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Tema 2
L´ımites y Continuidad
Introducci´on
En este tema se trata el concepto de l´ımite de una funci´on real de variable real y sus propiedades, as´ı como algunas de las t´ecnicas fundamentales para el c´alculo de l´ımites que presentan indeterminaci´on. La segunda parte del tema aborda la definici´on de continuidad y las propiedades fundamentales de las funciones continuas.
2.1 L´ımites. Definiciones y Teoremas b´asicos
Estudiaremos en esta secci´on una serie conceptos b´asicos acerca de los l´ımites de las funciones reales de variable real. La idea intuitiva de l´ımite de f (x) cuando x tiende a un punto x 0 nos dice que si x “se acerca” mucho a x 0 entonces f (x) “se acerca” tambi´en mucho al valor del l´ımite L. La siguiente definici´on describe esa idea intuitiva en t´erminos rigurosos:
Definici´on. Dada una funci´on f (x) definida (al menos) en un entorno reducido^1 de un punto x 0 , E∗(x 0 ), un n´umero real L se denomina l´ımite de la funci´on f (x) en el punto x 0 (o l´ımite de f (x) cuando x tiende a x 0 ) si para todo ϵ > 0 existe un n´umero δ > 0 tal que para todos los x ∈ E∗(x 0 ) que satisfacen | x − x 0 |< δ se verifica | f (x) − L |< ϵ. Se escribe, en forma simb´olica:
xlim→x 0 f^ (x) =^ L^ def^ ⇔ ∀ϵ >^0 ,^ ∃δ >^0 ,^ ∀x^ ∈^ E∗(x^0 ),^0 <^ |x^ −^ x^0 |^ < δ^ ⇒ |f^ (x)^ −^ L|^ < ϵ.
(^1) Un entorno E(x 0 ) de un n´umero real x 0 ∈ R es todo intervalo abierto que lo contenga. Ejemplo: El intervalo (1, 4) es un entorno del n´umero real 3. Un entorno reducido de x 0 es un entorno de x 0 en el que se suprime el propio punto x 0 (ver el ap´endice del tema 1). Ejemplo: E∗(3) = (1, 4) − { 3 } = (1, 3) ∪ (3, 4) es un entorno reducido de 3. Es interesante resaltar el hecho de que la funci´on para la que se define el l´ımite cuando x tiende a x 0 no necesita estar definida en el propio punto x 0 , pero s´ı en sus alrededores, es decir en un entorno reducido de x 0.
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x 0 -∆ x 0 x 0 +∆
L -Ε L L +Ε
Figura 2.1: Visualizaci´on de la definici´on de l´ımite. (^) xlim→x 0 f (x) = L.
Definici´on. Dada una funci´on f (x) definida (al menos) en un intervalo (a, x 0 ), se dice que L es el l´ımite lateral por la izquierda de la funci´on f (x) en el punto x 0 , si para todo ϵ > 0 existe δ > 0 tal que si x 0 − δ < x < x 0 entonces | f (x) − L |< ϵ. Se escribe: L = (^) x→limx 0 −^ f (x).
Se define de manera an´aloga el l´ımite lateral por la derecha: (^) x→limx 0 +^ f (x). Es f´acil deducir, a partir de las definiciones, el siguiente teorema:
Teorema. La condici´on necesaria y suficiente para que una funci´on tenga l´ımite L en un punto es que existan los l´ımites laterales en ese punto y que ambos valgan L.
xlim→x 0 f^ (x) =^ L^ ⇔
x→^ limx 0 +^ f (x) = L y x→limx 0 −^ f (x) = L
Si una funci´on est´a definida en todo el eje num´erico o al menos en una de sus semirrectas (todos los x que satisfacen | x |> K para alg´un K > 0), entonces tendr´a sentido hablar de valores de f (x) para x infinitamente grandes en valor absoluto, en tales casos es posible definir: Definici´on. Un n´umero L de denomina l´ımite de la funci´on f (x) para x tendiendo a infinito y se denota: (^) xlim→∞ f (x) = L si para todo ϵ > 0 existe un n´umero B > 0 tal que si x > B entonces | f (x) − L |< ϵ. Y an´alogamente para (^) x→−∞lim f (x) = L.
