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Tema 6: Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad
Variable aleatoria
Dado un espacio probabil´ıstico (E, ℘(E), P ), una aplicaci´on X : E −→ R es una variable aleatoria si para todo x ∈ R, Ax = X−^1 ((−∞, x]) = {s ∈ E | X(s) ≤ x} ∈ ℘(E). As´ı, dado B ⊂ R, se induce una probabilidad identificando los sucesos A y B donde A = {s ∈ E | X(s) ∈ B}. Al conjunto de posibles valores que puede tomar la variable aleatoria se le llama rango, RX y seg´un sea finito, infinito numerable o infinito no numerable la variable aleatoria se denomina discreta (de rango finito o infinito) o continua, respectivamente.
Distribuci´on de probabilidad de una variable aleatoria discreta
La distribuci´on de probabilidades de la variable aleatoria discreta X es (xi, pi). Especifica los valores de la variable aleatoria X, es decir, su rango RX = {x 1 ,... , xn,... } junto con las probabilidades de que la variable tome cada uno de los valores que puede tomar, pi = P (X = xi) = P (s ∈ E | X(s) = xi), i = 1,... , n,... siempre que se cumpla:
- 0 ≤ pi ≤ 1
i
pi = 1
Caracter´ısticas de una variable aleatoria discreta
Dada una variable aleatoria discreta X, con distribuci´on de probabilidades (xi, pi), se define:
i
xipi
- Varianza: V (X) = E(X − E(X))^2 F´ormula abreviada:
V (X) = E(X − E(X))^2 = E(X^2 ) − E(X)^2 , donde E(X^2 ) =
i
x^2 i pi.
- Desviaci´on t´ıpica: σX =
V (X)
- Funci´on de distribuci´on: F (x) = P (X ≤ x) Notar que la funci´on de distribuci´on de una variable aleatoria es una funci´on real de variable real F : R −→ [0, 1]. Si x es un valor menor que el primer valor de la variable estad´ıstica X, x 1 , ser´a F (x) = P (X ≤ x) = P (∅) = 0. Cuando x 7 → ∞ ser´a lim F (x) = lim P (X ≤ x) = P (E) = 1 (si el rango de la variable es finito, RX = {x 1 ,... , xn} y x ≥ xn, ser´a F (x) = P (X ≤ x) = P (E) = 1). Adem´as, si x es un valor intermedio entre dos consecutivos xj y xj+1 ser´a F (x) = P (X ≤ x) = P (X ≤ xj ) = F (xj ) =
∑j i=1 pi^ y por tanto^ pi^ =^ F^ (xi)^ −^ F^ (xi−^1 ). La funci´on de distribuci´on ser´a una funci´on constante a trozos con discontinuidades en los puntos donde la variable aleatoria tome sus valores y con salto finito de valor pi.
Cuando el rango de la variable estad´ıstica es infinito numerable, las sumas involucradas en su esperanza y varianza son infinitas, y pueden no proporcionar un valor finito. Es posible entonces que una variable aleatoria discreta no tenga esperanza y/o varianza. Adem´as, en estos casos el grado de complejidad a la hora de calcular esperanzas y varianzas aumenta.
