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Cap´ıtulo 5
Integraci´on de funciones
Este cap´ıtulo contiene las bases para la integraci´on de funciones de una varia- ble. Estudiaremos el concepto de integral de una funci´on en un intervalo y su relaci´on con el c´alculo de primitivas, o antiderivaci´on. Finalmente estudiare- mos algunas aplicaciones de la integraci´on.
5.1. Introducci´on
En Matem´aticas, se conoce como C´alculo Integral a un conjunto de t´ecnicas que nos permiten calcular ´areas de regiones determinadas por funciones. Si la regi´on tiene una forma simple (rectangular o triangular, por ejemplo), existen f´ormulas bien conocidas que nos permiten calcular su ´area. Esto nos permite calcular ´areas de regiones determinadas por pol´ıgonos, sin m´as que dividir dichas regiones en trozos simples.
Para regiones con bordes curvos, el problema se ha abordado desde la antig¨ue- dad mediante m´etodos aproximativos, que consisten en dividir la regi´on en infinitos trozos simples, de manera que al ir sumando las ´areas correspondientes vamos obte- niendo sucesivas aproximaciones del ´area que quer´ıamos calcular. La primera siste- matizaci´on conocida de este m´etodo, llamado de Exhausci´on, data ya del siglo IV a. de C. y puede considerarse como el primer ancestro conocido del C´alculo Integral.
El segundo ingrediente del C´alculo Integral moderno fue descubierto por New- ton y Leibniz a finales del siglo XVII, y es la relaci´on del c´alculo de ´areas con la derivaci´on de funciones, m´as concretamente, con el proceso inverso a la derivaci´on: el C´alculo de Primitivas. Este hecho, llamado Teorema Fundamental del C´alculo, nos permite obtener f´ormulas que calculan ´areas de regiones con bordes curvos con precisi´on.
112 CAP´ITULO 5. INTEGRACI ON DE FUNCIONES´
La importancia del C´alculo Integral en otros ´ambitos de la Ciencia radica en que muchos problemas de c´alculo en F´ısica, Qu´ımica, Biolog´ıa, Ingenier´ıa, etc, pueden transformarse en un c´alculo de ´areas. Consideremos por ejemplo el siguiente problema trivial:
Problema 1. Un grifo proporciona agua a un dep´osito a una velocidad de 20 litros por minuto. ¿Cu´antos litros de agua contendr´a el dep´osito despu´es de t minutos?
La soluci´on es, obviamente, 20t + C litros: 20t litros que se obtienen mediante una simple regla de tres, m´as C litros que podr´ıa contener el dep´osito en el tiempo inicial (cuyo valor no nos da el enunciado del problema).
Figura 5.1: Una funci´on constante y su integral.
Meditemos un poco sobre lo que estamos haciendo, a la luz de la teor´ıa de funciones. Denotando por t la variable tiempo, dos funciones aparecen en este pro- blema: por un lado tenemos la funci´on flujo proporcionado por el grifo, f (t), cuyo valor es, en cada momento igual a 20, y por otro lado tenemos la funci´on volumen contenido en el tanque, cuyo valor es v(t) = 20t + C.
Hay una relaci´on que ya conocemos entre estas dos funciones: la derivada en cada punto de la funci´on v(t) es g(t), dado que la gr´afica de v(t) es una recta, cuya pendiente es igual a 20. Por lo tanto, la pendiente de la recta tangente a v(t) es, en cada punto, igual a 20. Tenemos entonces que:
g(t) = v′(t).
La segunda relaci´on requiere que conozcamos el siguiente hecho geom´etrico b´asico: el ´area de un rect´angulo es igual al producto de la longitud de su base por su altura. De esta manera, el ´area bajo la gr´afica de f (t) entre 0 y t es exactamente igual a 2 t, y podemos identificar este ´area con el volumen de agua que ha soltado el grifo en el intervalo de tiempo [0, t]. Tras un momento de reflexi´on, nos daremos cuenta de que esta coincidencia se debe a que la operaci´on mediante la que calculamos el
114 CAP´ITULO 5. INTEGRACI ON DE FUNCIONES´
Figura 5.3: Aumentando la finura de la partici´on.