Definici´on. Dada una funci´on f (x) definida (al menos) en un entorno reducido de un punto x 0 , E∗(x 0 ), se dice que f (x) tiende a ∞ cuando x tiende a x 0 si:
xlim→x 0 = +∞ ⇔ ∀K ∈ R, ∃δ > 0 , x ∈ E∗(x 0 ), |x − x 0 | < δ ⇒ f (x) > K
An´alogamente:
xlim→x 0 = −∞ ⇔ ∀K ∈ R, ∃δ > 0 , x ∈ E∗(x 0 ), |x − x 0 | < δ ⇒ f (x) < K
La propiedad 5, junto con el conocimiento de algunos l´ımites elementales, permite en la pr´actica el c´alculo de infinidad de l´ımites de forma trivial. As´ı por ejemplo, sabiendo que (^) xlim→x 0 x = x 0 y que el l´ımite de una funci´on constante es igual a dicha constante
en cualquier punto, autom´aticamente, por aplicaciones sucesivas de la propiedad 5 con- cluimos que el l´ımite cuando x tiende a x 0 de cualquier polinomio p(x) es exactamente el valor de p(x 0 ), y otro tanto podemos afirmar para cualquier funci´on racional, siempre y cuando x 0 no sea una ra´ız del denominador. Por esta raz´on, los l´ımites realmente interesantes de calcular son aqu´ellos en los que aparece alguna indeterminaci´on.
2.2 Indeterminaciones
Como ya hemos comentado, el ´algebra de l´ımites no es v´alido en ciertos casos en los que alguno de los l´ımites es infinito o cero, se trata de expresiones en las que no es trivial (o directamente es imposible) obtener el resultado del l´ımite si se sustituye x por el punto x 0. Dicho con otras palabras, llamaremos indeterminaciones a los casos en los que no es posible aplicar una regla general directa que permita obtener un valor concreto para el l´ımite, sino que, por el contrario, el valor final depende de las funciones involucradas en cada caso particular. Analicemos dichos casos:
Sean f (x) y g(x) dos funciones tales que:
xlim→x 0 f (x) = ∞ , (^) xlim→x 0 g(x) = ∞
Entonces la propiedad 5 de la secci´on anterior no es aplicable a los l´ımites^3 :
xlim→x 0 (f (x) − g(x)) , (^) xlim→x 0
f (x) g(x)
Estas indeterminaciones se denotan simb´olicamente de la forma: ∞ − ∞ e ∞∞.
Ejemplo: Consideremos las funciones f (x) = x^2 + 1, g(x) = x^2 − 3 y h(x) = 2x. Es evidente que las tres verifican:
xlim→∞ f^ (x) =^ xlim→∞ g(x) =^ xlim→∞ h(x) =^ ∞ Si tomamos la suma de dos de ellas, por ejemplo: f (x) + g(x) = 2x^2 − 2, el l´ımite de la suma ser´a nuevamente infinito y no hay indeterminaci´on alguna. Es decir, dicho de forma simb´olica: “infinito m´as infinito es infinito”. Sin embargo para la diferencia no hay regla general, analicemos tres posibilidades de construir “infinito menos infinito”:
xlim→∞ f^ (x)^ −^ g(x)^ =^ xlim→∞(x^2 + 1^ −^ x^2 + 3) = 4 xlim→∞ f^ (x)^ −^ h(x)^ =^ xlim→∞(x^2 + 1^ −^2 x) =^ xlim→∞(x^ −^ 1)^2 =^ ∞ x^ lim→∞ h(x)^ −^ g(x)^ =^ xlim→∞(2x^ −^ x^2 + 3) =^ xlim→∞(4^ −^ (x^ −^ 1)^2 ) =^ −∞ (^3) Estas definiciones y las siguientes son igualmente v´alidas si estudiamos l´ımites en el infinito, y no en un punto finito x 0.
y en definitiva “infinito menos infinito” puede conducir a diferentes resultados, dependiendo de las funciones involucradas, es una indeterminaci´on.
Si tenemos ahora dos funciones, h(x) y p(x), tales que:
xlim→x 0 h(x) = 0^ ,^ xlim→x 0 p(x) = 0
encontramos dos nuevas indeterminaciones:
xlim→x 0
h(x) p(x) , (^) xlim→x 0 f (x) h(x)
que denotaremos simb´olicamente por: 00 y 0 · ∞.
Finalmente, no es dif´ıcil demostrar que si
xlim→x 0 f^ (x) =^ L^ ,^ xlim→x 0 g(x) =^ G
con L ̸= 1 y L ̸= 0, entonces:
xlim→x 0 f (x)g(x)^ = LG
Y relacionados con esta propiedad aparecen tres nuevos casos de indeterminaci´on:
1 ∞^ , 00 , ∞^0
Resumiendo, tenemos siete tipos de indeterminaciones:
∞ − ∞
0 0 .∞^1
y estas expresiones han de leerse como “funci´on que tiende a ∞” − “funci´on que tiende a ∞”, “funci´on que tiende a infinito partido funci´on que tiende a infinito”, etc.
La utilizaci´on de la t´ecnica de infinit´esimos equivalentes, junto con la Regla de L’Hˆopital, son los dos m´etodos m´as caracter´ısticos a la hora de resolver indeterminaciones.
