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AN ´ALISIS MATEM ´ATICO II

A. G´omez-Sicilia y A. Hern´andez-Machado

Departament d’ Estructura i Constituents de la Mat`eria

Facultat de F´ısica de la Universitat de Barcelona

Febrero de 2006

4 ´Indice general

III C ´ALCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES

• I ECUACIONES DIFERENCIALES
• 1. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
  • 1.1. Teorema de existencia y unicidad de soluciones
  • 1.2. Ecuaciones de Variables Separables
  • 1.3. Ecuaciones Homog´eneas
  • 1.4. Ecuaciones que se Reducen a Homog´eneas
  • 1.5. Ecuaciones Diferenciales Exactas o Totales
  • 1.6. Ecuaciones Lineales de Primer Orden
• 1. Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior
  • 2.1. Teorema de Existencia y Unicidad de Soluciones
  • 2.2. Propiedades
  • 2.3. Ecuaciones de Segundo orden que se reducen a primero
  • 2.4. Ecuaciones Diferenciales de Orden n, Lineales y Homog´eneas - de segundo orden con coeficientes constantes M´etodo de integraci´on de ecuaciones diferenciales, lineales y homog´eneas
    • Extensi´on del m´etodo a orden n
  • 2.5. Ecuaciones diferenciales No-Homog´eneas de Segundo Orden
    • La Soluci´on Particular I: M´etodos de Inspecci´on
    • La Soluci´on Particular II: M´etodo de Variaci´on de las Constantes
• 1. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales
  • 3.1. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes
• II FUCIONES DE VARIAS VARIABLES
• 1. Tipos de funciones
• 1. Propiedades de las funciones de varias variables
  • 2.1. Operaciones
  • 2.2. Topolog´ıa
• 1. L´ımites y continuidad:
  • 3.1. Propiedades de la continuidad
• 1. Derivada direccional
  • 1.1. Caso particular: Las derivadas parciales
  • 1.2. Propiedades de la derivada direccional:
• 1. Matriz Jacobiana, Jacobiano de una funci´on
  • 2.1. Matriz jacobiana y derivada direccional
• 1. Derivabilidad y continuidad: Diferencial total
  • 3.1. Condici´on suficiente de diferenciabilidad
  • 3.2. ¿C´omo demostrar que una funci´on es diferenciable en un punto?
  • 3.3. Interpretaci´on geom´etrica del diferencial: El plano tangente
  • 3.4. Funciones vectoriales
• 1. Operadores vectoriales: gradiente, rotacional y divergencia
  • 4.1. Gradiente
    • Gradiente y derivada direccional
    • Interpretaci´on del gradiente
  • 4.2. Rotacional
  • 4.3. Divergencia
  • 4.4. Operador laplaciano
  • 4.5. Cambio de coordenadas
    • Coordenadas cil´ındricas:
    • Coordenadas esf´ericas:
• 1. Diferenciaci´on de funciones compuestas: La regla de la cadena
• 1. F´ormula de Taylor
• IV APLICACIONES DEL C ´ALCULO DIFERENCIAL
• 1. Cambios de Coordenadas
  • 1.1. Relaci´on entre jacobianos: el cambio inverso
• 1. Funci´on Inversa
• 1. Funci´on Impl´ıcita
  • 3.1. Aplicaci´on: Derivaci´on impl´ıcita
• 1. Extremos: M´aximos, M´ınimos y Puntos de Inflexi´on
  • 4.1. Introducci´on: 1 variable
  • 4.2. Extensi´on a varias variables
  • 4.3. Criterio General
  • 4.4. Criterio de los Determinantes
• ´Indice general
• 1. Extremos Condicionados. Multiplicadores de Lagrange
  • 5.1. Resoluci´on con dos variables y una ligadura
  • 5.2. Caso general: n variables y m ligaduras
• 1. Curvas y Superf´ıcies en ℜ^3
  • 6.1. Ecuaciones de una curva
    • Ecuaci´on vectorial:
    • Ecuaciones param´etricas:
    • Derivada de ~r:
    • Vector tangente a la curva:
  • 6.2. Plano tangente y normal a una superf´ıcie
    • Funci´on expl´ıcita
  • 6.3. Longitud de un arco de curva en el plano
• V INTEGRACI ´ON EN VARIAS VARIABLES
• 1. Recordatorio
  • 1.1. Integrales indefinidas
  • 1.2. Integral definida de Riemann
  • 1.3. Propiedades de la integral
  • 1.4. Integrales que dependen de un par´ametro
    • Regla de Leibniz
  • 1.5. Cambios de variable:
    • Condiciones:
  • 1.6. Integrales Impropias
    • Criterios de convergencia
  • 1.7. Integrales Impropias II
    • Condici´on necesaria de integrabilidad:
    • Condici´on necesaria y suficiente de integrabilidad:
    • Valor Principal de Cauchy
• 1. Integraci´on en dos variables
     • Propiedades:
  • 2.1. Cambios de Variables
    • Coordenadas Polares
    • Caso General
• 1. Integraci´on en tres variables
  • 3.1. Cambios de Variables
    • Coordenadas cil´ındricas
    • Coordenadas esf´ericas
  • 3.2. Problemas de integrales m´ultiples que se reducen a integrales simples

