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Tema 7
Soluci´on de Ecuaciones no lineales
7.1 Introducci´on
En este tema estudiaremos la resoluci´on de ecuaciones no lineales, es decir, el c´alculo
de sus soluciones o ra´ıces. Nos centraremos en el caso de una ´unica ecuaci´on con una
inc´ognita. En tal situaci´on toda ecuaci´on puede ser escrita como
f (x) = 0
siendo f (x) una funci´on real de variable real. Desde este punto de vista el c´alculo de
ra´ıces de una ecuaci´on es equivalente al c´alculo de los ceros de una funci´on real dada.
De manera general, incluso en ecuaciones dependientes de una s´ola inc´ognita, no es
posible despejar ´esta salvo en casos muy concretos. Evidentemente las ecuaciones lineales
de una sola inc´ognita (es decir, ecuaciones de la forma ax+b = 0, con a ̸= 0) son triviales,
por lo que el tema est´a dedicado a las ecuaciones no lineales en general.
Las ecuaciones no lineales m´as sencillas son las polin´omicas, es decir del tipo: Pn(x) = 0,
siendo Pn(x) un polinomio (en principio con coeficientes reales) de grado n (con n ≥ 2).
Estas ecuaciones presentan siempre n ra´ıces (Teorema Fundamental del Algebra), si bien´
´estas pueden ser reales o complejas.
El caso n = 2 es muy sencillo y conocido:
ax^2 + bx + c = 0 , a ̸= 0 ⇒ x =
−b ±
b^2 − 4 ac
2 a
y adem´as es tambi´en sencilla la discusi´on sobre el n´umero de ra´ıces reales que la ecuaci´on
posee en t´erminos del discriminante de la misma: ∆ = b^2 − 4 ac.
Para polinomios de grado 3 y 4, y exceptuando los casos casi-triviales en los que fun-
ciona el M´etodo de Ruffini, las f´ormulas de Cardano-Tartaglia permiten una resoluci´on
en t´erminos de ra´ıces c´ubicas^1 , si bien las expresiones son mucho m´as complicadas que
las correspondientes a la ecuaci´on cuadr´atica, y en consecuencia, a menudo de poca
utilidad. Para polinomios de grado igual o superior a cinco, el c´elebre Teorema de Abel
establece que no existen f´ormulas generales que permitan la resoluci´on por radicales de
las mismas.
Otro tipo de ecuaciones irresolubles de forma exacta de manera general son las ecua-
ciones trascendentes, es decir las ecuaciones que contienen una funci´on trascendente^2.
Existen ejemplos notorios en la historia de la Ciencia en los que aparecen ecuaciones
trascendentes, como la ecuaci´on de Kepler: x − a sen x = b, que aparece en el c´alculo
de las ´orbitas planetarias (x representa la anomal´ıa exc´entrica, a la excentricidad y b
la anomal´ıa media de la ´orbita), o la ecuaci´on: x − tan x = 0, que aparece en varias
disciplinas cient´ıficas y t´ecnicas (por ejemplo en la Teor´ıa de Difracci´on de la luz, o en
c´alculos de caudales en Hidr´aulica)^3.
(^1) Las f´ormulas de Cardano-Tartaglia, para la ecuaci´on polin´omica de grado 3, pueden ser escritas de
la siguiente manera: Sea la ecuaci´on c´ubica:
x^3 + a 2 x^2 + a 1 x + a 0 = 0
y denotemos por q y r a las siguientes expresiones: q = 13 a 1 − 19 a^22 ; r = 16 (a 1 a 2 − 3 a 0 ) − 271 a^32.
