Apuntes mates II, Apuntes de Matemáticas

¡Descarga Apuntes mates II y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

Descargado en:

patatabrava .com

MATEMÀTIQUES PER A ECONOMISTES II (UAB)

MATES II

PROF. 05-

Matemàtiques per a Economistes II

per Josep Curto Díaz Versió 1.23, 23 de Maig de 2004

Agraïments

La gran part del material utilitzat i recollit per a aquest document procedeix de les classe impartides durant el curs acadèmic 2002-2003 a la Universitat Autònoma de Barcelona.

Vull donar les gràcies a Joan Crespo per les seves idees i aportacions.

Si teniu interés de descarregar aquest document es possible trobar la última versió actualitzada en:

http://pareto.uab.es/jcurto

Aquest document és una versió preliminar en fase de correcció. Qualsevol aportació es veurà reflexada en aquesta secció.

vi Introducció

Si teniu idea d’alguna cosa que podría ser millorada, afegida o alterada en aquest document, si us plau comuniqueu-la a l’autor. La intenció és que aquest manual sigui de gran utilitat pels alumnes. Per tant, qualsevol millora és benvinguda.

Josep Curto Díaz

Unitat de Fonaments, Departament de Economia i Història Económica, Universitat Autònoma de Barcelona.

L’última versió d’aquest document es troba disponible en: http://pareto.uab.es/jcurto

Índex

Agraïments iii

2.4 L’el.lipse x 2

• 1 Conceptes Bàsics Introducció v
  • 1.1 L’espai Rn
  • 1.2 Distància i norma
    • 1.2.1 Norma euclidiana
    • 1.2.2 Distància euclidiana
    • 1.2.3 Altres definicions de distància
  • 1.3 Topología de l’espai euclidià n-dimensional
    • 1.3.1 Oberts i tancats
    • 1.3.2 Fitats
    • 1.3.3 Compactes
    • 1.3.4 Convexos
• 2 Funcions
  • 2.1 Funcions de varies variables
  • 2.2 Representació gràfica i corbes de nivell
    • 2.2.1 Superficies a R
    • 2.2.2 Corbes de nivell
• 3 Límits i Continuïtat
  • 3.1 Límits
    • 3.1.1 Concepte de límit i propietats
    • 3.1.2 Límits direccionals
    • 3.1.3 Càlcul de límits
  • 3.2 Funcions continues
  • 3.3 Conjunts compactes i teorema de Weierstrass
• 4 Diferenciabilitat
  • 4.1 Derivades direccionals i parcials
  • 4.2 Matriu jacobiana i gradient. Funcions diferenciables.
  • 4.3 Regla de la cadena
  • 4.4 Derivades d’ordre superior i teorema de Schwartz
• 5 Teoremes de la funció inversa i implícita viii ÍNDEX
  • 5.1 Teorema de la funció inversa
    • 5.1.1 Funcions injectives, exhaustives i bijectives
    • 5.1.2 Funcions a R
    • 5.1.3 Funcions lineals
    • 5.1.4 Cas general
  • 5.2 Teorema de la funció implícita
• 6 Optimització sense restriccions. Condicions de primer ordre i segon ordre
  • 6.1 Condicions de primer ordre
  • 6.2 Condicions de segon ordre
• 7 Optimització amb restriccions d’igualtat. Multiplicadors de Lagrange
  • 7.1 Introducció i formalització del problema
  • 7.2 Teorema de Lagrange
    • 7.2.1 Cas funció de dues variables amb una restricció
    • 7.2.2 cas general
  • 7.3 Interpretació econòmica dels multiplicadors de lagrange
  • Bibliografia
  • Índex alfabètic
• 1.1 La dualitat vector-punt. Índex de figures
• 1.2 La recta real
• 1.3 El pla real
• 1.4 L’espai de tres dimensions
• 1.5 Entorn a la recta real
• 1.6 Entorn al pla real
• 1.7 Entorn a l’espai tridimensional
• 1.8 La recta y = x
• 1.9 Un conjunt no fitat
• 1.10 Un conjunt format per rectes
• 1.11 Una bola oberta és un fitat.
• 1.12 Un conjunt no convex
• 1.13 Un conjunt convex
• 1.14 El torus i La estrella de 12 puntes no són convexos
• 1.15 L’esfera plena és un conjunt convex
• 2.1 La recta y = −x +
• 2.2 La paràbola y = x^2 −
• 2.3 La circumferència x^2 + y^2 =
  • y 9 +
  • 25 =
• 2.5 La hipèrbola x^2 − y^2 =
• 2.6 El pla x + y + z =
• 2.7 La condició x + y + z = 1 amb x, y, z ≥
• 2.8 L’esfera x^2 + y^2 + z^2 =
• 2.9 El paraboloide z = x^2 + y
• 2.10 La sella z = x^2 − y
• 2.11 La gràfica de z = f (x, y)
• 2.12 Projecció sobre els plans xy,xz i yz
• 2.13 Les corbes de nivell per z = x^2 + y
• 2.14 Les corbes de nivell per z = x^2 − y
• 3.1 Límits laterals a R
• 3.2 Quantes direccions hi ha? Infinites!
• 3.3 Coordenades polars
• 3.4 Buscant màxims i mínims
• 3.5 Diverses corbes de nivell
• 4.1 Què és una derivada parcial? x ÍNDEX DE FIGURES
• 4.2 Significat geomètric de la derivada
• 4.3 El pla tangent a una superficie z = f (x, y)
• 4.4 La gràfica de la funció valor absolut
• 6.1 Una funció còncava
• 6.2 Una funció convexa