2.3 Infinitos e Infinit´esimos
Definici´on. Sea f (x) una funci´on definida (al menos) en un entorno reducido de x 0 ∈ R. Diremos que f (x) es un infinit´esimo en x 0 si (^) xlim→x 0 f (x) = 0. Definici´on. Sea f (x) una funci´on definida (al menos) en un entorno reducido de x 0 ∈ R. Diremos que f (x) es un infinito en x 0 si (^) f (^1 x) es un infinit´esimo en x 0 , es decir, si
xlim→x 0 f^ (x) =^ ∞^ (o^ −∞).
Ejemplos: Los ejemplos m´as sencilos de infinit´esimos en un punto concreto x 0 vienen dado por las funciones de la forma f 1 (x) = x − x 0 , f 2 (x) = (x − x 0 )^2 , etc. An´alogamente, los infinitos en x 0 m´as sencillos ser´an: g 1 (x) = (^) x−^1 x 0 , g 2 (x) = (^) (x−^1 x 0 ) 2 , etc.
Es habitual “clasificar” los infinit´esimos por comparaci´on con las funciones fn(x) = (x − x 0 )n. Es evidente que para todo n ≥ 1 la funci´on fn(x) tiende a cero cuando x tiende a x 0. Diremos que una funci´on g(x) es un infinit´esimo de orden n en x 0 si es del mismo orden que fn(x) = (x − x 0 )n. As´ı por ejemplo, la funci´on h(x) del ejemplo anterior es un infinit´esimo de orden dos en x 0 = π 2 , mientras que sen x es un infinit´esimo de orden uno en x 0 = 0. Se suele utilizar el conocimiento de infinit´esimos equivalentes para simplificar el c´alculo de determinados l´ımites. La idea es la siguiente: sea f (x) un infinit´esimo en x 0 y supongamos que debemos calcular el l´ımite: (^) xlim→x 0 f (x) h(x), para alguna funci´on h(x).
Sea g(x) un infinit´esimo equivalente a f (x) en x 0. Si los l´ımites existen, entonces, aplicando la propiedad 5 anterior, tendremos que el siguiente razonamiento es v´alido:
xlim→x 0 f^ (x)h(x) = lim x→x 0
f (x) g(x) g(x)h(x) = lim^ x→x 0
f (x) g(x) xlim→x 0 g(x)h(x) = lim^ x→x 0 g(x)h(x)
es decir, es posible “sustituir” un infinit´esimo por otro equivalente en el proceso de c´alculo del l´ımite. Este razonamiento es aplicable tambi´en si la funci´on f (x) apareciera en el denominador del l´ımite, pero no es v´alido si se presenta el infinit´esimo sum´andose o rest´andose con el resto de la funci´on.
Teorema. Sea f (x) un infinit´esimo en x 0 y sea g(x) una funci´on acotada en un entorno de x 0 , entonces el producto de ambas es un infinit´esimo en x 0 , es decir: (^) xlim→x 0 f (x)g(x) = 0.
Aplicaci´on: El Teorema anterior tiene aplicaci´on al c´alculo de determinados l´ımites. Consi- deremos el siguiente ejemplo: (^) xlim→∞^1 x sen x. La funci´on (^1) x es un infinit´esimo en ∞: limx→∞ (^1) x = 0, pero limx→∞ sen x claramente no existe, la funci´on seno es peri´odica y por tanto “no tiende a nada” cuando x → ∞. Sin embargo, sen x ∈ [− 1 , 1], es decir es una funci´on acotada. Aplicando el teorema concluimos con que dicho l´ımite existe y adem´as es cero. Este tipo de t´ecnicas es muy ´util a la hora de calcular l´ımites en varias variables, como veremos en un tema posterior.
Figura 2.5: Gr´afica de la funci´on: f (x) = (^) x^1 sen x.