El discriminante de la ecuaci´on se define como: ∆ = q^3 + r^2 , de tal manera que si ∆ < 0, entonces la c´ubica presenta tres ra´ıces reales diferentes. Si ∆ > 0, la ecuaci´on tiene una ra´ız real y dos complejas conjugadas. Finalmente, si ∆ = 0, la ecuaci´on tiene tres ra´ıces reales y al menos dos de ellas iguales. Llamando s 1 y s 2 a las cantidades:
s 1 =
( r +
√ ∆
) (^13) , s 2 =
( r −
√ ∆
) (^13)
entonces las ra´ıces de la c´ubica son:
x 1 = s 1 + s 2 − a 32 , x 2 = − 12 (s 1 + s 2 ) − a 32 + i
√ 3 2 (s^1 −^ s^2 ), x^3 =^ −^
1 2 (s^1 +^ s^2 )^ −^
a 2 3 −^ i
√ 3 2 (s^1 −^ s^2 ) (^2) Recordemos que una funci´on trascendente es aqu´ella que no puede ser representada mediante ninguna
ecuaci´on polin´omica (cuyos coeficientes sean asimismo polinomios), a diferencia de una funci´on alge- braica, para la cual esto s´ı que es posible. Los ejemplos m´as t´ıpicos de funciones trascendentes son las trigonom´etricas (seno, coseno, funciones hiperb´olicas, etc.), los logaritmos y exponenciales, etc. Eviden- temente algunas ecuaciones trascendentes son realmente f´aciles de resolver, pero no es en absoluto el caso general. Un ejemplo sencillo es la ecuaci´on:
cos x = 0 ⇒ x = π 2 + kπ, k ∈ Z
(^3) Curiosidad: Si α 1 , α 2 , · · · , αn, · · · son todas las ra´ıces positivas de esta ecuaci´on, entonces se verifica ∑ α− n 2 = 101 ( Amer. Math. Monthly, Oct. 1986, 660).
Suele resultar de considerable ayuda, para el caso de funciones sencillas, el uso de representaciones gr´aficas. As´ı por ejemplo, aunque la gr´afica de f (x) nos resulta en principio desconocida (y calcularla, salvo que se utilice un ordenador, resulta una tarea cuanto menos pesada), podemos en este caso concreto escribir la ecuaci´on de la forma:
x^2 −
2 = sen^ x
y es evidente entonces que las soluciones de la ecuaci´on se reducen a los puntos donde se cortan las gr´aficas de x^2 − 12 (bien conocida, se trata de la par´abola y = x^2 “desplazada” en 0.5 unidades “hacia abajo”) y de la funci´on seno:
1
2
3
Ejemplo: Un segundo ejemplo interesante es el ya comentado en la introducci´on del tema, la
determinaci´on del n´umero y ubicaci´on de las ra´ıces de la ecuaci´on
x − tan x = 0
se aclara completamente si uno representa las funciones y = x e y = tan x. La gr´afica se explica por s´ı misma:
5
10
15
Finalmente, es necesario insistir en el hecho de que no existe un m´etodo sistem´atico
para “separar” las ra´ıces de una ecuaci´on. Los ejemplos anteriores dan en cierta me-
dida las pautas a seguir al abordar un problema de este tipo, pero con frecuencia no
disponemos de una herramienta definitiva que permita establecer de manera sencilla y
precisa el n´umero y ubicaci´on de las ra´ıces.
7.3 M´etodo de la Bisecci´on
Supongamos que se ha establecido, por alguno de los m´etodos comentados en la secci´on
anterior, que la ecuaci´on f (x) = 0 tiene una y s´olo una ra´ız en el interior del intervalo
[a, b], donde verifica las hip´otesis del Teorema de Bolzano.
El m´etodo de la bisecci´on o bipartici´on es el m´etodo m´as simple y a la vez robusto
de los que describiremos. Su inconveniente principal, no obstante, radica en el hecho de
que se trata de un m´etodo muy lento y pesado si se requiere un grado alto de exactitud
en la aproximaci´on.
El m´etodo consiste en lo siguiente: se calcula el punto medio del intervalo [a, b] que
podemos escribir como c = a+ 2 b. Se eval´ua la funci´on en dicho punto, pudiendo resultar
dos posibilidades:
- Si f (c) = f ( a+ 2 b) = 0, entonces hemos obtenido la ra´ız buscada r, pues c = r.
- Si f (c) ̸= 0, entonces elegimos, entre [a, c] y [c, b], el intervalo en el que se satisfagan
las hip´otesis del Teorema de Bolzano, y lo denotamos [a 1 , b 1 ].
Tras esto, nos encontramos con un intervalo de longitud la mitad al inicial, y que
contiene la soluci´on que buscamos. Reiterando el proceso construiremos una sucesi´on de
intervalos encajados que contienen la soluci´on
[a, b] ⊃ [a 1 , b 1 ] ⊃ [a 2 , b 2 ] ⊃ .... ⊃ [an, bn]
donde obviamente tendremos las sucesiones de n´umeros a = a 0 ≤ a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ b 0 y
b = b 0 ≥ b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ a 0. La sucesi´on {an} converge debido a que es creciente y est´a
acotada superiormente. La sucesi´on {bn} converge por razones an´alogas. Siempre se
tendr´a que: bn − an = 12 (bn− 1 − an− 1 ), de donde se deduce que: bn − an = 2−n(b 0 − a 0 ).