Tras una peque˜na reflexi´on nos daremos cuenta de que el tipo de argumento que hemos utilizado en este problema, en el que realizamos una suma finita de multiplicaciones, aparece en muchos otros contextos diferentes: cuando calculamos la distancia recorrida por un veh´ıculo conocida su velocidad en distintos intervalos de tiempo, cuando calculamos la probabilidad de un suceso, cuando calculamos una media, etc. En la Secci´on 5.5 describiremos brevemente algunas de estas aplicaciones.
Obviamente, en el mundo real este tipo de problemas puede ser m´as compli- cado, por ejemplo:
Problema 3. Un dep´osito se llena mediante un sistema de llenado que proporciona agua a una velocidad que var´ıa con el tiempo, entre el minuto t = 0 y el minuto t = 10, de la manera siguiente:
g(t) = 4 arctan(t/4) + 1.
¿Cu´antos litros de agua contendr´a el dep´osito despu´es de t minutos?
Sin interesarnos ahora mismo por el resultado final de este problema, las con- clusiones que podemos obtener son las mismas que en los casos anteriores, es decir:
La funci´on volumen de agua en el dep´osito a tiempo t, v(t), nos da en cada momento t el ´area bajo la curva g(t) entre el tiempo 0 y el tiempo t, lo que en lenguaje matem´atico se llama integral de g entre 0 y t.
Si derivamos la funci´on v(t) obtenemos la funci´on velocidad de llenado, g(t).
La raz´on de que esto suceda as´ı es, b´asicamente, que para calcular el ´area bajo una curva toda funci´on puede aproximarse por una funci´on constante a trozos. La secci´on siguiente se ocupa de explicar este hecho con mayor detalle. Veamos un
5.1. INTRODUCCI ON´ 115
ejemplo de este tipo de aproximaci´on aplic´andoselo a la funci´on g(t) del problema anterior. En la figura 5.4 hemos representado, a la izquierda, la funci´on g(t) (en verde) del problema anterior y su aproximaci´on por una funci´on gaprox(t) definida a trozos (en azul), que se ha obtenido tr´as dividir el intervalo de definici´on de g en 10 trozos, y a la derecha la funci´on volumen de agua v(t) (en naranja) y la funci´on volumen aproximado vaprox(t) (en rojo) que se obtiene de la funci´on definida a trozos. Si aumentamos la finura de la partici´on la aproximaci´on que hagamos de la funci´on ´area ser´a cada vez mejor.
Figura 5.4: Aproximando una funci´on por una definida a trozos.
Conclusiones 5.1.1. Resumiendo, de la discusi´on anterior se deduce que:
El ´area bajo la gr´afica de una funci´on puede calcularse mediante la aproxi- maci´on de dicha gr´afica por una funci´on definida a trozos (v´ease la Secci´on 5.2).
Cuando permitimos que uno de los extremos en los que calculamos el ´area bajo la gr´afica de una funci´on sea variable, obtenemos un funci´on cuya derivada es la funci´on original (v´ease la Secci´on 5.3). Esta propiedad nos permitir´a calcular ´areas mediante el uso de las llamadas t´ecnicas de antiderivaci´on (o c´alculo de primitivas, v´ease la Secci´on 5.4).
El c´alculo de ´areas, tambi´en conocido como c´alculo integral, aparece como representaci´on matem´atica de muchos problemas en distintos ´ambitos de la ciencia (v´ease la Secci´on 5.5).
5.2. LA INTEGRAL DE RIEMANN 117
trozos, por ejemplo,
f (x) =
m 1 si x ∈ [a = a 0 , a 1 ) m 2 si x ∈ [a 1 , a 2 )
... mk si x ∈ [ak− 1 , ak = b]
tendremos: ∫ (^) b
a
f (x)dx = m 1 (a 1 − a 0 ) + m 2 (a 2 − a 1 ) + · · · + mk(ak − ak− 1 ).
