¡Descarga Cálculo Matemático y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Tema 1
Funciones reales de variable real
Introducci´on
En este primer tema del Bloque de C´alculo tendremos como objetivo fundamental el recordar conceptos ya conocidos acerca de las funciones reales de variable real.
1.1 Conceptos Generales
Definici´on. Una funci´on real de variable real f : A → R es una correspondencia de A ⊂ R en R que asigne a todo x ∈ A a lo m´as un n´umero real y = f (x).
En esta primera parte del curso estudiaremos ´unicamente funciones reales de variable real, de forma que escribiremos directamente “funciones” para referirnos a ellas. Definici´on. Llamaremos Dominio de f , Dom f , al conjunto de elementos de A para los cuales existe f (x).
Habitualmente consideraremos A = Domf , en tal caso f ser´a una aplicaci´on.
Otra definici´on elemental es la del conjunto Imagen de la funci´on f , Imf :
Imf = {y ∈ R/∃x ∈ A, f (x) = y}
Ejemplo 1: La funci´on: f (x) = x^2 est´a definida sobre todos los n´umeros reales, es decir Domf = R, pero su imagen la constituyen tan s´olo los n´umeros reales no negativos: Im f = R+.
Ejemplo 2: La “ra´ız cuadrada”, entendiendo por ra´ız cuadrada la funci´on que hace corres- ponder a cada x ∈ R+ los n´umeros reales y tales que y^2 = x, no es, estrictamente hablando, una funci´on, pues a cada x ∈ R+ le asigna dos n´umeros reales: f (x) = ±√x. En esta situaci´on a veces se utiliza el t´ermino “funci´on bivaluada” para hacer referencia al hecho de que cada x ∈ Domf tiene dos im´agenes. En realidad, evidentemente, se trata de dos funciones diferentes:
g(x) = √ x , h(x) = − √ x
1
Tenemos entonces que: Dom g =Dom h =R+ (ver figura 1.1 (izquierda)), mientras que Im g = R+, e Im h = R−. Nota: utilizaremos siempre la notaci´on √x para referirnos la ra´ız cuadrada positiva del n´umero real x ∈ R+. La ra´ız cuadrada negativa ser´a denotada por tanto: −√x
Forma anal´ıtica, gr´afica y tabular de presentar una funci´on. Se dice que una funci´on y = f (x) est´a expresada en forma anal´ıtica si se define por la f´ormula que indica las operaciones que debemos realizar con todo valor del dominio de f para obtener el correspondiente valor de la imagen. En general, si no est´a especificado, se sobreentiende que el dominio de la funci´on es el conjunto de valores reales para los cuales la expresi´on anal´ıtica que define la funci´on toma s´olo valores reales y finitos. (Nota: la expresi´on o f´ormula no tiene por qu´e ser ´unica, la funci´on puede estar definida “a trozos”). Se denomina gr´afica de una funci´on y = f (x) al conjunto de puntos que se obtienen tomando los pares de valores (x, f (x)) como coordenadas de un punto del plano. Una funci´on est´a expresada gr´aficamente si viene dada por su gr´afica.
graf(f ) = {(x, y) ∈ R^2 / y = f (x) }
Una funci´on se dice prefijada en forma tabular si se indican los valores num´ericos de la funci´on para algunos valores de la variable x. Los hechos experimentales suelen estar descritos por este tipo de expresi´on.
Ejemplo: La funci´on
f (x) =
{ x^2 si x > 1 − 2 x + 3 si x ≤ 1
est´a definida en forma anal´ıtica a trozos. Su representaci´on gr´afica es la siguiente:
0.5 1.0 1.5 2.
2
4
6
8
Figura 1.1: Izquierda: Gr´aficas de las funciones g(x) y h(x) del Ejemplo 2. Derecha: gr´afica de f (x).