Por ello
nlim→∞ bn^ −^ nlim→∞ an^ = lim n→∞ 2 −n(b^0 −^ a^0 ) = 0
y en consecuencia los l´ımites de las sucesiones anteriores toman el mismo valor
α = lim
n→∞
an = lim
n→∞
bn
Si tomamos tambi´en el l´ımite en la desigualdad: f (an)f (bn) ≤ 0, concluiremos que:
(f (α))^2 ≤ 0, lo cual implica que f (α) = 0, es decir α = r, la ra´ız buscada.
Cuando se trunca el proceso en una iteraci´on n, el error cometido ε aproximando la
soluci´on por el punto medio del n-´esimo intervalo encajado: r ≃ cn, ser´a evidentemente
menor que la semi-anchura de dicho intervalo, es decir:
b − a
2 n+^
⇔ r ∈ [an, bn] =
[
cn −
b − a
2 n+^
, cn +
b − a
2 n+
]
r 1 r 2
5
7.4 M´etodo de Newton-Raphson
El M´etodo de la Tangente o de Newton-Raphson, que presentaremos a continuaci´on,
constituye un m´etodo mucho m´as eficiente que el de la bisecci´on.
Desde un punto de vista geom´etrico, el M´etodo de Newton-Raphson consiste simple-
mente en aproximar la funci´on f (x), en las cercan´ıas de uno de sus ceros, r, por la recta
tangente a la curva y = f (x). Para ello supondremos que la funci´on f (x) es continua y
derivable en un entorno de r.
Si partimos de un valor x 0 como ra´ız aproximada, la recta tangente a y = f (x) en el
punto (x 0 , f (x 0 )) ser´a:
y − f (x 0 ) = f ′(x 0 )(x − x 0 )
cuyo corte con el eje de abscisas es:
x 1 = x 0 −
f (x 0 )
f ′(x 0 )
En las condiciones que veremos a continuaci´on, este valor, x 1 , estar´a m´as cercano
a la ra´ız r buscada que el inicial x 0. Si iteramos el razonamiento, encontraremos una
sucesi´on de puntos {xn} dada por la expresi´on:
xn+1 = xn −
f (xn)
f ′(xn)
convergente a la ra´ız r.
Debemos por tanto aclarar dos puntos importantes, en primer lugar encontrar las
condiciones en las que la sucesi´on {xn} es convergente, y, en segundo, demostrar que
converge a la ra´ız buscada.
El segundo de estos aspectos es f´acil de analizar, suponiendo que la sucesi´on tiene
l´ımite: nlim→∞ xn = α, entonces, recordando las propiedades b´asicas de los l´ımites y las
funciones continuas, tendremos:
nlim→∞ xn+1^ = lim n→∞ xn^ −^
limn→∞ f (xn)
limn→∞ f ′(xn)
f (α)
f ′(α)
⇒ f (α) = 0
Es decir, si la sucesi´on es convergente, entonces el l´ımite de la misma es una ra´ız de la
ecuaci´on.
Es posible determinar varios teoremas que determinan las propiedades que debe
verificar tanto f (x) como x 0 para garantizar la convergencia de la sucesi´on xn. El m´as
ilustrativo es el siguiente:
Teorema. Sea f (x) continua en [a, b] y derivable al menos dos veces en un abierto que
contenga al intervalo [a, b], y tal que:
a) f (a)f (b) < 0
b) f ′′(x) tiene signo constante en [a, b].
Si x 0 ∈ [a, b] es tal que f (x 0 )f ′′(x 0 ) > 0 , entonces la sucesi´on {xn} definida por la
expresi´on
xn = xn− 1 −
f (xn− 1 )
f ′(xn− 1 )
, n = 1, 2 ,...
es convergente a un l´ımite r tal que f (r) = 0.