Si nuestra funci´on f no es de esta manera, lo que haremos ser´a definir la integral de f entre a y b mediante un proceso de aproximaci´on, utilizando funciones definidas a trozos, para las que s´ı tenemos definida un ´area. Para ello consideramos particiones del intervalo [a, b] en subintervalos:
Partici´on de [a, b] en k subintervalos : a = a 0 < a 1 < · · · < ak = b
Por fijar ideas, podemos tomar, por ejemplo, particiones en subintervalos de la misma longitud, pero esta elecci´on no ser´a determinante para el resultado final de nuestro c´alculo. Lo importante ser´a que debemos ir tomando, sucesivamente, particiones cada vez m´as finas del intervalo.
Para cada subintervalo [ai− 1 , ai] de la partici´on tomamos un valor mi que se obtiene tomando el valor de f en un punto del subintervalo. Hay muchas elecciones posibles para este punto, que dan lugar a diferentes m´etodos aproximativos: pode- mos tomar mi , por ejemplo, como el valor de f en ai− 1 , o en ai. Dos elecciones particularmente habituales son las que toman como mi el valor m´as peque˜no, o el m´as grande^2 , de f en [ai− 1 , ai].
Cualquiera que sea la elecci´on que hayamos hecho de los mi, obtenemos una funci´on definida a trozos que aproxima nuestra funci´on f , de la cual podemos calcular su integral entre a y b, y que podemos considerar como una aproximaci´on de la integral de f : ∫ (^) b
a
f (x)dx ≈ m 1 (a 1 − a 0 ) + m 2 (a 2 − a 1 ) + · · · + mk(ak − ak− 1 ).
Cuando los mi son los m´ınimos de f en los subintervalos, el resultado se suele llamar suma inferior de f , para la partici´on elegida, y si los mi son los m´aximos de f , entonces se llama suma superior. Denot´emoslas por sk(f ) y Sk(f ).
(^2) Gracias a la continuidad de f , estos valores existen.
118 CAP´ITULO 5. INTEGRACI ON DE FUNCIONES´
Figura 5.6: Aproximando una integral por sus sumas inferior y superior.
Cuando la finura de la partici´on aumenta, los valores de sk(f ) y Sk(f ) se acercan al del ´area bajo la curva, es decir:
l´ım k→+∞ sk(f ) = l´ım k→+∞ Sk(f ) =
∫ (^) b
a
f (x)dx
Figura 5.7: Aumentar la finura de la partici´on mejora la aproximaci´on de la integral.
De esta manera, podemos usar este m´etodo aproximativo para definir la in- tegral de f entre a y b. M´as a´un, puede probarse que el resultado del m´etodo no depende de las elecciones que hemos hecho: la homogeneidad de la partici´on o el valor mi elegido. Cualesquiera que sean estas elecciones, los valores sucesivos que obtendremos se aproximar´an a uno ´unico, que es el que llamamos integral de f entre a y b.
5.2.2. Propiedades de la integral de Riemann
En la secci´on anterior hemos definido la integral de una funci´on continua no negativa, en el intervalo [a, b], pero la integral de Riemann se define tambi´en para otro tipo de funciones:
120 CAP´ITULO 5. INTEGRACI ON DE FUNCIONES´
En otras palabras: la integral no conservar´ıa sumas. Esta propiedad ser´a fun- damental a la hora de calcular integrales, as´ı que es muy conveniente que la definici´on de integral la verifique. Por otro lado, que definamos la integral as´ı no es impedimento para que calculemos ´areas determinadas con funcio- nes con valores valores positivos y negativos. S´olo tendremos que considerar separadamente las regiones donde f tiene signo positivo y negativo, y sumar despu´es los valores absolutos de todas las integrales calculadas.
Una vez definida la integral de una funci´on entre a y b, podemos ya enumerar las propiedades que verifica, que se siguen de manera inmediata de la definici´on.
