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Tema 3
C´alculo Diferencial en una
variable
3.1 Introducci´on
Analizaremos en este Tema los conceptos fundamentales acerca de las derivadas de las funciones reales de variable real. En el tema siguiente estudiaremos algunas aplicaciones de las derivadas.
3.2 Conceptos B´asicos
Definici´on. Sea f (x) una funci´on definida en un intervalo abierto (a, b). Diremos que f es derivable en el punto x 0 ∈ (a, b) si existe (y es finito) el l´ımite:
lim h→ 0
f (x 0 + h) − f (x 0 ) h
al cual denominaremos derivada^1 de f en x 0 , f ′(x 0 ). A veces se utilizan diferentes notaciones alternativas para la derivada:
f ′(x 0 ) = lim x→x 0
f (x) − f (x 0 ) x − x 0 = lim ∆x→ 0
∆y ∆x
donde ∆y = y(x 0 + ∆x) − y(x 0 ) e y = f (x).
(^1) A veces es adecuado definir la derivada de una funci´on en un punto de la siguiente forma alternativa: Una funci´on f (x) es derivable en x 0 si existe un n´umero real, al que llamaremos f ′(x 0 ), tal que la funci´on h(x) = f (x) − f (x 0 ) − f ′(x 0 )(x − x 0 ) es un infinit´esimo de orden superior a uno en x 0 , es decir:
xlim→x 0 f^ (x)^ −^ f^ (x^0 )^ −^ f^
′(x 0 )(x − x 0 ) x − x 0 = 0
Es evidente que esta definici´on es equivalente a la anterior.
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Dado que la derivada se define mediante un l´ımite, a veces es adecuado utilizar el concepto de “derivada lateral” por la izquierda y por la derecha. Desde este punto de vista se definen:
f (^) +′(x 0 ) = (^) hlim→0+ f (x 0 + h) − f (x 0 ) h ;^ f^ −′(x^0 ) =^ lim h→ 0 −
f (x 0 + h) − f (x 0 ) h
Evidentemente una funci´on ser´a derivable en x 0 cuando ambas derivadas laterales en x 0 existan y coincidan.
x 0 x
f H x 0 L
f H x L
x 0
f H x 0 L
Figura 3.1: a) Gr´afica de la funci´on y = f (x) junto con la recta secante que pasa por los puntos (x 0 , f (x 0 )) y (x, f (x)). b) En el l´ımite x → x 0 la recta secante es la recta tangente: y = f (x 0 ) + f ′(x 0 )(x − x 0 ).
Rectas tangente y normal a una curva. Desde el punto de vista geom´etrico, la derivada f ′(x 0 ) de la funci´on y = f (x) en x 0 no es m´as que la pendiente de la recta tangente a la curva y = f (x) en el punto (x 0 , f (x 0 )) y, por tanto, la ecuaci´on de dicha recta ser´a: y − f (x 0 ) = f ′(x 0 )(x − x 0 )
Desde este punto de vista, es evidente que el signo de la derivada de una funci´on en un punto determina si dicha funci´on es creciente o decreciente en un entorno de dicho punto. Por otro lado, esta interpretaci´on es la que permite entender habitualmente una funci´on derivable como aqu´ella tal que su gr´afica tiene siempre bien definida la recta tangente (es decir la gr´afica es “suave”, no presenta “picos” ni “rotos”, en los que la noci´on de tangencia no tendr´ıa sentido^2 ). Si f ′(x 0 ) ̸= 0, la recta normal (perpendicular) a la curva en x 0 ser´a (ver Ejercicio 1):
y − f (x 0 ) = −^1 f ′(x 0 ) (x − x 0 ) (^2) Es significativo el hecho de que en ingl´es se traduzca funci´on derivable como “smooth function”. El adjetivo smooth significa: “liso”, “suave”.
3.3 Propiedades de las funciones derivables
- Si f es derivable en x 0 entonces es continua en x 0. No es cierta la rec´ıproca, es decir la continuidad de una funci´on en un punto no implica la derivabilidad de la misma en dicho punto.