Introducci´on

Una ecuaci´on diferencial es una ecuaci´on que relaciona una funci´on y sus derivadas. Ejemplo: Radioactividad - Un compuesto radioactivo es aqu´el que se desintegra. Si n(t) es la cantidad de sustancia en funci´on del tiempo, dn dt es proporcional a la cantidad que tenemos:

dn dt =^ −λ^ ·^ n^ ;^ λ^ =^ Cte >^0 ⇒^ Soluci´on:^ n^ =^ n^0 ·^ e

−λ·t

Figura 1: Raodioactividad: n = n 0 · e−λ·t

Ejemplo: Un cuerpo cae debido a la fuerza de atracci´on gravitatoria de la Tierra:

m ·

d^2 z dt^2

= −m · g ⇒ z = z 0 + v 0 · t − 12 · g · t^2

8

Una ecuaci´on diferencial ordinaria es la que contiene derivadas en una sola variable. Una vez encontramos una funci´on y = f (x) que cumple una ecuaci´on diferencial, se dice que hemos integrado esa ecuaci´on. El orden de una ecuaci´on diferencial es el n´umero asociado a la derivada m´as alta de la funci´on que aparece en la ecuaci´on. El grado de una ecuaci´on diferencial es la potencia a la que est´a elevada la derivada m´as alta. Una ecuaci´on es lineal si la funci´on y todas sus derivadas apare- cen linealmente y los coeficientes solamente dependen de x (y no de la funci´on o sus derivadas). Toda funci´on y = f (x) tal que introducida en la ecuaci´on produce una identidad se denomina soluci´on.

Ejemplo:

m ·

d^2 x dt^2

= −k · x ⇒ x = A · cos(ω · t) + B · sen(ω · t) ; ω ≡

√ k m

La soluci´on general de una ecuaci´on diferencial de orden N tiene N constantes arbitrarias. Si se determinan estas constantes, tenemos una soluci´on particular.

Ejemplo: y′^ · x − x^2 − y = 0 Ensayamos una soluci´on del tipo y = A · x^2 + B · x ; y′^ = 2 · A · x + B

x · (2 · A · x + B) − x^2 − (A · x^2 + B · x) = 0

(A − 1) · x^2 = 0 ⇒ A = 1

y = x^2 + B · x , ∀B

Ejemplo: Cuerpo en ca´ıda libre con fricci´on del aire.

m ·

dv dt

= m · g − b · v ; b = Cte > 0

Para encontrar la soluci´on general hay que encontrar la soluci´on de la ecuaci´on homog´enea y una particular, y sumarlas. El m´etodo para encontrar la ecuaci´on homog´enea es eliminar el t´ermino que no depende de la funci´on ni de sus derivadas (en este caso m·g).