Como curiosidad, podemos citar que no todas las funciones reales de variable real admiten representaci´on gr´afica, as´ı por ejemplo la funci´on de Dirichlet: D(x) = 1 si x es un n´umero racional, y D(x) = 0 si x es irracional, no puede ser representada.
que claramente envuelve un n´umero infinito de las mismas. Otros ejemplos muy conocidos son:
sen x = x − x
3 3! +^
x^5 5! −^
x^7 7! +^...
cos x = 1 − x
2 2! +^
x^4 4! −^
x^6 6! +^...
1.2 Propiedades
- Crecimiento y decrecimiento. Sea f : A → R (A=Domf ) y sea B ⊂ A. Entonces: f es creciente en B si ∀x 1 , x 2 ∈ B tales que x 1 < x 2 se verifica f (x 1 ) ≤ f (x 2 ). f es estrictamente creciente en B si ∀x 1 , x 2 ∈ B, x 1 < x 2 ⇒ f (x 1 ) < f (x 2 ). f es decreciente y estrictamente decreciente en B de maneras an´alogas.
Los puntos en los que una funci´on pasa de ser creciente a ser decreciente (o vicecersa) son los m´aximos relativos (respectivamente m´ınimos relativos) de la funci´on.
Ejemplo: La funci´on
f (x) =
x si x ≤ 0 0 si 0 < x < 1 x − 1 si x ≥ 1
es creciente pero no estrictamente creciente en R. En las regiones A 1 = (−∞, 0] y A 2 = [1, ∞), la funci´on es estrictamente creciente.
1
2
Figura 1.3: Gr´afica de f (x).
- Concavidad y convexidad. Los conceptos de concavidad y convexidad de una funci´on pueden definirse de diferentes maneras, no siempre equivalentes, que se comentar´an en temas sucesivos. Desde un punto de vista geom´etrico, para una funci´on tal que su gr´afica en el intervalo (a, b) sea una curva continua, diremos que f (x) es c´oncava en (a, b) si dados dos puntos cualesquiera de la gr´afica el segmento que los une queda por encima de la curva. Si dicho segmento queda por debajo entonces la funci´on ser´a convexa. Con frecuencia se define funci´on c´oncava y convexa con el criterio exactamente contrario, por
ello es habitual tambi´en llamar funci´on c´oncava hacia arriba y funci´on c´oncava hacia abajo a las funciones c´oncavas y convexas respectivamente. Los puntos en los que una funci´on cambia su concavidad por convexidad (y rec´ı- procamente) se denominan puntos de inflexi´on de la funci´on. Veremos en los pr´oximos temas que la concavidad y convexidad pueden caracterizarse por otros medios para el caso en el que la funci´on sea derivable (una o dos veces) en todos los puntos del conjunto considerado.
1 2 3 4 5
2
4
6
1 2 3 4 5
2
4
6
8
10
12
14
Figura 1.4: Funci´on c´oncava hacia abajo (izquierda) y c´oncava hacia arriba (derecha).
- Paridad e imparidad. Sea f : A → R, con Domf =A y tal que si x ∈ A ⇒ −x ∈ A. Entonces se define:
f es una funci´on impar si ∀x ∈ A se verifica f (−x) = −f (x).
f es una funci´on par si ∀x ∈ A se verifica f (−x) = f (x).
La gr´afica de una funci´on par presenta una simetr´ıa con respecto al eje de ordenadas mientras que la de una funci´on impar es sim´etrica con respecto al origen de coordenadas.
Ejemplo: La funci´on valor absoluto f (x) = |x| es un ejemplo sencillo de funci´on par. La funci´on g(x) = x^3 − 3 x es impar.
1
2
Figura 1.5: Gr´aficas de f (x) = |x| y g(x) = x^3 − 3 x.
Ejemplo: La funci´on exponencial f (x) = ex^ no es ni par ni impar. Sin embargo la funci´on: ex^ + e−x, s´ı que es par, mientras que ex^ − e−x^ es impar, como puede comprobarse f´acilmente. Se
Ejemplo: La funci´on f (x) = x − E[x] es peri´odica de periodo 1. E[x] es la funci´on “parte entera”, es decir la funci´on que asigna a x el mayor n´umero entero menor o igual a x (por ejemplo: E[1.8] = 1, E[4.782] = 4, E[− 0 .3] = −1,... ).
