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Tema 5: Probabilidad de sucesos aleatorios
Tipos de experimentos
Espacio muestral
E (Finito, Infinito numerable, Infinito no numerable) Los elementos del espacio muestral se denominan sucesos elementales. Se llama suceso seguro a aquel que siempre se verifica despu´es del experimento aleatorio, es decir, el mismo E y suceso imposible a aquel que nunca se verifica como resultado del experimento aleatorio, ∅. Se llama complementario o contrario de A al suceso que se verifica si, como resultado del experimento aleatorio, no se verifica A: A = E − A
Operaciones con sucesos
- Uni´on: A ∪ B.
- Intersecci´on: A ∩ B.
- Diferencia: A − B. A − B = A ∩ B.
- Diferencia sim´etrica: A M B. A M B = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) = (A ∪ B) − (A ∩ B) = (A − B) ∪ (B − A).
Figure 1: Diferencia sim´etrica: A M B.
- Complementario o contrario: A = E − A
Suceso imposible: ∅ Sucesos incompatibles: A ∩ B = ∅
Figure 2: A ∪ B, A ∩ B, A − B y A
Propiedades de las operaciones con sucesos
Uni´on ∪ Intersecci´on ∩
Idempotente A ∪ A = A A ∩ A = A Asociativa A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C Simplificaci´on A ∪ (A ∩ B) = A A ∩ (A ∪ B) = A Commutativa A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A Distributiva A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) Elementos neutros A ∪ ∅ = A A ∩ E = A Leyes de Morgan A ∪ B = A ∩ B A ∩ B = A ∪ B Otras A = A, A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B)
Algebra de Boole de sucesos^ ´
Sea E el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio. Sea A una clase constituida por sucesos de E que verifican las siguientes propiedades:
- E ∈ A
- A, B ∈ A ⇒ A ∪ B ∈ A
- A ∈ A ⇒ A ∈ A
A A se le llama ´algebra de Boole de sucesos (finita). Nota. Una clase no vac´ıa A formada por ciertos subconjuntos del espacio muestral E se dice es una σ- ´algebra de sucesos si los sucesos complementarios de aquellos que est´an en A tambi´en est´an en A, as´ı como sus uniones numerables (sean finitas o infinitas). Estas propiedades relativas a la complementariedad y a las uniones finitas las verifica el conjunto denominado partes de E, ℘(E), formado por todos los subconjuntos de E, cuando el conjunto E de los posibles resultados de un experimento aleatorio sea finito. Si E es un conjunto infinito no numerable como R, R+, o subconjuntos suyos en forma de intervalos, entenderemos que el σ-´algebra asociada es la formada por todos los intervalos abiertos, cerrados o semi- abiertos (lo que incluye en particular a los puntos), y sus uniones finitas. Lo notaremos tambi´en por ℘(E).
Frecuencias
- Frecuencia absoluta de un suceso A, nA: n´umero de veces que se presenta el suceso A al repetir n veces el experimento.
- Frecuencia relativa de un suceso A, fA: proporci´on de veces que se presenta el suceso A al repetir n veces el experimento, fA =
nA n
- Propiedades Frecuencias absolutas Frecuencias relativas
0 ≤ nA ≤ n 0 ≤ fA ≤ 1 nE = n fE = 1 n∅ = 0 f∅ = 0 nA∪B = nA + nB − nA∩B fA∪B = fA + fB − fA∩B As´ı, cuando A y B son incompatibles (A ∩ B = ∅), nA∪B = nA + nB.
En los experimentos aleatorios se observa que cuando el n´umero de experimentos aumenta, las frecuencias relativas con las que ocurre cierto suceso A, fA, tiende a converger hacia cierta cantidad. Esta es la noci´on frecuentista de probabilidad. Sin embargo esta definici´on no es operativa en la pr´actica pues se requiere realizar un n´umero infinito de veces un experimento para calcular una probabilidad (como evaluar la prob- abilidad de que una pieza sea defectuosa) e incluso hay experimentos aleatorios que no se puede realizar (como evaluar la probabilidad de morir jugando a la ruleta rusa).
Figure 3: Sucesos dependientes e independientes
Teorema de la probabilidad total
Sea {Ai}, i = 1,... , n un sistema completo de sucesos con P (Ai) > 0 , i = 1,... , n y B un suceso, B ∈ ℘(E). Entonces:
P (B) =
∑^ n
i=
P (B | Ai)P (Ai).
Teorema de Bayes
Sea {Ai}, i = 1,... , n un sistema completo de sucesos con P (Ai) > 0 , i = 1,... , n y B un suceso, B ∈ ℘(E) con P (B) > 0. Entonces:
P (Ai | B) =
P (B | Ai)P (Ai) ∑^ n
i=
P (B | Ai)P (Ai)
Aplicaciones a los test diagn´osticos
Se llama Sensibilidad de un test para el diagn´ostico de una enfermedad a la probabilidad de el test de positivo en una persona que padece la enfermedad y Especificidad a la probabilidad que el test de negativo en una persona que no la padece. La sensibilidad y especificidad se denominan tambi´en respectivamente proporci´on de verdaderos positivos y de verdaderos negativos. Antes de utilizar el test diagn´ostico se calculan de modo aproximado, considerando grupos suficientemente numerosos de personas de las que sabe si padecen la enfermedad o no, y estimando las proporciones correspondientes. Interesa, sin embargo, la probabilidad de que realmente se est´e enfermo si se dio positivo (´ındice predictivo de verdaderos positivos), o la de que est´e sano si le dio negativo (´ındice predictivo de verdaderos negativos). Usamos la siguiente notaci´on: E = padecer la enfermedad, P (E) = Prevalencia, E = no padecer la enfermedad, P (E) = 1−P (E), T +^ = dar positivo en el test, P (T +^ | E) = Sensibilidad, T −^ = dar negativo en el test, P (T −^ | E) = Especificidad. La probabilidad de estar enfermo si se dio positivo es entonces,
P (E | T +) =
P (T +^ | E)P (E)
P (T +)
P (T +^ | E)P (E)
P (T +^ | E)P (E) + P (T +^ | E)P (E)
ya que {E, E} es un sistema completo de sucesos. De forma an´aloga, la probabilidad de estar sano si se dio negativo es entonces,
P (E | T −) =
P (T −^ | E)P (E)
P (T −)
P (T −^ | E)P (E)
P (T −^ | E)P (E) + P (T −^ | E)P (E)