m ·

dv dt

= −b · v ⇒ vH = C · e−^ mb ·t

Para encontrar la soluci´on particular, probamos una soluci´on constante vp.

m ·

dvp dt

= 0 = m · g − b · vp ⇒ vp =

m · g b

Cap´ıtulo 1

Ecuaciones Diferenciales de

Primer Orden

1.1. Teorema de existencia y unicidad de solu-

ciones

Dada una ecuaci´on diferencial dy dx = f (x, y) en un recinto del plano tal que se cumple que y(x 0 ) = y 0 en ese dominio, existe al menos una soluci´on para esa ecuaci´on:

1. Si f (x, y) es una funci´on cont´ınua en x e y en el dominio, y
2. si admite derivada parcial 1 respecto de y y ´esta es cont´ınua en el dominio, entonces la soluci´on es ´unica.

Explicaci´on del teorema:

dy dx

= f (x, y) ⇒ y = y 0 +

∫ f (x′, y(x′)) · dx′

Por el punto 1., si f (x, y) es cont´ınua, existe la integral y por lo tanto existe la solu- ci´on. El punto 2. nos asegura la unicidad si la derivada de la funci´on respecto de y est´a definida y es cont´ınua. Esta es una condici´on suficiente de existencia, pero no necesaria, es decir, puede ocurrir que f (x, y) no sea cont´ınua y sin embargo exista la soluci´on.

(^1) Dada f (x, y), se define su derivada parcial como el l´ımite cuando el incremento de una de sus variables tiende a zero, manteniendo la otra constante. Su significado es la variaci´on de la funci´on en esa direcci´on. ∂f ∂x = l´ hım→ 0

f (x + h, y) − f (x, y) h ∂f ∂y = l´^ kım→^0

f (x, y + k) − f (x, y) k

1.1 Teorema de existencia y unicidad de soluciones 11

Ejemplo: (Figura 1.1)

x · y′^ − 3 · y = 0 ⇒ y = C · x^3

f (x, y) = (^3) x·y , no es cont´ınua en x = 0 ∂f ∂y =^

3 x , no es cont´ınua en^ x^ = 0 En esta ecuaci´on, la f (x, y) no tiene definida su pendiente en x = 0 (∂f ∂y |x=0 → ∞). Sin embargo, la ecuaci´on s´ı tiene soluci´on, aunque no es ´unica, ya que en ese punto podemos acoplar una soluci´on con otra y se puede escribir as´ı:

y(x) =

{ A · x^3 x ≥ 0 B · x^3 x < 0

Ejemplo: (Figura 1.2)

dy dx

y^2

∫ y^2 · dy =

∫ dx ⇒

· y^3 = x + C′

y = 3

3 · x + C

f (x, y) = (^) y^12 , no es cont´ınua en y = 0 ∂f ∂y =^

− 2 y^3 , no es cont´ınua en^ y^ = 0 Ejemplo: (Figura 1.3)

dy dx

y x

∫ (^) dy y

∫ (^) dx x

⇒ ln y = − ln x + C′

y(x) = C x C′^ ≡ ln C

f (x, y) = − xy , no es cont´ınua en x = 0 ∂f ∂y =^

− 1 x , no es cont´ınua en^ x^ = 0 Aqu´ı vemos como existen soluciones de la ecuaci´on, pero no existe ninguna que pase por el origen (problema causado por su discontinuidad)

Se llama soluci´on general de una ecuaci´on diferencial de primer orden a una funci´on que depende de una constante arbitraria y(x) = γ(x, C) tal que: a) Satisface la ecuaci´on dy dx = f (x, y) (dada) para todas las C. b) Dadas unas condiciones iniciales o de contorno y(x 0 ) = y 0 , existe C 0 que satisface la ecuaci´on Se llama soluci´on particular a la soluci´on que toma un valor concreto de C. Se llama soluci´on impl´ıcita a una soluci´on general dada de la forma Φ(x, y, C) =

