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Cinemática de la Partícula
2.1 Conceptos Básicos Partícula o Punto Material Además del movimiento de traslación, los cuerpos pueden efectuar movimientos de rotación y de vibración. Cuando se analiza el movimiento de traslación exclusivamente, resulta conveniente introducir el concepto de partícula, asumiendo que el cuerpo se comporta como un punto, con toda su masa concentrada en él. Siempre que sólo interese analizar el movimiento de traslación, se puede suponer, en primera aproximación, que el cuerpo en cuestión se comporta como una partícula. De esta forma se centra la atención en la traslación, y se deja de tomar en cuenta las posibles rotaciones y vibraciones, que siempre pueden ser analizadas posteriormente. La aproximación será más cercana a la realidad mientras mayores sean las distancias involucradas en comparación con las dimensiones del objeto en cuestión.
Vector de posición El movimiento es relativo. Cuando se menciona que un cuerpo se mueve, hay que especificar con relación a qué se está moviendo. Usualmente se toma la Tierra como sistema de referencia , pero la Tierra también se mueve alrededor del Sol, y éste, junto con todo el sistema solar, alrededor del centro de la galaxia y con relación a otras galaxias, etc. La posición de una partícula respecto a cualquier sistema de referencia se
especifica mediante el vector de posición r xi yj zk
r r r r = + +. Conociendo
(x,y,z) se conoce exactamente la posición de la partícula. En lo que sigue sólo se analizaran problemas en 1 y 2 dimensiones (recta y plano), por lo que la representación del vector de posición será en el plano xy:
r xi y j
r r^ r
Trayectoria y Desplazamiento Cuando la partícula varía su posición con el transcurso del tiempo, la curva imaginaria que se obtiene al unir las posiciones sucesivas que va ocupando la partícula se denomina trayectoria de la misma. En este caso el
vector de posición será función del tiempo, lo que se designa por r r(t)
r r =.
Como r xi yj
r r r = + , también se cumplirá que x = x(t) ; y = y(t).
Supongamos que en un instante t 1 , la partícula se encuentra en la posición
P 1 , con vector de posición r 1
r
. Y que en un instante posterior se encuentra en
P 2 , asociado a r 2
r
. Se define el desplazamiento de la partícula en el
intervalo de tiempo ∆t = t 2 – t 1 como ∆ r
r = r 2
r
r Se ve fácilmente
que, efectivamente, r 2
r = r 1
r
r .
2.2 Velocidad y Módulo de la Velocidad
Velocidad
Si la partícula ha realizado un desplazamiento ∆ r
r
en el intervalo de
tiempo ∆t, es posible definir su velocidad media por la expresión
t
r vm ∆
r r
Como ∆t es un escalar siempre positivo, la velocidad media siempre tiene la misma dirección y sentido
que el desplazamiento ∆ r
r
. La velocidad instantánea (o simplemente, la velocidad) se define como el límite para cuando ∆t → 0:
t
r t 0
lim v ∆
r r
P
k
j
i
r
r
P
y
j
r
r
P 1
P 2
r
r
r 1
r
r 2
r
dt
v dr
r r =
Cuando ∆t tiende a cero, el vector desplazamiento también tiende a cero, y cada vez la cuerda se acerca más a la tangente a la curva (ver figura).
Como la velocidad tiene la misma dirección que ∆ r
r , también su dirección se acercará cada vez más a la tangente a la curva. En el límite, cuando ∆t= 0, la dirección de la velocidad coincide con la tangente a la trayectoria. Es decir, la velocidad instantánea de la partícula siempre es tangente a la trayectoria.
