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RELACI ON DE PROBLEMAS DEL TEMA 4´
1 o) Hallar las soluciones particulares de las ecuaciones que a continuaci´on se indican: a) Soluci´on particular de y′^ = xy^2 + x, que pasa por el origen. b) Soluci´on particular de x + ycosx + y′senx = 0, que pasa por ( π 2 , 0). c) Soluci´on particular de cos xdy + ysenxdx − cos
(^2) xsenx sen^2 x+2 cos^2 x dx^ = 0, que pasa por el origen. d) Soluci´on particular de x + 2(y′)^2 = 1, que pasa por el punto (1, 1). e) Soluci´on particular de y′^ = (^2) xy − 1, que pasa por el punto (1, −1). f) Soluci´on particular de xy′^ + y = xex, que pasa por el origen. Soluci´on: a) y=tg x
2 2 b)^ y^ =^
1 senx
π^2 8 −^
x^2 2
c) y=cosx
[ (^) π 4 −^ arctg( cos^ x)
]
d) y=1-
√ 2 3
1 − x
e) y=x-2x^2 g) xy-ex(x-1)=
2 o) Sabiendo que la velocidad de crecimiento de una cierta poblaci´on no saturada es directamente proporcional al n´umero de individuos existente en cada instante, hallar el tiempo necesario para que se triplique, sabiendo que se duplica en 50 a˜nos. Soluci´on: 79 a˜nos
3 o) Si el n´umero incial de par´asitos en un cierto medio era de 100, y al cabo de una hora se hab´ıa triplicado, deducir la ley de crecimiento. Soluci´on: y(t)=100· 3 t
4 o) En el proceso de conservaci´on de alimentos, el az´ucar de ca˜na experimenta una inversi´on convirti´endose en una mezcla de fructosa y glucosa. En soluci´on diluida, la tasa de inversi´on es proporcional a la concentraci´on de az´ucar no alterado. Si dicha concentraci´on es de 1/50 en el instante inicial y de 1/ al cabo de 3 horas, hallar la concentraci´on de az´ucar no alterado despu´es de 6 horas. Soluci´on: 8001
5 o) En 1977, la tasa de carbono 12 radiactivo de un pedazo de carb´on que se encontr´o en Stonehenge, en el sur de Inglaterra, era de 4,16 desintegraciones por minuto y gramo. Sabiendo que la semivida del carbono 12 radiactivo es 5. a˜nos y que la tasa de radiactividad de un ´arbol vivo es de 6,68 desintegraciones por minuto y gramo, suponiendo que el ´arbol que se quem´o para producir el carb´on se cort´o durante la construcci´on de Stonehenge, estimar la fecha de dicha construcci´on. Soluci´on: Hace 3915 a˜nos, es decir, el a˜no 1938 a.C.
6 o) La sala de disecci´on de un forense se mantiene fr´ıa a temperatura cons-tante de 5oC. Mientras se encontraba realizando la autopsia de un mafioso que hab´ıa
muerto de forma violenta, el forense es asesinado y el cuerpo del delincuente robado. A las 10 de la ma˜nana el ayudante del forense descubre su cad´aver a una temperatura de 23oC y llama a la polic´ıa. A mediod´ıa llega ´esta y comprueba que la temperatura del cad´aver es de 18,5oC. Partiendo de que el forense ten´ıa en vida una temperatura corporal de 37oC, deducir la hora del crimen. Soluci´on: A las 6 de la ma˜nana
7 o) La concentraci´on de una sustancia en el organismo desciende a una velo- cidad directamente proporcional al cuadrado de la misma. Si la concentraci´on inicial era de 0, 25 g y transcurrida una hora hab´ıa descendido a la mitad, obtener el modelo que representa la concentraci´on de sustancia en funci´on del tiempo y calcular la concentraci´on al cabo de 2 horas. Soluci´on: 121 g
8 o) Se realiza un cultivo de 30 colonias de bacterias y se observa que el n´umero inicial ha pasado a 50 en una hora. Deducir el modelo de crecimiento as´ı como el n´umero esperado de colonias al cabo de 4 horas. Soluci´on: y(t)=
3
)t ; al cabo de 4 horas : y( 4 ) =231 colonias
9 o) Un cierto elemento se desintegra a una velocidad proporcional al cuadrado de la cantidad existente. Si en el instante inicial hab´ıa 1g de actividad y transcur- rido un a˜no se hab´ıa reducido a la mitad, hallar la ecuaci´on de desintegraci´on del elemento, as´ı como la masa rediactiva al cabo de 3 a˜nos. Soluci´on: y(t)= (^) t+1^1 ; la masa radiactiva al cabo de 3 a˜nos ser´a:y(3)=0,25g
10 o) Un suero que se encuentra a 40oC se deja toda la noche a la intemperie, siendo dicha temperatura exterior de 5oC. A la ma˜nana siguiente, transcurridas 8 horas, la temperatura del suero hab´ıa descendido a 10oC. Deducir el modelo de enfriamiento, as´ı como la temperatura a la que se encontraba el suero a las 2 horas desde que se sac´o al exterior. Soluci´on: y(t)=5+ (^735) t/ 8 ; al cabo de 2 horas la temperatura era: y(2)=26,5o
11 o) Un m´ovil se desplaza a una velocidad igual al doble de su distancia a un punto fijo aumentada en 3 unidades en cada instante. Sabiendo que en el instante inicial la velocidd era igual a 1, deducir la ecuaci´on del movimiento. Soluci´on: s= 12 (e^2 t-3)