Propiedad
Linealidad (1)
∫ (^) b
a
(f (x) + g(x))dx =
∫ (^) b
a
f (x)dx +
∫ (^) b
a
g(x)dx
Linealidad (2)
∫ (^) b
a
kf (x)dx = k
∫ (^) b
a
f (x)dx (k cte.)
Aditividad
∫ (^) b
a
f (x)dx =
∫ (^) c
a
f (x)dx +
∫ (^) b
c
f (x)dx (a < c < b)
Monoton´ıa Si f (x) ≤ g(x) entonces
∫ (^) b
a
f (x)dx ≤
∫ (^) b
a
g(x)dx
Cuadro 5.1: Propiedades de la integral.
5.3. El Teorema Fundamental del C´alculo
Dada una funci´on f (x), podemos calcular su integral en diferentes intervalos, obteniendo diferentes valores. Si fijamos un extremo del intervalo, por ejemplo a, dado cualquier valor x mayor que a tendremos un valor de la integral de f entre a y x:
x 7 →
∫ (^) x
a
f (t)dt.
En la expresi´on anterior hemos cambiado el nombre a la variable respecto a la que integramos, de x a t para que no se confunda con la x que aparece en el extremo del intervalo de integraci´on. Para cada x la expresi´on anterior proporciona un valor real, de manera que la asignaci´on anterior es una funci´on de la variable x. El Teorema Fundamental, cuya formulaci´on se debe a Newton y Leibniz, nos dice que la derivada de esta funci´on es la funci´on f. M´as concretamente:
5.3. EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL C ALCULO´ 121
Teorema 5.3.1. Sea f una funci´on continua^4 en un intervalo [a, b] Entonces:
d dx
(∫ (^) x
a
f (t)dt
= f (x)
La raz´on de que esta igualdad sea cierta se debe a que de manera obvia lo es para funciones constantes a trozos (ver Seci´on 5.1), y que cualquier funci´on se puede aproximar por funciones constantes a trozos. Veamos un esbozo de la demostraci´on:
Demostraci´on. Tomemos un punto x 0 ∈ (a, b). Entonces:
d dx
x 0
(∫ (^) x
a
f (t)dt
= l´ım x→x 0
∫ (^) x
a
f (t)dt −
∫ (^) x 0
a
f (t)dt
x − x 0
Calculemos este l´ımite por la derecha (por la izquierda es an´alogo):
l´ım x→x+ 0
∫ (^) x
a
f (t)dt −
∫ (^) x 0
a
f (t)dt
x − x 0
= l´ım x→x+ 0
∫ (^) x
x 0
f (t)dt
x − x 0
La ´ultima igualdad se debe a la aditividad de la integral.
Por ser f continua, alcanza un m´aximo y un m´ınimo en el intervalo [x 0 , x], en puntos xm y xM. N´otese que cuando x tiende a x 0 , xm y xM tienden ambos a x 0 (dado que ambos pertenecen al intervalo [x 0 , x]).
Se tiene entonces que
f (xm) ≤ f (x) ≤ f (xM ),
de manera que, por la monoton´ıa de la integral y del l´ımite:
l´ım x→x+ 0
∫ (^) x
x 0
f (xm)dt
x − x 0
≤ l´ım x→x+ 0
∫ (^) x
x 0
f (t)dt
x − x 0
≤ l´ım x→x+ 0
∫ (^) x
x 0
f (xM )dt
x − x 0
Las funciones que estamos integrando a izquierda y derecha son constantes, luego su valor es, respectivamente f (xm)(x − x 0 ) y f (xM )(x − x 0 ), de manera que tenemos:
l´ım x→x+ 0
f (xm)(x − x 0 ) x − x 0
≤ l´ım x→x+ 0
∫ (^) x
x 0
f (t)dt
x − x 0
≤ l´ım x→x+ 0
f (xM )(x − x 0 ) x − x 0
(^4) El teorema fundamental puede establecerse tambi´en para funciones continuas a trozos, pero entonces la f´ormula s´olo es correcta en los puntos donde f sea continua.