2 Conceptes Bàsics

Exemples. En realitat, la definició anterior no ens hauria de resultar sorprenent. Ja són coneguts per nosaltres alguns d’aquests espais: a) Per n = 1 tenim la recta real que en essència són els nombres amb els que hem estat treballant tota la vida. La figura 1.2 és la representació gràfica de R_._

Figura 1.2: La recta real

b) Per n = 2 tenim el pla real, espai ja utilitzat anteriorment a l’hora de realitzar gràfiques de funcions d’una variable: R^2 = R × R = {(x, y) | x, y ∈ R} La figura 1.3 és la representació gràfica de R^2_._

Figura 1.3: El pla real

c) Per n = 3 , l’espai de tres dimensions, que no és altre que la realitat en la que vivim:

R^3 = R × R × R = {(x, y, z) | x, y, z ∈ R}

La figura 1.4 és la representació gràfica de R^3_._

Figura 1.4: L’espai de tres dimensions

Observació. L’espai Rn^ té una estructura algèbrica d’espai vectorial (i d’aquí, que els elements s’anomenin vectors). Però potser no recordem què és un espai vectorial. La següent és una definició general.

1.1 L’espai Rn^ 3

Definició. Sigui K cos. Un espai vectorial sobre K o K-espai vectorial és un grup abelià (V, +) junt amb un producte per a elements de K

· : K × V → V (α, u) 7 → αu

que compleix les propietats següents:

i. α(u + v) = αu + αv ∀α ∈ K, ∀u, v ∈ V

ii. (α + β)u = αu + βu ∀α, β ∈ K, ∀u ∈ V

iii. (αβ)u = α(βu) ∀α, β ∈ K, ∀u ∈ V

iv. 1 · u = u ∀u ∈ V

Observació. Un grup abelià és un conjunt G d’elements amb l’operació suma que és conmutativa.

Observació. L’anterior definició no ens explica res més com es realitzen les operacions entre vectors:

1. Suma de vectors. Donats dos vectors ~u, ~v ∈ Rn , resulta que:

~u + ~v = (u 1 + v 1 ,... , un + vn).

Per exemple, si ~u = (1, 2), ~v = (3, 4) ∈ R^2 , aleshores

~u + ~v = (1 + 3, 2 + 4) = (4, 6)

2. Resta de vectors. Donats dos vectors ~u, ~v ∈ Rn , resulta que:

~u − ~v = (u 1 − v 1 ,... , un − vn).