1.2 Ecuaciones de Variables Separables 13

Ejemplo: dy dx = 2^ ·^ x^ ⇒^ y(x) =^ x

(^2) + C (soluci´on general)

Para C = 0 ⇒ y(x) = x^2 (soluci´on particular)

Ejercicio: Dada una soluci´on, puedo encontrar una ecuaci´on diferencial que la satisfaga? y(x) = C · x^2 C = (^) xy 2 dy dx = 2^ ·^ C^ ·^ x

} dy dx = 2^ ·^

y x

1.2. Ecuaciones de Variables Separables

Se llaman as´ı las ecuaciones diferenciales de primer orden donde la funci´on f (x, y) se puede escribir como una funci´on g(x) por otra funci´on h(y).

dy dx

= f (x, y) = g(x) · h(y) ⇒

dy h(y)

= g(x) · dx ⇒

∫ (^) dy h(y)

∫ g(x) · dx

Ejemplo:

y ·

dy dx

= x · y + x ⇒ y · dy = x · (y + 1) · dx ⇒

y y + 1

· dy = x · dx

∫ (^) y y + 1

· dy =

∫ x · dx ⇒ y − ln (1 + y) = 12 · x^2 + C

Otra forma de presentar estas ecuaciones es M (x)·dx+N (y)·dy = 0. Por integraci´on directa encontramos una soluci´on impl´ıcita:

∫ M (x) · dx +

∫ N (y) · dy = 0. Ejemplo:

(1 + x) · y · dx + (1 − y) · x · dy = 0 ⇒ (1 + x) · y · dx = (y − 1) · x · dy ∫ (^) y − 1 y

· dy = C +

∫ (^) 1 + x x

· dx ⇒ y − ln y − x − ln x = C

1.3. Ecuaciones Homog´eneas

Se llaman as´ı las ecuaciones diferenciales cuya f (x, y) solamente depende del cociente entre las variables, es decir, es del tipo g( y x ). Se resuelven mediante un

cambio de variables: y = v · x ⇒ dy dx = d( dxv·x ) = x · dv dx + v. Con este cambio, la ecuaci´on queda de variables separables:

dy dx

= g

( (^) y x

) ⇒ x ·

dv dx

• v = g(v) ⇒

dv g(v) − v

dx x

Por integraci´on sacaremos una funci´on v(x), y a cont´ınuaci´on desharemos el cambio y tendremos y(x) = x · v(x).

14 1. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Ejemplo: dy dx

2 · y^2 + x^2 x · y

y x

x y

y = v · x ⇒

dy dx

= x ·

dv dx

• v

x ·

dv dx

• v = 2 · v +

v

∫ (^) v

v^2 + 1

· dv = C +

∫ (^) dx

x 1 2

· ln (1 + v^2 ) = ln x + ln C ⇒ 1 + v^2 = C · x^2 ⇒ v =

C · x^2 − 1

y = v · x = x ·

C · x^2 − 1 ⇒ x^2 + y^2 = C · x^4

1.4. Ecuaciones que se Reducen a Homog´eneas

Son del tipo dy dx = (^) aa′··xx++bb′··yy++cc′ a, b, c, a′, b′, c′^ ∈ ℜ. Estudiemos caso a caso:

1. c = c′^ = 0: Se divide el numerador y el denominador de la ecuaci´on por x para conseguir una ecuaci´on homog´enea.

dy dx

a · x + b · y a′^ · x + b′^ · y

dy dx

a + b · y x a′^ + b′^ · y x

1. ∀c, c′: Hacemos un cambio de variables para intentar simplificar la ecuaci´on.

x ≡ v + d y ≡ u + e

} ⇒

dy dx

a · (v + d) + b · (u + e) + c a′^ · (v + d) + b′^ · (u + e) + c′

Donde u y v son variables, y d y e son constantes a determinar. Para determinar las constantes, hacemos un sistema de ecuaciones que nos permita deshacernos de los t´erminos independientes en el numerador y en el denominador:

a · d + b · e + c = 0 a′^ · d + b′^ · e + c′^ = 0

} ( a b a′^ b′

) ·

( d e

)