5.4. C ALCULO DE PRIMITIVAS´ 123
Entonces obtenemos la famosa Regla de Barrow, que es el segundo in- grediente que deberemos aplicar para calcular la integral deseada: ∫ (^) b
a
f (t)dt = F (b) − F (a).
De esta manera, la integraci´on de funciones se reduce al C´alculo de Primitivas, que estudiaremos en la secci´on siguiente. Habitualmente, la primitiva o antiderivada de una funci´on f se llama tambi´en integral indefinida de f , o simplemente la integral de f , y se denota por (^) ∫
f (x)dx,
por contraposici´on a la integral entre dos valores a y b, que se llama integral definida.
Terminamos esta secci´on enunciando un corolario del Teorema Fundamental del C´alculo que usa la regla de la cadena para permitir que los l´ımites de integraci´on no sean constantes sino que dependan de x.
Corolario 5.3.3. Sea f una funci´on continua en un intervalo [a, b] y g y h derivables de modo que su imagen est´a contenida en el intervalo [a, b] Entonces:
d dx
h(x)
g(x)
f (t)dt
= f (h(x))h′(x) − f (g(x))g′(x)
5.4. C´alculo de primitivas
En la secci´on anterior hemos visto c´omo el c´alculo de integrales se reduc´ıa al c´alculo de primitivas. Antes de comenzar a recordar distintos m´etodos para calcular primitivas, debemos tener en cuenta algunos puntos importantes
Advertencia 5.4.1. Para funciones obtenidas mediante operaciones b´asicas sobre funciones elementales, el c´alculo de derivadas es un proceso completamente mec´ani- co; el c´alculo de primitivas es mucho m´as intrincado. De hecho, existen un mont´on de funciones para las que no existe una expresi´on expl´ıcita de su primitiva, como por ejemplo ex/x o e−x 2 . Esta ´ultima es la base de la famosa “Campana de Gauss” que se usa en Es- tad´ıstica para estudiar probabilidades para variables con distribuci´on normal, cuya expresi´on es e−x (^2) / 2 /
2 π. Para integrar esta funci´on tradicionalmente se usan tablas que contienen aproximaciones de la integral de esta funci´on en diferentes intervalos.
124 CAP´ITULO 5. INTEGRACI ON DE FUNCIONES´
Figura 5.9: La campana de Gauss y una de sus integrales.
En general, para calcular muchas de estas integrales, se usan m´etodos apro- ximativos como los descritos en la Secci´on 5.2. El valor adicional del c´alculo de primitivas es que nos permite calcular una f´ormula que nos da la integral de la funci´on en cualquier intervalo, sin necesidad de hacer aproximaciones.
A continuaci´on comentaremos algunos m´etodos de c´alculo de primitivas, sin entrar a describir estos m´etodos en profundidad. El lector interesado puede encontrar un desarrollo completo de estos m´etodos en la literatura (v´ease por ejemplo [3])
5.4.1. Integrales inmediatas
Por definici´on de primitiva, se tiene que
f ′(x)dx = f (x) + C. Llamamos integrales inmediatas a las primitivas de las funciones que, a primera vista, son las derivadas de las funciones elementales, o de alguna variaci´on de ´estas. Por ejemplo:
∫ cos(x)dx = sen(x) + C.
En general, si leemos la tabla de derivadas (4.1) de derecha a izquierda, tendremos una tabla de integrales inmediatas.
Por otro lado, recordemos que seg´un la Regla de la Cadena,
(f ◦ u)′(x) = f ′(u(x))u′(x).
Si integramos a ambos lados de esta igualdad obtenemos:
∫ f ′(u(x))u′(x)dx =
(f ◦ u)′(x)dx.
126 CAP´ITULO 5. INTEGRACI ON DE FUNCIONES´
calcular: (^) ∫ 1 + x 3 + 2x + x^2
dx.
Podemos escribir: ∫ 1 3 + 2x + x^2
(1 + x)dx =
3 + 2x + x^2
(2 + 2x)
dx.