Bernouilli
Consid´erese un experimento con las siguientes propiedades:
- El resultado puede clasificarse dentro de una de las dos categor´ıas: ´exito o fracaso
- La probabilidad de ´exito es p y la de fracaso q = 1 − p
Sea la variable aleatoria: X (´exito) = 1, y X (fracaso) = 0
- Distribuci´on de probabilidades:
P (X = 1) = p y P (X = 0) = q
- Esperanza E (X) = p E(X) = 0 · P (X = 0) + 1 · P (X = 1) = p
- Varianza V (X) = pq
E(X^2 ) = 0^2 · P (X = 0) + 1^2 · P (X = 1) = p ⇒ V (X) = E(X^2 ) − E(X)^2 = p − p^2 = p(1 − p) = pq
- Funci´on de distribuci´on
F (x) =
0 x < 0 q 0 ≤ x < 1 1 1 ≤ x En una tabla: xi pi xipi x^2 i pi Pi 0 q 0 0 q 1 p p p q + p p p
Binomial
Consid´erense repeticiones de un experimento con las siguientes propiedades:
- El resultado de cada repetici´on puede clasificarse dentro de una de las dos categor´ıas: ´exito o fracaso (Bernouilli)
- La probabilidad de ´exito p es constante en cada repetici´on del experimento
- Cada experimento es independiente de los dem´as
- El experimento se repite un n´umero finito de veces, n
Sea la variable aleatoria que cuenta el n´umero de ´exitos en las n repeticiones
X = n´umero de ´exitos en las n repeticiones X B(n, p) RX = { 0 , 1 , 2 ,... , n}
- Distribuci´on de probabilidades:
P (X = r) =
n r
pr^ qn−r^ r = 0, 1 ,... , n
ya que con r ´exitos en n repeticiones tenemos
(n r
sucesos de la forma
E E
r · · · · · · E E E
n − r · · · · · · E
con probabilidad (dada la independencia) pr^ qn−r^.
- Esperanza E (X) = λ
- Varianza V (X) = λ
- Aproximaci´on de la Binomial
X B (n, p) , n → ∞, p → 0 y np → cte. ⇒ X ' P (np)
- Tablas. Ejemplo. Suponiendo que el n´umero de antigripales demandados en una farmacia durante un d´ıa sigue una distribuci´on de Poisson de par´ametro λ = 8 unidades, la probabilidad de que se demanden 2 antigripales al d´ıa es:
P (X = 2) = e−^8
= 3. 3546 × 10 −^4
Existen tablas que proporcionan las probabilidades puntuales para ciertos valores del par´ametro de la distribuci´on de Poisson.
Distribuci´on de probabilidad de una variable aleatoria continua
X es una variable aleatoria continua si existe una funci´on real de variable real f : R −→ R llamada funci´on de densidad de X que cumple:
- f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R
−∞
f (x)dx = 1
Entonces,
P (a ≤ X ≤ b) =
∫ (^) b
a
f (x)dx.
Notar que para especificar una variable aleatoria continua es preciso dar una funci´on real de variable real que cumpla las dos condiciones anteriores. Notar tambi´en que f no mide ninguna probabilidad y que todos los puntos tienen probabilidad nula, ya que:
P (X = x 0 ) = P (x 0 ≤ X ≤ x 0 ) =
∫ (^) x 0
x 0
f (x)dx = 0.
Adem´as,
P (a ≤ X ≤ b) = P (a < X ≤ b) = P (a ≤ X < b) = P (a < X < b) =
∫ (^) b
a
f (x)dx.
La segunda condici´on para que X sea una variable aleatoria continua,
−∞
f (x)dx = 1, implica que el
´area que encierra la gr´afica de la funci´on de densidad es finita aunque el recinto no lo sea. Es una integral definida en un intervalo no acotado:
∫ (^) b
−∞
f (x)dx = lim λ→−∞
∫ (^) b
λ
f (x)dx y
a
f (x)dx = lim λ→∞
∫ (^) λ
a
f (x)dx
Caracter´ısticas de una variable aleatoria continua
Dada una variable aleatoria continua X, con funci´on de densidad de probabilidades f (x), se define:
−∞
xf (x)dx
- Varianza: V (X) = E(X − E(X))^2 F´ormula abreviada:
V (X) = E(X − E(X))^2 = E(X^2 ) − E(X)^2 , donde E(X^2 ) =
−∞
x^2 f (x)dx.
- Desviaci´on t´ıpica: σX =
V (X)
- Funci´on de distribuci´on: F (x) = P (X ≤ x) =
∫ (^) x
−∞
f (t)dt
Es habitual cambiar el nombre de la variable de integraci´on (t) para no confundirla con la variable de la que son funciones tanto la densidad de la variable aleatoria X, f (x) como la funci´on de distribuci´on, F (x). Por el teorema fundamental del c´alculo,
F ′(x) = f (x).