- Si f y g son dos funciones derivables en x 0 entonces tambi´en son derivables en x 0 las funciones f + g, f g y cf para c ∈ R, y se verifica:
(f + g)′(x 0 ) = f ′(x 0 ) + g′(x 0 ) ; (cf )′(x 0 ) = cf ′(x 0 )
(f g)′(x 0 ) = f ′(x 0 )g(x 0 ) + f (x 0 )g′(x 0 ) Si adem´as g(x 0 ) ̸= 0, entonces fg es derivable en x 0 y se verifica: ( f g
(x 0 ) = f^
′(x 0 )g(x 0 ) − f (x 0 )g′(x 0 ) (g(x 0 ))^2
Demostraci´on: Demostraremos simplemente la regla de derivaci´on del producto: Aplicando la definici´on: (f g)′(x 0 ) = (^) xlim→x 0 f^ (x)g(x) x^ − −^ f x^ (x^0 )g(x^0 ) 0 Es f´acil convertir esa expresi´on en la siguiente:
(f g)′(x 0 ) = (^) xlim→x 0 f^ (x)(g(x)^ −^ g(x^0 )) + x −^ gx(x^0 )(f^ (x)^ −^ f^ (x^0 )) 0
de manera que, aplicando las propiedades de los l´ımites tendremos:
(f g)′(x 0 ) = (^) xlim→x 0 f (x) · (^) xlim→x 0 g(x x)^ −−^ gx(x^0 ) 0
- lim x→x 0 g(x 0 ) · (^) xlim→x 0 f^ (x x)^ −−^ fx^ (x^0 ) 0
Dado que f y g son derivables en x 0 , los l´ımites de la expresi´on anterior valen: f (x 0 ) (por ser f continua en x 0 ), f ′(x 0 ), g(x 0 ) y g′(x 0 ), respectivamente. Tenemos entonces:
(f g)′(x 0 ) = f (x 0 )g′(x 0 ) + f ′(x 0 )g(x 0 )
Q.E.D.
Regla de la cadena. Si f es una funci´on derivable en un punto x 0 y g lo es en f (x 0 ), entonces la funci´on compuesta g ◦ f es derivable en x 0 y su derivada vale:
(g ◦ f )′(x 0 ) = g′(f (x 0 ))f ′(x 0 )
Tabla de derivadas. Adjuntamos la siguiente tabla con las derivadas de algunas funciones de uso habitual.
d dx 1 = 0^ d dx xn^ =^ n xn−^1 , n^ ̸= 0^ d dx ln^ x^ =^ 1 x d dx loga^ x^ =^
loga e x , a >^0 d dx ex^ =^ ex^ d dx ax^ =^ ax^ ln^ a , a >^0 d dx sen^ x^ = cos^ x^ d dx cos^ x^ =^ −^ sin^ x^ d dx tan^ x^ =^ 1 d cos^2 x dx senh^ x^ = cosh^ x^ d dx cosh^ x^ = sinh^ x^ d dx tanh^ x^ =^ 1 d cosh^2 x dx arcsen^ x^ =^ √^1 1 −x^2
d dx arccos^ x^ =^ √−^1 1 −x^2
d dx arctan^ x^ =^ 1 x^2 + d dx arcsenh^ x^ =^ √^1 x^2 +
d dx arccosh^ x^ =^ √^1 x^2 − 1
d dx arctanh^ x^ =^ 1 1 −x^2
3.4 Teoremas importantes del C´alculo Diferencial
Teorema de Rolle. Si la funci´on f (x) es continua en el intervalo [a, b], es derivable en el intervalo (a, b) y toma valores iguales en los extremos del intervalo (f (a) = f (b)), entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) en el cual la derivada de f (x) se anula, es decir: f ′(c) = 0.
Demostraci´on: Al ser f (x) continua en el intervalo cerrado, por el Teorema de Weierstrass alcanza en dicho intervalo su valor m´aximo y su valor m´ınimo, los denominaremos M y m respectivamente. Casos que pueden presentarse:
- M = m, en tal caso M ≤ f (x) ≤ M , ∀x ∈ [a, b], pero entonces f (x) es constante en el intervalo, y as´ı su derivada ser´ıa cero en todos los puntos.
- M ̸= m, como f (a) = f (b) al menos uno de los dos valores se alcanza en el abierto y no en los extremos del intervalo, sea, por ejemplo M , entonces existe un c ∈ (a, b) tal que f (c) = M , tendremos:
f ′(c) = (^) hlim→0+^ f^ (c^ +^ h h)^ −^ f^ (c)= (^) hlim→ 0 −^ f^ (c^ +^ h h)^ −^ f^ (c)= (^) hlim→0+^ f^ (c^ −^ h −)h^ −^ f^ (c)
Pero entonces, al ser f (c) = M , m´aximo de la funci´on, se verifica: f (c + h) − f (c) ≤ 0, f (c − h) − f (c) ≤ 0 y, en definitiva: f ′(c) ≤ 0 y 0 ≤ f ′(c), por tanto, f ′(c) = 0. Q.E.D.
Teorema de Lagrange. (de los incrementos finitos). Si f (x) es una funci´on continua en [a, b] y derivable en (a, b), entonces existe por lo menos un punto c ∈ (a, b) tal que:
f (b) − f (a) b − a =^ f^
′(c)
Teorema de Cauchy. Si f (x) y g(x) son continuas en [a, b], derivables en (a, b) y g′(x) ̸= 0, ∀x ∈ (a, b), entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que:
f (b) − f (a) g(b) − g(a) =^
f ′(c) g′(c)
Demostraci´on: Es trivial aplicando el Teorema de Rolle a la funci´on:
F (x) = f (x) − f (a) − f g^ ((bb))^ −−^ fg^ ((aa) )(g(x) − g(a))
La demostraci´on de Lagrange es obvia al reducirse a un caso particular de Cauchy.