Como 2 + 2x es la derivada de 3 + 2x + x^2 , y 1/x es la derivada de ln(|x|), se tiene finalmente que: ∫ 1 + x 3 + 2x + x^2
dx =
ln(|3 + 2x + x^2 |) + C.
5.4.2. Integraci´on por partes
Sabemos que la integral de una suma de funciones es la suma de sus integrales: ∫ (f (x) + g(x))dx =
f (x)dx +
g(x)dx.
Esta f´ormula (que se sigue de la linealidad de la integral definida, o de la linealidad de la derivaci´on), no es extrapolable al producto de funciones. Es decir: la integral de un producto NO es el producto de las integrales. La causa de esto radica en el comportamiento de la derivaci´on respecto al producto. En efecto, la derivada de un producto no es el producto de las derivadas, sino que se verifica la Regla de Leibniz:
(f g)′(x) = f ′(x)g(x) + f (x)g′(x).
Integrando a ambos lados de la igualdad, obtenemos: ∫ (f g)′(x)dx =
f ′(x)g(x)dx +
f (x)g′(x)dx,
Por el Teorema Fundamental, tenemos:
(f g)(x) =
f ′(x)g(x)dx +
f (x)g′(x)dx.
Esta versi´on de la Regla de Leibniz es lo que conocemos como la F´ormula de Inte- graci´on por Partes, que usualmente se escribe: ∫ f ′(x)g(x)dx = (f g)(x) −
f (x)g′(x)dx,
dado que as´ı es como se suele usar esta f´ormula, le´ıda de izquierda a derecha.
Reflexionemos un poco sobre c´omo usar esta f´ormula:
5.4. C ALCULO DE PRIMITIVAS´ 127
Partiremos de una integral del producto de dos funciones f ′^ y g. Si tenemos una integral de un producto y queremos hacer integraci´on por partes, no est´a claro, a priori, cu´al de ellas deberemos considerar como f ′^ y cu´al de ellas como g. Debemos tener en cuenta que de la que llamemos f ′^ debemos conocer su antiderivada f. Por ejemplo, si tenemos la integral: ∫ x ln(x)dx,
deberemos tomar f ′(x) = x puesto que la primitiva del otro factor, ln(x), no es inmediata.
La f´ormula de integraci´on por partes no resuelve la integral de f ′g, sino que la reduce a calcular la de f g′. Uno de los factores se integra y el otro se deriva. Aplicar bien el m´etodo consiste en conseguir que la nueva integral sea m´as sencilla que la anterior.
Ejemplo 5.4.3. Si queremos integrar x^2 sen(x) por partes, tenemos dos op- ciones: (^) ∫ x^2 sen(x)dx =
x^3 3
sen(x) −
x^3 cos(x)dx,
o bien (^) ∫ x^2 sen(x)dx = x^2 (− cos(x)) − 2
x(− cos(x))dx =
= −x^2 cos(x) + 2
x cos(x)dx.
En los dos caso hemos cambiado seno por coseno, pero en el primer caso el grado de la potencia de x ha aumentado, mientras que en el segundo se ha reducido. Deducimos entonces que la segunda es la estrategia adecuada. De hecho, si volvemos a aplicar el m´etodo de integraci´on por partes, obtenemos: ∫ x^2 sen(x)dx = −x^2 cos(x) + 2
x cos(x)dx =
= −x^2 cos(x) + 2x sen(x) − 2
sen(x)dx,
con lo que el resultado final ser´a: ∫ x^2 sen(x)dx = −x^2 cos(x) + 2x sen(x) + 2 cos(x) + C.
Como hemos visto en el ejemplo, la f´ormula de integraci´on por partes pue- de aplicarse recursivamente. Para ello tenemos que tener en cuenta que no
5.4. C ALCULO DE PRIMITIVAS´ 129
5.4.3. Integraci´on de funciones racionales
Una funci´on racional es aquella que es un cociente de la forma p(x)/q(x), donde p(x) y q(x) son polinomios. Siempre que podamos factorizar q(x) en factores simples, se podr´a calcular su integral. La idea principal es que se pueden reducir todas a combinaciones de las siguientes:
I. Funciones logar´ıtmicas: ∫ dx ax + b
a
ln(|ax + b|) + C.
