2 S(-2|-2) nach oben f(x) =-x?-2x-2 2x-1-1 f)=-(@+1)?=-1 S(-1|-1) nach unten f@) =2-5x-2,5 | x?-5x+6,25-6,25-2,5 | f(x) =(x- 2,5) - 8,75 S(2,5| -8,75) nach oben 30 Punkte auf Graphen — Bestimme die fehlenden Koordinaten der Punkte auf dem Graphen der Funktion. y=-2x4+3 A(-41 11) BCl 11) c(21-1 +) D( 5 1-7) ysxrs2x4+2 A(-41 10) B(-l 11) c(ol2. =) D(-3 |5)oderD( 1 15) © oO Das ging richtig gut. ©Q ,) Das ging nicht so gut. @ Ol Das ging schlecht. Ich bin fit. ‘— Ich sollte noch etwas iiben. Ich muss noch iiben. Fit fiir den Abschluss Dreiecke 31 Dreiecksarten und Eigenschaften — Kreuze Zutreffendes an. FOL ly A an Das Dreieck ist gleichschenklig. | (0) ] Das Dreieck ist stumpfwinklig. | x @O Das Dreieck hat drei Innenwinkel mit 60°. | (0) ] @ Bei dem Dreieck gilt der Satz des Pythagoras. Bei dem Dreieck gilt b? = a? +c. x @ x ® |x|® ©) 1® xXi®@/|® —@ |® x ® xo —@O@ @)| |® Das ging nicht so gut. © Das ging richtig gut. ©@ Ich bin fit. Ich sollte noch etwas iiben. NaS 32 Vierecksarten und Eigenschaften — Kreuze Zutreffendes an. Ovg ® a Das Viereck ist ein Trapez. [x] x ee Das Viereck ist ein Drachenviereck. | Das Viereck ist achsensymmetrisch. | Das Viereck ist punktsymmetrisch. x @ Das Viereck hat zwei Paare gleich groBer Innenwinkel. ° ® (© X@)\ ©) © _@ © Das ging schlecht. Ich muss noch iiben. x ® |x @ x|® |x|@® x@ x ® |) |® ® x}® x|® |x © xX © x|® l® xX ®@ x @|x® |® x@®@) |® x®@ x@ |x ® x/® Das ging nicht so gut. © Das ging richtig gut. ©@ Ich bin fit. Ich sollte noch etwas iiben. ELA AOU Ci ALLA 33 Umfinge und Flicheninhalte bestimmen — Kreuze Zutreffendes an. oO @_r 7 @ ® sXe, § (sem § 3 %, S 3 0 2 u Ya) Ul = = & c=8cm a=12cm Der Umfang ist zwischen 18 cm und 30cm lang. Der Flicheninhalt ist zwischen 12 cm? und 28 cm?. Der Flicheninhalt ist zwischen 11 cm? und 18 cm?. LJL|LXI[x| Die Figur hat den doppelten Flicheninhalt wie @. Die Figur @ ist licheninhaltsgleich zu den Figuren@ und ® zusammen. ) Das ging schlecht. Ich muss noch iiben. (X. richtig | falsch Das ging nicht so gut. © Das ging richtig gut. @ Ich bin fit. Ich sollte noch etwas iiben. =) Das ging schlecht. Ich muss noch iiben. Fit fiir den Abschluss Oberflache 34 Quader und Netze — Kreuze Zutreffendes an. Diese Seiten liegen sich ° |X. Rot-Gelb Wei8—Griin |X, Blau—Griin gegeniiber. Wie beim Spielwiirfel muss . a diese Zahl auf der Seite stehen. [x] Wei —2 |X} Rot-6 |_| Griin-2 35 Oberflaiche von Quadern — Bestimme die Oberfliche des Quaders. ® a=5cm @ a=4cm;b=3cm;c=1,5cm Ag=6+5em:5em Ag =2+12.em?+2+6em2+ = 150 cm? 2-4/5 cm? ] 4o=45 cm? 36 Oberfliiche von Pyramide, Zylinder und Kegel — Bestimme die Oberfliche. Runde gegebenenfalls auf ganze cm?. g 5 2 = d=12cm © Das ging richtig gut. © Das ging nicht so gut. @ Das ging schlecht. Ich bin fit. Ich sollte noch etwas iiben. Ich muss noch iiben. Volumen 34 Quader mit Loch — Bestimme das Volumen des 6cm hohen Quaders, der senkrecht durchbohrt wurde, sodass der gegebene Querschnitt entstanden ist. Runde das Ergebnis auf ganze cm>. @) Ag = 35 cm? - 12,57 em? = 22,43 em? = 22,43 cm? 6 cm = 135 cm? 5cm 7cm 38 Volumen von Quadern — Bestimme jeweils das Volumen des Quaders aus Aufgabe 35. @ V=S5em:5em-5em=125 cm} ® +3em-15 cm = 18 cm? 39 Volumen von Pyramide, Zylinder und Kegel — Bestimme das Volumen des Kérpers aus Aufgabe 36. Runde gegebenenfalls auf ganze cm>. ® v=t- 144 cm?-8em=384em3 = @ Ve=113cm?-10cem=1130cem3 = @ V et: 113 cm?-8 cm = 301 cm3 40 Volumen von Quader und Zylinder — In den Quader aus Aufgabe 37 wird ein Loch mit nur dem halben Durchmesser gebohrt. Wie veriindert sich dann das Volumen? Runde das Ergebnis auf ganze cm*. weniger Ausbohrung: A = 12,57 cm? - 3,14 cm? = 9,43 cm?; 9,43 cm?- 6 cm = 57 cm? [mehr Volumen] 41 Volumenverinderungen — Kreuze Zutreffendes an. Wird die Grundfliche eines Kegels verdoppelt, vervierfacht sich sein Volumen. ] richtig X falsch Wird der Radius eines Zylinders halbiert, viertelt sich sein Volumen. x ] richtig falsch © oO Das ging richtig gut. ) ,) Das ging nicht so gut. @ Ol Das ging schlecht. Ich bin fit. ‘— Ich sollte noch etwas iiben. Ich muss noch iiben.