Demostraci´on: Es evidente que en el intervalo existe una ra´ız r de la ecuaci´on f (x) = 0,
puesto que se verifican en el mismo las hip´otesis del Teorema de Bolzano. Supongamos en primer lugar que f (b) > 0 (y por tanto f (a) < 0) y f ′′(x) > 0 para todo x ∈ [a, b], entonces el punto x 0 deber´a ser tomado de manera que f (x 0 ) > 0. Obviamente f ′(x) se anula a lo m´as en un punto de [a, b], veamos a continuaci´on que en el caso de que dicho punto cr´ıtico exista, deber´a alcanzarse necesariamente para un valor xc tal que f (xc) < 0, es decir que f ′(x) ser´a distinta de cero en [r, b] (en particular, ser´a necesariamente positiva, por ser f (x) creciente de dicho sub-intervalo). Efectivamente, si existe xc con f ′(xc) = 0, necesariamente ser´a un m´ınimo local de la funci´on, pero adem´as es el m´ınimo absoluto de la funci´on en [a, b] (la ausencia de puntos de inflexi´on en [a, b] impide la existencia de m´aximos locales, y por tanto la funci´on no puede decrecer por debajo de f (xc)). Dado que la funci´on toma valores negativos, necesariamente f (xc) < 0. Esta demostraci´on tiene tambi´en como consecuencia evidente que la funci´on alcance un ´unico cero en [a, b]. Demostremos entonces que en estas condiciones la sucesi´on {xn} est´a acotada inferiormente y es decreciente, por lo tanto es convergente (y ya se ha demostrado que si converge, el l´ımite es necesariamente una ra´ız de la ecuaci´on, con lo que quedar´ıa demostrado el teorema). Procederemos por inducci´on en n para demostrar la acotaci´on de la sucesi´on. Evidentemente x 0 > r y supongamos que xn > r. Calculemos el polinomio de Taylor de f (x) en xn, tendremos:
f (x) = f (xn) + f ′(xn)(x − xn) +
f ′′(ξ)(x − xn)^2
con ξ ∈ (x, xn) o ξ ∈ (xn, x), seg´un el caso. En particular:
0 = f (r) = f (xn) + f ′(xn)(r − xn) +
f ′′(ξ)(r − xn)^2
con ξ ∈ (r, xn). Entonces:
f (xn) + f ′(xn)(r − xn) < 0 ⇒ r < xn − f (xn) f ′(xn) = xn+
´exito y la rapidez en la convergencia depende de la buena elecci´on de dicha funci´on. El
proceso puede ser escrito en la forma:
xk = g(xk− 1 ) = g(g(xk− 2 )) = ... = g(g(g(( ...n) (g(x 0 )))))
Denotemos por c a la soluci´on buscada, tendremos entonces que: f (c) = 0, o equivalen-
temente, c = g(c). El error que cometemos en cada iteraci´on puede ser escrito como
|xk − c| = |g(xk− 1 ) − c| = |g′(yk− 1 )(xk− 1 − c)| = |g′(yk− 1 )||xk− 1 − c| ≤ Mk− 1 |xk− 1 − c|
donde se ha aplicado el teorema de Lagrange o de los incrementos finitos de modo que
yk− 1 ∈ (xk− 1 , c) y donde tomamos Mk− 1 como una cota de la derivada de g′(x) en el
intervalo (xk− 1 , c). Siendo M = m´ax{M 1 , M 2 , M 3 , ...} llegar´ıamos a una expresi´on de la
forma
|xk − c| = M k|x 0 − c|
de modo que la convergencia est´a asegurada para M < 1, esto es dado que el punto
de inicio de la recurrencia puede ser elegido arbitrariamente si existe un entorno de la
soluci´on x = c para el que se verifica que
|g′(x)| < 1 ∀x ∈ E(c)
Adem´as es sencillo advertir que cuanto m´as peque˜no sea el valor de |g′(x)| tanto m´as
r´apida ser´a la convergencia a la soluci´on.
Ejemplo: Calcularemos alguna ra´ız de la ecuaci´on: x^2 − 3 x + ex^ − 2 = 0, mediante el m´etodo
del punto fijo.
Separemos en primer lugar las ra´ıces. Llamaremos : f (x) = ex^ + x^2 − 3 x − 3. Calculando las dos primera derivadas de f (x): f ′(x) = ex^ + 2x − 3, f ′′(x) = ex^ + 2 ̸= 0 ∀x ∈ R, por lo que f (x) a lo sumo tendr´a dos ra´ıces. Es f´acil encontrar ahora valores relevantes: f (−1) = 2. 36788 > 0, f (0) = − 1 < 0, f (2) = 3, 38906 > 0. Tenemos en definitiva que existen dos y s´olo dos ra´ıces separadas de la forma: r 1 ∈ [− 1 , 0], y r 2 ∈ [0, 2]. Calcularemos r 1. Podemos re-escribir la ecuaci´on de manera id´onea para ser aplicado el m´etodo del punto fijo:
x = x^2 + ex^ − 2 3 =^ g(x)
con la iteraci´on: xk = g(xk). N´otese que en este caso |g′(x)| = |^2 x+e
x| 3 <^ 1 para los valores x ∈ (− 1 , 0) puesto que 2x < 2 y ex^ < 1 en dicho intervalo. Si partimos de un valor inicial x 0 = 0 obtenemos los valores
i xi− 1 xi |xi − xi− 1 | f (xi) 1 0 -0.333333 0.333333 - 2 -0.333333 -0.390786 0.057453 0. 3 -0.390786 -0.390254 0.000532 -0. 4 -0.390254 -0.390272 0.000018 9.74055 10−^7
7.6 Otros M´etodos*
M´etodo de la posici´on falsa: Es una variante del m´etodo de la bisecci´on y consiste
dividir cada intervalo no mediante el punto medio sino por el punto de corte entre la
secante que une los puntos (a, f (a)) y (b, f (b)) el cual es f´acilmente evaluado como c =
af (b)−bf (a)
f (b)−f (a) , reiterando el proceso. Se presume que el m´etodo converge m´as r´apidamente
que el m´etodo de la bisecci´on. Sin embargo pueden aparecer problemas de estancamiento
con los valores obtenidos de la iteraci´on.