II. Funciones potenciales negativas: ∫ dx (ax + b)k^
(ax + b)−kdx =
a
(ax + b)−k+ −k + 1
(k 6 = 1).
III. Arcotangente y/o logaritmo: ∫ M x + N ax^2 + bx + c
dx (denominador sin ra´ıces reales).
Para la resoluci´on de esta ´ultima deberemos, primero, escribirla de manera que en el numerador aparezca un m´ultiplo de la derivada del denominador, m´as una constante, de manera que tendremos: ∫ M x + N ax^2 + bx + c
dx =
∫ (^ M
2 a (2ax^ +^ b) +^ N^ −^
M 2 a b ax^2 + bx + c
dx =
M
2 a
2 ax + b ax^2 + bx + c
dx + (N −
M
2 a
b)
ax^2 + bx + c
dx =
M
2 a
ln(ax^2 + bx + c) +
N −
M
2 a
b
ax^2 + bx + c
dx
La ´ultima integral se resolver´a transform´andola en la derivada de una funci´on arcotangente, de la forma siguiente: 1 ax^2 + bx + c
a
x^2 + b a x + c a
a
x + 2 ba
1 a
4 a^2 4 ac−b^2 4 a^2 4 ac−b^2
x + 2 ba
4 a ( 4 ac−b^2 √^2 a 4 ac−b^2
x + 2 ba
))^2
4 a ( 4 ac−b^2 √^2 a 4 ac−b^2 x^ +^ √ b 4 ac−b^2
4 ac − b^2
√^2 a ( 4 ac−b^2 √^2 a 4 ac−b^2 x^ +^ √ b 4 ac−b^2
130 CAP´ITULO 5. INTEGRACI ON DE FUNCIONES´
De esta manera: ∫ dx ax^2 + bx + c
4 ac − b^2
arc tg
2 a √ 4 ac − b^2
x +
b √ 4 ac − b^2
+ C
Ejemplo 5.4.6. Veamos estos pasos, de nuevo, en un ejemplo particular: 1 x^2 + x + 1
x + (^12)
2
) 2 =^
x + (^12)
3 4 3 4
x + (^12)
3 ( 4 √^2 3 x^ +^ √^1 3
√^2 ( 3 √^2 3 x^ +^ √^1 3
Entonces: (^) ∫ 1 x^2 + x + 1
dx =
arc tg
x +
+ C.
A continuaci´on veremos los pasos que deberemos seguir para resolver este tipo de integrales, en general.
- Al dividir p(x) entre q(x) obtenemos^8 : p(x) = q(x)c(x) + r(x), de manera que
p(x) q(x)
= c(x) +
r(x) q(x)
y as´ı podemos suponer que el grado del numerador es menor que el del deno- minador.
Ejemplo 5.4.7. ∫ x^4 + 3x + 1 x^2 + x + 1
(x^2 + x + 1)(x^2 − x + 2) + (2x − 1) x^2 + x + 1
(x^2 − x + 2)dx +
2 x − 1 x^2 + x + 1
dx =
x^3 3
x^2 2
2 x − 1 x^2 + x + 1
dx.
- Suponemos entonces que tenemos una integral de una funci´on de la forma p(x)/q(x) donde el denominador tiene grado mayor que el numerador. El si- guiente paso consiste en descomponer q(x) en factores irreducibles:
q(x) = a(x − a 1 )m^1... (x − ak)mk^ (r 1 (x))n^1... (rl(x))nl^ , (^8) Nos referimos aqu´ı a la divisi´on eucl´ıdea de polinomios, en la que se obtiene que dividendo (p(x)) es igual a divisor (q(x)) por cociente c(x) m´as resto (r(x)), donde el resto tiene grado menor que el divisor.