( −c −c′

)

Este sistema solamente tendr´a soluci´on cuando

∣∣ ∣∣ ∣

a b a′^ b′

∣∣ ∣∣ ∣ 6 = 0. Si esto se cumple,

la ecuaci´on nueva queda du dv = (^) aa′··vv++bb·′u·u → du dv = a+b·^

u v

∣^ a′+b′·^ u^ v^ , que ya es homog´enea. Si ∣∣ ∣∣^ aa^ ′ bb′

∣∣ ∣∣ ∣ = 0 , entonces no podemos resolver el sistema. Sin embargo, si esto ocurre, se cumple que el cocientes entre a y a′, y entre b y b′^ son iguales a una constante λ. Si esto se da, podemos usar otro m´etodo de resoluci´on:

a′ a

b′ b

= λ ⇒

dy dx

a · x + b · y + c λ · (a · x + b · y) + c′

Hacemos el cambio de variable z = a · x + b · y ⇒ dz dx = a + b · dy dx ⇒ (^) dxdy = (^1) b

( (^) dz dx −^ a

)

b

dz dx

a b

z + c λ · z + c′^

dz b ·

( (^) a b +^

z+c λ·z+c′

) (^) = dx ⇒ x = C +

∫ (^) dz

b ·

( (^) a b +^

z+c λ·z+c′

)

16 1. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

∂Q

∂x

∂P

∂y

∂Q

∂x

∂P

∂y

Y llegamos a la hip´otesis de salida, y vemos que funciona solamente en el caso que ∂Q ∂x =^

∂P ∂y se cumpla.

Ejemplo: 2 · x · y · dx + (x^2 + cos y) · dy = 0

P (x, y) = 2 · x · y ⇒ ∂P ∂y = 2 · x Q(x, y) = (x^2 + cos y) ⇒ ∂Q ∂x = 2 · x

} ⇒ ∃ψ(x, y) / dψ = 0

P =

∂ψ ∂x

= 2 · x · y ⇒ ψ(x, y) =

∫ 2 · x · y · dx + γ(y, C) = x^2 · y + γ(y, C)

Q = x^2 + cos y =

∂ψ ∂y

∂y

[x^2 · y + γ(y, C)] = x^2 +

dγ dy dγ dy

= cos y ⇒ γ(y) = sen y

ψ(x, y) = x^2 · y + sen y = C Ejemplo: 2 · ex^ · y · dy + (y^2 · ex^ − 1) · dx = 0

P (x, y) = y^2 · ex^ − 1 ⇒ ∂P ∂y = 2 · y · ex Q(x, y) = 2 · y · ex) ⇒ ∂Q ∂x = 2 · y · ex

} ⇒ ∃ψ(x, y) / dψ = 0

P =

∂ψ ∂x

= y^2 · ex^ − 1 ⇒ ψ(x, y) =

∫ (y^2 · ex^ − 1) · dx + γ(y, C) = y^2 · ex^ − x + γ(y, C)

Q = 2 · y · ex^ =

∂ψ ∂y

∂y

[y^2 · ex^ − x + γ(y, C)] = 2 · y · ex^ +

dγ dy dγ dy

= 0 ⇒ γ(y) = −C

ψ(x, y) = y^2 · ex^ − x − C y^2 · ex^ − x = C

1.6. Ecuaciones Lineales de Primer Orden

Se llaman as´ı todas las ecuaciones diferenciales con la forma dy dx + P (x) · y = Q(x). Si P (x) y Q(x) son funciones cont´ınuas en x, definimos la funci´on y(x) como producto de otras dos funciones, y(x) = u(x) · v(x):

y(x) = u(x) · v(x) ⇒

dy dx

du dx

· v(x) +

dv dx

· u(x)

du dx

· v(x) +

dv dx

· u(x) + P (x) · u(x) · v(x) = Q(x)

u ·

( P (x) · v(x) +

dv dx

)

du dx

· v(x) = Q(x)