Notar que la funci´on de distribuci´on de una variable aleatoria continua es una funci´on real de variable real F : R −→ [0, 1] que proporciona las probabilidades de los sucesos:
P (X ≤ b) = F (b), P (a ≤ X) = 1 − P (a ≤ X) = 1 − F (a), P (a ≤ X ≤ b) = F (b) − F (a).
Con la relaci´on anterior que da el teorema fundamental del c´alculo, dF (x) = F ′(x)dx = f (x)dx, y en muchos textos suelen venir expresadas las caracter´ısticas de la variable aleatoria en la forma:
E(X) =
−∞
xdF (x), E(X^2 ) =
−∞
x^2 dF (x)
Al igual que ocurre con las variables aleatorias discretas de rango infinito, la esperanza y/o la varianza pueden no existir.
Los valores de la funci´on de distribuci´on de la Normal est´andar se encuentran tabulados (aproximados con m´etodos de integraci´on num´erica). Existen diversos tipos de tablas, aunque las m´as usuales ofrecen los valores de F (z) para 0 ≤ z ≤ 3. En los siguientes gr´aficos se aborda c´omo calcular probabilidades de sucesos en los que interviene una distribuci´on Normal est´andar y no son necesariamente de la forma (Z ≤ z) o bien no se incluyen en las tablas citadas.
- C´alculo de probabilidades:
As´ı P (−a ≤ Z ≤ −a) = 2P (Z ≤ a) − 1. El problema inverso, dada una probabilidad p, de determinar el valor de a que cumple que P (Z < a) = p se suele resolver por interpolaci´on lineal o bien seleccionando de la tabla el valor m´as pr´oximo.
Distribuci´on Normal
Las variables normales tienen una funci´on de densidad con forma de campana a la que se llama campana de Gauss. Su funci´on de densidad es la siguiente:
f (x) =
σ
2 π
e−^
(^12) ( x−σ μ)^2
- Esperanza: E(X) = μ
- Varianza: V (X) = σ^2
- Funci´on de densidad La funci´on de densidad de la normal cumple las siguientes propiedades:
- el m´aximo de la curva coincide con la esperanza (en x = μ),
- es sim´etrica respecto a la media,
- la curva tiene dos puntos de inflexi´on situados a una desviaci´on t´ıpica de la media,
- es convexa entre ambos puntos de inflexi´on y c´oncava en ambas colas, y
- el eje OX es una as´ıntota horizontal
- Funci´on de distribuci´on: F (x) = P (X ≤ x) =
∫ (^) x
−∞
f (t)dt. Para aproximar estos valores (y
calcular probabilidades de sucesos en los que intervenga una distribuci´on normal cualquiera) se utiliza la tipificaci´on.
- Tipificaci´on: Al igual que ocurre con las variables estad´ısticas, los cambios de origen y escala afectan a la esperanza y la varianza de la siguiente forma: si Y = a + bX, E(Y ) = a + bE(X) y V (Y ) = b^2 V (X). Entonces, si X N (μ, σ), la variable tipificada Z =
X − μ σ cumple E(Z) = 0 y σZ = 1. Adem´as, tambi´en se cumple que Z N (0, 1), con lo que se pueden utilizar las tablas de la distribuci´on N (0, 1) para evaluar probabilidades de sucesos en las que interviene una distribuci´on normal cualquiera, N (μ, σ).
- Aproximaciones
- Aproximaci´on Normal de la Binomial (Teorema de Moivre): X B(n, p), n grande y ni p ni q pr´oximos a cero, entonces
X ' N (np,
npq) o bien
X − np √ npq
' N (0, 1).
- Aproximaci´on Normal de la Poisson: X P (λ), λ grande, entonces
X ' N (λ,
λ) o bien
X − λ √ λ
' N (0, 1).