M´etodo de la posici´on falsa modificado: Resuelve los problemas de estancamiento
del m´etodo anterior llevando al valor de la funci´on en la cota inferior a la mitad.
M´etodo de Newton-Raphson con derivada num´erica: Para evitar el c´alculo
expl´ıcito de la derivada y su evaluaci´on en el punto xk se toma un incremento h peque˜no
y se aproxima la derivada bien por su valor por la derecha (forward) o por la izquierda
(back)
f ′(xk) =
f (xk + h) − f (xk)
h
f ′(xk) =
f (xk − h) − f (xk)
h
h <<
M´etodo de la secante: En la evaluaci´on aproximada de la derivada en el punto anterior
debe ser evaluada la funci´on en nuevos puntos, con el coste de memoria y tiempo que
ello conlleva. Para solventar este problema se propone que la magnitud h sea tal que
coincida la derivada sea aproximada por la tangente de la secante de los puntos xk y
xk− 1. Entonces se tiene la iteraci´on siguiente:
xn+1 = xn − f (xn)
xn − xn− 1
f (xn) − f (xn− 1 )
n ≥ 1
donde debemos dar dos puntos para iniciar el algoritmo.
3. Demuestra que la ecuaci´on: 2x^2 = x + cos^2 x, admite dos y s´olo dos ra´ıces reales.
Calcula una de ellas con una precisi´on de hasta la cuarta cifra decimal.
Sea f (x) = 2x^2 − x − cos^2 x = 0. Derivando: f ′(x) = 4x − 1 + sen 2x, f ′′(x) = 4 + 2 cos 2x. Es obvio que la segunda derivada es no nula para todo x ∈ R. As´ı la primera derivada a lo sumo tendr´a una ra´ız y por tanto la funci´on f (x) a lo sumo tendr´a dos ra´ıces. Dando valores a x: f (−1) = 2 + 1 − cos^2 (−1) < 0, f (0) = −1 y f (1) = 1 − cos^2 1 < 0. Tenemos por tanto que hay dos y s´olo dos ra´ıces, separadas en los intervalos: (− 1 , 0) y (0, 1). Calculemos aproximadamente la ra´ız positiva utilizando el m´etodo de Newton-Raphson con la precisi´on pedida:
i xi− 1 xi |xi − xi− 1 | f (xi) 1 0.5 0.918226 0.418226 0. 2 0.918226 0.808456 0.10977 0. 3 0.808456 0.801714 0.006742 0. 4 0.801714 0.801686 0.0000277 1.5 10−^9
que nos permite concluir que la soluci´on es aproximadamente c ≈ 0 .801686 con 5 cifras decimales exactas.
4. Dada la funci´on f (x) = x sen x, estamos interesados en estudiar su comportamiento
en el intervalo [0, π]. Dado que f (x) se anula en x = 0 y en x = π, de acuerdo con
el teorema de Rolle, la funci´on tiene al menos un punto cr´ıtico en el interior de dicho
intervalo. De hecho s´olo tiene uno en ese intervalo, c´alculalo con una precisi´on de 3 cifras
decimales. Determina si se trata de un m´aximo o de un m´ınimo.
La ecuaci´on que debemos estudiar es f ′(x) = sen x + x cos x = 0. Por ello consideraremos la resoluci´on de la ecuaci´on g(x) = sen x + x cos x = 0. g′(x) = 2 cos x − x sen x. Y as´ı:
i xi− 1 xi |xi − xi− 1 | f (xi) 1 2 2.02905 0.02904 0. 2 2.02905 2.02876 0.00029 7.5 10−^8
que nos permite concluir que la soluci´on es aproximadamente c ≈ 2 .02876.