1.6 Ecuaciones Lineales de Primer Orden 17

Para resolver eso, cogemos una v(x) particular, que cumpla la ecuaci´on P (x) · v(x) + dv dx = 0 (ecuaci´on homog´enea). Con ello, simplificamos la ecuaci´on anterior a^

du dx · v(x) = Q(x), con v(x) conocida.

dv dx

• P (x) · v = 0 ⇒

dv v

= −P · dx ⇒ ln v = −

∫ P (x) · dx ⇒ v = e−^

∫ P (x)·dx

v ·

du dx

= Q ⇒ du =

Q

v

· dx ⇒ u = C +

∫ Q

v

· dx

y = u · v ⇒ y(x) = v ·

[ C +

∫ dx ·

Q(x) v

]

Ejemplo: dy dx − (^) x+1^2 · y = (x + 1)^3

y = u · v ;

dy dx

du dx

· v(x) +

dv dx

· u(x) ⇒

du dx

· v(x) +

dv dx

· u(x) −

x + 1

· u · v = (x + 1)^3

u ·

( (^) dv dx

x + 1

· v

)

du dx

· v = (x + 1)^3

dv dx

x + 1

· v = 0 ⇒

dv v

x + 1

· dx

ln v = 2 · ln (x + 1) ⇒ v(x) = (x + 1)^2 du dx

· (x + 1)^2 = (x + 1)^3 ⇒

du dx

= x + 1 ⇒ u(x) =

x^2 2

• x + C

y(x) =

( (^) x 2 2 +^ x^ +^ C

) (x + 1)^2

PROBLEMA DE EXAMEN: Resolver la ecuaci´on diferencial (1 + y^2 ) · x · dx + (1 + x^2 ) · dy = 0. M´etodo de resoluci´on:

1. Mirar de qu´e tipo es. Si dividimos esta ecuaci´on por x, nos queda una ecuaci´on de variables separables, del tipo P (y) · dx + Q(x) · dy = 0:

(1 + y^2 ) · dx +

1 + x^2 x

· dy = 0

1. Aplicar el m´etodo de resoluci´on para ese tipo: Podemos resolverla integrando lado a lado de la forma −

∫ (^) dx Q(x) =^

∫ (^) dy P (y). ∫ (^) dy 1 + y^2

= ln C −

∫ (^) x 1 + x^2

· dx

arc tg y = ln C −

· ln (1 + x^2 ) = ln

√ C

1 + x^2

⇒ y(x) = tg

[ ln

( (^) C √1+x 2

)]

2.3 Ecuaciones de Segundo orden que se reducen a primero 19

1. y(n^ = f (x) ; y(n−^1 = C 1 +

∫ f (x′) · dx′ y(n−^2 = C 2 + C 1 · x +

∫ dx′^

∫ f (x′′) · dx′′

Ejemplo: y′′^ = sen (k · x)

dy dx

= v ⇒

dv dx

= sen (k · x) ⇒ v = C 1 +

∫ sen (k · x′) · dx′^ = C 1 −

cos (k · x) k

y = C 2 +

∫ v(x′)·dx′^ = C 2 +

∫ (^) ( C 1 −

cos (k · x′) k

)·dx′^ ⇒ y(x) = C 2 + C 1 · x − sen ( k 2 k·x)

2.3. Ecuaciones de Segundo orden que se reducen

a primero

Son ecuaciones en las que a f

( x, y(x), y′(x)

) les falta el t´ermino en x o el t´ermino en y(x).

Estudiemos primero el caso y′′(x) = f

( x, y′(x)

) : Para resolver este prob- lema hacemos un cambio de variables p(x) ≡ dy dx ⇒ dp dx = d

(^2) y dx^2. Haciendo esto nos queda una ecuaci´on (^) dxdp = f (x, p) de la que sacaremos la funci´on p(x). Una vez tenemos la funci´on p(x), por integraci´on directa, podemos sacar y(x).