Per exemple, si ~u = (1, 2), ~v = (3, 4) ∈ R^2 , aleshores

~u − ~v = (1 − 3 , 2 − 4) = (− 2 , −2)

3. Multiplicació per un nombre. Donats un vector ~u ∈ Rn^ i k ∈ R , resulta que:

k~u = (ku 1 ,... , kun).

Per exemple, si ~u = (1, 2) ∈ R^2 , aleshores

3 ~u = 3(1, 2) = (3, 6)

A més, tenim una altra operació anomenada producte escalar que es defineix com:

~u · ~v =

∑^ n

i=

ui · vi

Per exemple, si ~u = (1, 2), ~v = (3, 4) ∈ R^2 , aleshores

~u · ~v = 1 · 3 + 2 · 4 = 11

1.2 Distància i norma 5

Observació. Si n = 1 , recuperem la distància estàndard que ja havíem conegut en anteriors assig- natures: d (x, y) = |x − y|

Propietats. La distància euclidiana compleix les següents propietats:

i. d(~x, ~y) ≥ 0 i d(~x, ~y) = 0 ⇔ ~x = ~y

ii. d(~x, ~y) = d(~y, ~x) iii. Desigualtat triangular: d(~x, ~y) ≤ d(~x, ~z) + d(~z, ~y), ∀~x, ~y, ~z ∈ Rn

Exemples. Veiem un parell d’exemples:

1. La distància entre els punts (1, 2) i (2, 1) és: d((1, 2), (2, 1)) =

(1 − 2)^2 + (2 − 1)^2 =

2. La distància entre els punts (1, 0 , 2) i (2, 2 , 1) és: d((1, 0 , 2), (2, 2 , 1)) =

(1 − 2)^2 + (0 − 2)^2 + (2 − 1)^2 =

Observació. Cal dir que:

_1. Les propietats de la distància són conseqüència directa de les de la norma euclidiana.

1. La desigualtat triangular, en el cas de la distància, no significa res més que el camí més curt_ _entre dos punts és la recta.
2. Què passaria si visquéssiu en una esfera? Quina seria llavors la distància més curta?_

Definició. L’espai Rn^ amb la distància euclidiana és l’espai euclidià n-dimensional.

Observació. Per tant, Rn^ no només té una estructura algèbrica sino que té una mètrica, és a dir, un concepte de distància. La importància d’aquest concepte és majúscula ja que ens permet a posteriori definir els conceptes de límit i continuïtat.

1.2.3 Altres definicions de distància

La noció de distància o de norma euclidiana no és l’única que existeix. Si és cert que ens pot resultar la més natural. No obstant, si heu pensat en quin és el camí més curt en una esfera la mateixa resposta us haurà conduit a pensar en que han d’existir altres nocions de distàncies, que s’anomenen no euclidianes. Posem un parell d’exemples definits a partir de les seves normes.

Definició. Donat ~x ∈ Rn, definim la norma del suprem com:

‖~x‖∞ = max 1 ≤i≤n {|xi|}.

Definició. Donat ~x ∈ Rn, definim la norma ú com:

‖~x‖ 1 =

∑^ n

i=

|xi|.

Observació. Als exercicis veurem cóm són els entorns oberts si la nostra definició de distància és alguna de les anteriors i que realment compleixen les propietats d’una distància les definicions ante- riors.

6 Conceptes Bàsics

1.3 Topología de l’espai euclidià n -dimensional

Ara ja coneixem l’espai en el que treballarem. És important conèixer la topología d’aquest espai, cosa que no vol dir res més que saber cóm són els conjunts amb els que treballarem. Continuant amb la nostra generalització, volem ara veure què esdevé de generalitzar el concepte d’entorn a R, és a dir, allò que es definia com:

E(α, ≤) = {x ∈ R | α − ≤ < x < α + ≤}

que gràficament observem en 1.5.

Figura 1.5: Entorn a la recta real

Sembla correcte seguir la intuïció i pensar en:

a) a R^2 cercles: 1.6.

Figura 1.6: Entorn al pla real

b) a R^3 en esferes: 1.7.

Figura 1.7: Entorn a l’espai tridimensional

...és a dir, considerar conjunts amb la condició d(x, y) < ≤. Això ens porta a...