Tabla de infinit´esimos equivalentes. Los infinit´esimos en x 0 = 0 que se utilizan m´as habitualmente en el c´alculo de l´ımites son:
x ∼ sen x ∼ arcsen x ; x ∼ tan x ∼ arctan x
1 − cos x ∼ x
2 2 ; Ln(1 + x) ∼ x ; ax^ − 1 ∼ x Ln a, a > 0
Ejemplos: Calculemos los siguientes l´ımites:
xlim→ 0 senx^3 x ,^ xlim→ (^1) x^ tan(^2 − x 4 x− + 3^ 1)
En ambos casos se trata de indeterminaciones del tipo 00. En el primero de los casos podemos usar el conocimiento de que el infinit´esimo sen x es equivalente a x cuando x → 0:
x → 0 ⇒ sen x ∼ x
As´ı tendremos:
xlim→ 0 senx^3 x= lim x→ (^0) x^ x^3 = lim x→ (^0) x^12 =^ ∞ Para el segundo de los l´ımites nos encontramos con el problema de que se trata de infinit´esimos en el punto x → 1, caso para el cual en principio no conocemos una tabla de infinit´esimos equivalentes como la anterior. Sin embargo podemos hacer un cambio de variable:
y = x − 1 ⇒ x = y + 1 ⇒ si x → 1 , entonces y → 0
Haciendo el cambio:
xlim→ 1 x^ tan(^2 − x 4 x− + 3^ 1) = lim y→ 0 (y + 1)^2 −^ tan 4(^ yy + 1) + 3 = lim y→ 0 y^ tan^2 −^ y 2 y
y ahora s´ı que podemos aplicar que y → 0 implica que tan y ∼ y:
ylim→ 0 y^ tan^2 −^ y 2 y = lim y→ 0 y^2 −^ y 2 y = lim y→ 0 y −^1 2 =^ −^12
2.3.1 Regla de L’Hˆopital*
La Regla de L’Hˆopital permite simplificar el c´alculo de l´ımites con indeterminaciones de tipo cociente. Aunque se trata de un resultado del Tema 3, lo anticiparemos ya aqu´ı:
Regla de L’Hˆopital. Sean f y g dos funciones derivables al menos en un entorno reducido del punto x 0 ∈ R y tales que (^) xlim→x 0 f (x) = (^) xlim→x 0 g(x) = 0. Si existe el l´ımite
xlim→x 0
f ′(x) g′(x) , entonces tambi´en existe (^) xlim→x 0
f (x) g(x) y coincide con el anterior. La Regla de
L’Hˆopital es tambi´en aplicable en l´ımites cuando x → ±∞, as´ı como en el caso de indeterminaciones del tipo ∞∞.
- Discontinuidades de Segunda especie o esenciales. Se dice que una funci´on tiene una discontinuidad de segunda especie o esencial en x 0 si no existe alguno de los l´ımites laterales de la funci´on en ese punto.
Ejemplo 1: Consideremos la funci´on:
f (x) = x
(^3) − 4 x (^2) + 5x − 2 x − 2
Es evidente que esta funci´on no es continua en x = 2, dado que Dom f = R − { 2 }. Sin embargo:
xlim→ 2 x
(^3) − 4 x (^2) + 5x − 2 x − 2 = lim^ x→^2
(x − 1)^2 (x − 2) x − 2 = 1
Es decir, el l´ımite existe pero no coincide con el valor de la funci´on en el punto (puesto que no existe f (2)). Se trata de una discontinuidad evitable. Para evitarla redefinimos (ver Figura 2.6):
f¯ (x) =
{ f (x) x ̸= 2 1 x = 2
} = (x − 1)^2
-1 1 2 3 4
2
4
6
8
-1 1 2 3 4
2
4
6
8
Figura 2.6: Gr´aficas de las funciones f (x) = x^3 −^4 xx^2 −+5 2 x−^2 y f¯ (x) = (x − 1)^2.
Ejemplo 2: La funci´on g(x) = (^) x^1 − 2 presenta en x = 2 una discontinuidad de salto infinito (ver Figura 2.7 izquierda):
xlim→ 2 − x −^1 2 =^ −∞^ ,^ xlim→2+ x −^1 2 =^ ∞
Ejemplo 3: La funci´on h(x) = sen (^) x^1 presenta en x = 0 una discontinuidad esencial (ver Figura 2.7 derecha):
xlim→ 0 − sen^1 x =^ @^ ;^ xlim→0+ sen^1 x =^ @
1 2 3 4
5
10
15
Figura 2.7: Gr´aficas de las funciones g(x) y h(x).
2.4.3 Teoremas sobre continuidad
Existen varios teoremas muy conocidos acerca de las funciones continuas que enunciamos a continuaci´on.
Teorema de Bolzano. Sea f (x) una funci´on continua en un intervalo cerrado [a, b] y tal que tome valores de signo contrario en los extremos del mismo (Sign(f (a)) ̸= Sign(f (b))), entonces existe alg´un punto c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0. Teorema de Darboux. Sea f (x) una funci´on continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f toma todos los valores comprendidos entre f (a) y f (b). Teorema. Sea f (x) una funci´on continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f (x) est´a acotada en [a, b]. Teorema de Weierstrass. Sea f (x) una funci´on continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f alcanza en [a, b] su valor m´aximo y su valor m´ınimo, es decir ∃x 1 , x 2 ∈ [a, b]/ f (x 1 ) ≤ f (x) ≤ f (x 2 ), ∀x ∈ [a, b].