Generalizaci´on: Una ecuaci´on diferencial del estilo y(n(x) = f

( x, y(n−^1 (x)

) se puede resolver mediante el cambio p(x) ≡ d

n− (^1) y dxn−^1. Una vez integrada la ecuaci´on (de primer orden en p(x)) podemos determinar, por n-1 integraciones directas, la funci´on y(x).

A cont´ınuaci´on, veamos el caso y′′(x) = f

( y(x), y′(x)

) : Aqu´ı se opera de forma similar: en primer lugar haremos el cambio p(x) ≡ dy dx. Ahora, por la regla de la cadena, podemos afirmar que d

(^2) y dx^2 =^

dp dx =^

dp dy ·^

dy dx =^

dp dy ·^ p. Despu´es de este cambio tenemos una ecuaci´on diferencial : dp dy · p = f (y, p). Una vez tenemos la funci´on p(y, C 1 ), podemos resolver la ecuaci´on p = dy dx de forma que x = C 2 +

∫ (^) dy p(y,C 1 ). Ejercicio: Determinar la velocidad radial m´ınima con la que se debe lanzar un cuerpo verticalmente hacia arriba para que no regrese a la Tierra. Despreciar la resistencia del aire.

F = −G ·

M⊕ · m r^2

= m ·

d^2 r dt^2

{ r(t = 0) = R⊕ r ˙(t = 0) ≡ dr dt |t=0 =?

v ≡

dr dt

d^2 r dt^2

dv dt

dv dr

· v = −G ·

M⊕

r^2

v · dv = −G · M⊕

dr r^2

· v^2 =

G · M⊕

r

• U 0 t →→^0

v 0 2

G · M⊕

R⊕

+ U 0

20 2. Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior

U 0 =

v 0 2

G · M⊕

R⊕

· (v^2 − v^20 ) = G · M⊕

r

R⊕

)

Ahora, en lugar de seguir integrando, usaremos una condici´on de contorno: que el l´ımite cuando r tiende a infinito hace que v sea nula (para que nosotros le demos la m´ınima energ´ıa).

vl´ım→ 0

[ 1

· (v^2 − v^20 )

] = l´r→∞ım

[ G · M⊕

r

R⊕

)]

· (0^2 − v 02 ) = G · M⊕

R⊕

) ⇒ v 0 =

√ (^2) ·G·M ⊕ R⊕

2.4. Ecuaciones Diferenciales de Orden n, Lineales

y Homog´eneas

Se llaman as´ı las ecuaciones diferenciales de la forma y(n^ = f (x, y, y′, ..., y(n−^1 ). Teorema: Dadas n soluciones de una ecuaci´on diferencial de orden n, lineal y homog´enea, y 1 ,... , yn. Entonces cualquier combinaci´on lineal de estas soluciones, y =

∑n k=1 ck^ ·^ yk^ tambi´en es soluci´on.

Definici´on: Dos soluciones de una ecuaci´on diferencial yi(x), yj (x), i 6 = j son linealmente independientes en un intervalo [a,b] si su raz´on no es constante en ese intervalo. Se llaman linealmente dependientes a las soluciones que cumplan una relaci´on del tipo yi = λ · yj ; λ ∈ ℜ. Definici´on: Dadas n funciones y 1 (x),... , yn(x), definimos su determinante wron- skiano, W, como:

W =

∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣

y 1 y 2... yn y 1 ′ y 2 ′... y′ n .. .

....^

y( 1 n y( 2 n... y(nn

∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣

Teorema: Si dos funciones y 1 (x),y 2 (x) son linealmente dependientes en el inter- valo [a,b], entonces su determinante wronskiano ser´a nulo en ese intervalo. Demostraci´on:

W =

∣∣ ∣∣ ∣

y 1 y 2 y 1 ′ y′ 2

∣∣ ∣∣ ∣ =

∣∣ ∣∣ ∣

y 1 λ · y 1 y 1 ′ λ · y 1 ′

∣∣ ∣∣ ∣ =^ λ^ ·^ y^1 ·^ y

′ 1 −^ λ^ ·^ y^1 ·^ y

′ 1 = 0 ;^ c.q.d.