8 Conceptes Bàsics

Definició. Diem que p ∈ Rn^ és un punt de la frontera de A ∈ Rn^ si tota bola centrada en p i de radi qualsevol conté punts de A i punts de Ac. Equivalentment:

∀ B(p, r) ⇒ B(p, r) ∩ A 6 = ∅ i B(p, r) ∩ Ac^6 = ∅

...és a dir, tot entorn que construïm al voltant del punt p talla tant al conjunt A com al seu conjunt complementari. El conjunt de tots els punts de la frontera de A s’anomena la frontera de A i es denota per F r(A) o ∂A. Proposició. Un conjunt A ⊂ Rn^ és tancat si i només si la frontera del conjunt A pertany a A_. És a dir,_ A tancat ⇔ ∂A ⊂ A.

Observació. És important que:

1. Si un punt de la frontera de A pertany a A _, això implica que el conjunt no és obert.

1. Si hi ha com a mínim un punt de la frontera de_ A que no sigui dins de A , aleshores el conjunt _no és tancat.
2. Hi ha conjunts que no són ni oberts ni tancats._

Exemples. Veiem la natura d’alguns conjunts:

a) A = {(x, y) ∈ R^2 | x^2 + y^2 < 4 } ⊂ R^2 és obert (conseqüència directa de l’observació 10).

b) B = {(x, y) ∈ R^2 | x^2 + y^2 ≤ 4 } és tancat ja que tots els punts de la frontera pertanyen a B o també perquè el seu complementari és obert.

Proposició. Els conjunts oberts compleixen:

i. La unió arbitraria d’oberts és un conjunt obert.

ii. La intersecció finita de conjunts oberts és un conjunt obert.

Els conjunts tancats compleixen:

i. La unió finita de tancats és un conjunt tancat.

ii. La intersecció arbitraria de tancats és un conjunt tancat.

Observació. Rn^ i ∅ són conjunt oberts i a la vegada tancats de Rn^ amb la distància euclidiana. De fet, a Rn , són els únics conjunts amb aquesta propietat. Això vol dir que si un conjunt no és el buit o el total o bé serà obert o bé tancat o no serà cap de les dues coses, però mai les dues coses alhora amb la noció de distància que tenim.

Exemple. Considerem a R^2 el conjunt

A = {(x, y) ∈ R^2 | x = y}.

Gràficament, el nostre conjunt A , el veiem en la figura 1.8. Resulta que ∂A = A i Int(A) = ∅. Per tant, el conjunt no és obert. És un conjunt tancat ja que la frontera pertany al conjunt (de fet és el conjunt).

1.3 Topología de l’espai euclidià n -dimensional 9

Figura 1.8: La recta y = x

1.3.2 Fitats

Definició. Sigui A ⊂ Rn. Diem que A és un conjunt fitat si ∃ B(0, R) tal que A ⊂ B(0, R).

Observació. Aquesta definició no vol dir res més que el nostre conjunt ha d’estar contingut en una bola de centre l’origen de coordenades i per un cert radi fixat per ser fitat.

Exemples. Considerem alguns exemples que ens aclariran aquesta concepte:

a) El conjunt A definit com A = {(x, y) ∈ R^2 | x, y ≥ 0 } és un conjunt no fitat. Això ho podem comprovar en la figura 1.9.

Figura 1.9: Un conjunt no fitat

És ben cert, que un dibuix no és un argument. Fixeu-vos que és possible trobar valors (x, y) tan grans com vulguem a l’interior del conjunt i això impossibilita trobar un radi.

b) El següent conjunt ve definit per:

A =

⋃^ ∞

i=

Ai on Ai = {~x ∈ R^2 | y =

n

Què podem dir d’aquest conjunt? Aquest conjunt no és obert ja que conté punts de la seva frontera (en particular, ∂A = A ∪ {y = 0} ). Aquest conjunt no és tancat perquè Ac^ no és obert (la raó està en pensar un moment en què passa a y = 0 ). I no és fitat tal com podem comprovar en 1.10.