Figura 1.8: Gr´afica de la funci´on f (x) = x − E[x].
- Composici´on de funciones. Dadas las funciones f : A → R y g : B → R, tales que A =Domf , B =Domg, Imf ⊂ B, se define la funci´on compuesta:
g ◦ f : A → R
de la forma g ◦ f (x) = g(f (x)), ∀x ∈ A.
Ejemplo: Consideremos las funciones f (x) = x^2 y g(x) = sen x, la composici´on de ambas ser´a diferente de manera obvia seg´un el orden considerado, as´ı tendremos:
f ◦ g(x) = f (g(x)) = (sen x)^2 = sen^2 x , g ◦ f (x) = g(f (x)) = sen x^2
2
4
6
8
-Π - Π 2 Π 2 Π
1
-Π - Π 2 Π 2 Π
1
-Π - Π 2 Π 2 Π
1
Figura 1.9: Gr´aficas de las funciones f (x) = x^2 y g(x) = sen x (arriba), y gr´aficas de las composiciones f ◦ g y g ◦ f (abajo).
- Funci´on inversa. Sea f : A → R, con Domf =A, una funci´on inyectiva (es decir, tal que si f (x 1 ) = f (x 2 ), entonces x 1 = x 2 ), entonces existe y es ´unica la funci´on h :Imf → R tal que h(f (x)) = x, ∀x ∈ A, a la que llamaremos funci´on inversa de f y denotaremos h = f −^1. Tambi´en es inyectiva y verifica f (h(x)) = x, ∀x ∈Domh=Imf.
Ejemplo 1: La inversa de la funci´on exponencial: f (x) = ex^ es la funci´on logaritmo neperiano: h(x) = ln x, es decir:
f (h(x)) = eln^ x^ = x , h(f (x)) = ln ex^ = x
1
2
3
Figura 1.10: Gr´aficas de las funciones exponencial y logaritmo neperiano.
Ejemplo 2: La funci´on tangente no es inyectiva. Por ello su funci´on inversa, el arcotangente, no est´a bien definida, pues se trata de una funci´on multivaluada para cada x ∈ R. Si nos limitamos a considerar f (x) = tan x en intervalo ( (^) −π 2 ,^ π 2
) , entonces h(x) = arctan x s´ı que est´a bien definida como funci´on real de variable real (y recibe el nombre de Determinaci´on Principal del arcotangente). Ver figuras.
2
4
6
-Π
Π
Figura 1.11: Gr´aficas de las funciones tangente y arcotangente.
Definici´on. Se dice que un conjunto de n´umeros reales E est´a acotado si lo est´a supe- rior e inferiormente. L´ogicamente, un conjunto acotado est´a contenido en un intervalo cerrado [a, b]. El n´umero real b (resp. a) de la anterior definici´on recibe el nombre de cota superior (resp. inferior) del conjunto E. Definici´on. La menor de todas las cotas superiores de un conjunto de n´umeros reales E recibe el nombre de supremo de E. Respectivamente, la mayor de las inferiores es el ´ınfimo de E. Si el supremo (resp. ´ınfimo) de un conjunto de n´umeros reales pertenece a dicho conjunto, entonces se le llama m´aximo (resp. m´ınimo). Definici´on. Dado un n´umero real x 0 , llamaremos entorno de x 0 , E(x 0 ) a todo intervalo abierto que contenga dicho punto. Se suelen utilizar entornos centrados en el punto x 0 y de radio ϵ, es decir, de la forma: Eϵ(x 0 ) = (x 0 − ϵ, x 0 + ϵ). Se denomina entorno reducido E∗(x 0 ) del punto x 0 a un entorno de x 0 , E(x 0 ) del cual se excluye al punto x 0. Definici´on. Un punto x 0 , perteneciente o no a un conjunto de n´umeros reales E, se llama punto de acumulaci´on de E si todo entorno reducido de x 0 contiene puntos de E. Definici´on. Un punto x 0 , perteneciente a un conjunto de n´umeros reales E, se denomina punto interior de E si existe un entorno de x 0 contenido completamente en E. Definici´on. Un punto x 0 , perteneciente a un conjunto de n´umeros reales E, se denomina punto aislado de E si existe un entorno reducido de x 0 que no contiene puntos de E.
1.4 Ap´endice B. N´umeros Complejos
Aunque en esta asignatura se estudia el C´alculo para funciones reales de variable real, con frecuencia es necesario utilizar algunos conceptos b´asicos de los n´umeros complejos. Por ello incluiremos un breve ap´endice sobre los mismos. Desde un punto de vista formal se puede definir el conjunto C de los n´umeros com- plejos como el conjunto de parejas de n´umeros reales: (x, y) ∈ R × R, en el que se han definido las operaciones:
- Suma: (x, y) + (x′, y′) = (x + x′, y + y′)
- Producto: (x, y) · (x′, y′) = (xx′^ − yy′, xy′^ + x′y)
Sin embargo es m´as ´util en la pr´actica utilizar la notaci´on que se deriva de considerar el concepto de unidad imaginaria (introducido por Leonhard Euler en 1777): Definiremos
la unidad imaginaria i como un objeto matem´atico que verifica: i^2 = −1. Obviamente no se trata de un n´umero real. Llamaremos entonces n´umeros imaginarios (o n´umeros imaginarios puros) a los de la forma: a i, siendo a un n´umero real cualquiera. Informal- mente podemos entonces definir los n´umeros complejos como las “sumas” de n´umeros reales e imaginarios. Por ejemplo: z = 2 + 3 i. Desde este punto de vista, la suma de dos n´umeros complejos: z = x + y i y z′^ = x′^ + y′^ i, ser´a:
z + z′^ = (x + yi) + (x′^ + y′i) = x + x′^ + (y + y′) i
Mientras que el producto:
z · z′^ = (x + yi) · (x′^ + y′i) = xx′^ + xy′^ i + yx′^ i + yy′^ i^2 = xx′^ − yy′^ + (xy′^ + x′y) i
donde se ha tenido en cuenta que por definici´on: i^2 = −1. La identificaci´on de las dos definiciones es obvia: (x, y) ≡ x + y i, y entonces todas las operaciones coinciden trivialmente en ambas versiones, como pod´ıa esperarse. Para todo n´umero complejo z = x + y i ∈ C se define su parte real: Re(z) = x y su parte imaginaria: Im(z) = y. Los n´umeros reales pueden verse entonces como n´umeros complejos de parte imaginaria nula, es decir: x = x + 0 i, mientras que los n´umeros imaginarios puros son los n´umeros complejos de parte real nula: y i = 0 + y i. Para todo n´umero complejo z = x + y i se define su complejo conjugado como el n´umero complejo ¯z (o z∗) tal que tiene la misma parte real pero parte imaginaria opuesta, es decir: z = x + y i , z¯ = x − y i
Obviamente ¯z¯ = z. De igual manera que los n´umeros reales los representamos habitualmente por una recta (“la recta real”), los n´umeros complejos se representan en un plano: “el plano complejo”. Para ello basta con tomar unos ejes cartesianos en el plano e identificar la abscisa con la parte real del n´umero complejo y la ordenada con la parte imaginaria. De esta forma a cada n´umero complejo le corresponde un ´unico punto del plano, que suele llamarse el afijo del n´umero complejo.
Si se introducen las coordenadas polares en el plano complejo (ver Figura 1.13):
- M´odulo de un n´umero complejo: r = distancia del afijo al origen de coordenadas. ∀z = x + y i ∈ C ⇒ |z| = r =
x^2 + y^2
- Argmento de un n´umero complejo: φ = ´angulo formado por el segmento que une el afijo y el origen con el eje de abscisas positivas. ∀z = x + y i ∈ C ⇒ Arg(z) = φ = arctan y x