En coordenadas cartesianas en dos dimensiones, donde r xi yj
r r^ r
derivando con respecto al tiempo se obtiene
v vxi vy j
r r^ r = +
donde vx y vy son las componentes de la velocidad a lo largo de los ejes coordenados: vx=dx/dt, vy=dy/dt. Módulo de la Velocidad Considere un segmento cualquiera de trayectoria recorrida entre los puntos P 1 y
P 2 , y sea ∆l la longitud de ese intervalo. Si la longitud se recorre en el intervalo ∆t = t 2 – t 1 , la velocidad (módulo) de la partícula se define por la expresión
Módulo de la Velocidad = t (^0) t
lim
∆
l
De la figura se ve que ∆l y ∆r no son iguales sino que, a lo más, ∆l ≈ ∆r. Sin embargo, a medida que el intervalo ∆t se hace menor y el punto P 2 se acerca a P 1 , el valor de ∆r y el de ∆l irán siendo cada vez más similares. En el límite para ∆t → 0 el punto P 1 y el P 2 prácticamente coinciden, y es posible sustituir
uno por el otro. En ese caso dl = dr, y queda entonces
t (^0) t
lim
∆
l
dt
dr dt
d
l = |v| dt
d r r
r = = v
Si se desea calcular la longitud ∆l recorrida a lo largo de la trayectoria, despejando en la expresión anterior se obtiene dl = vdt, por tanto,
t
o to
dl vdt
l
l
∆l = ∫
t
to
vdt
2.3 Aceleración
Sean v 1
r
y v 2
r
las velocidades de una partícula en los instantes t 1 y t 2 , respectivamente. La aceleración
media de la partícula en ese intervalo de tiempo se define por la expresión
t
v am ∆
r r
y se comprueba fácilmente que el vector am, paralelo al vector ∆v, está dirigido siempre hacia la parte cóncava de la trayectoria (ver figura). La aceleración (instantánea) se define como el límite de la aceleración media cuando el intervalo ∆t tiende a cero:
t
v t 0
lim a ∆
r r
dt
dv a
r r =
P 1 ∆l
∆r P 2
v
r
r
r
r
r
t1,
t 2 ,
v 1
r
v 2
r a^ rm
v
r
v 2
r
v 1
r
vectores T
r , To
r y ∆ T
r , por ser isósceles con ángulo común entre los lados iguales. Que el ángulo es el
mismo en ambos casos se ve fácilmente considerando que los vectores unitarios son perpendiculares a los correspondientes radios de la circunferencia. Cuando dos ángulos agudos tienen sus lados correspondientes perpendiculares entre sí, son iguales. Analizando entonces la proporcionalidad entre lados homólogos de triángulos semejantes, se cumplirá que
R
R
T
v t
T
m
R
v
t
T (^) m
∆
Considerando ahora un intervalo ∆t tendiendo a cero, la velocidad media vm tenderá al valor de la velocidad instantánea en un punto, y el cociente ∆T/∆t se convertirá en la derivada dT/dt. Es decir,
dT/dt = v/R
que es la expresión que deseábamos encontrar. Sustituyendo en la formula de la página anterior, se llega a:
a
r = N R
v T dt
dv r^2 r
donde el término v^2 /R es la componente normal de la aceleración, o simplemente, aceleración normal. En resumen, cuando nos referimos a un sistema de referencia que se mueve junto con la partícula a lo largo de la trayectoria, es posible expresar la aceleración por la expresión
a atT an N
r r^ r = + at = dv/dt an = v^2 /R
Notar que an es siempre positiva, mientras que at puede ser positiva o negativa, según sea que la partícula vaya aumentando o reduciendo su velocidad a lo largo de la trayectoria. El vector aceleración siempre estará dirigido hacia la parte cóncava de la curva. Su dirección puede obtenerse a partir de las componentes; tanθ = an/at.
2. 4 Caso en que ā = 0: Movimiento Rectilíneo Uniforme A continuación se estudian algunos casos particulares de movimiento, comenzando por el más sencillo posible.
Si dt
dv a
r r = = 0, entonces necesariamente v
r = constante. Si la
velocidad es constante (módulo, dirección, sentido) el movimiento tiene que ser a lo largo de una recta. Y en ese caso resulta conveniente escoger el eje x de forma que coincida con la dirección del movimiento. El vector de posición de la partícula tendrá la forma.
θ a = a Tt
r r
a n = a Nn
r r a
r
v(t ) 1
r
v(t ) 2
r
r = xi
r r
En la figura, | r 1
r
| = x 1 ; | r 2
r
| = x 2. Como sólo hay una dirección con dos posibles sentidos, se puede adoptar
el convenio de que los vectores que estén dirigidos hacia la derecha se representen con un signo (+),
mientras que los dirigidos a la izquierda se representen con un signo (-). De esta forma se puede obviar
completamente la representación vectorial, y trabajar sólo con los escalares. Así se obtiene, para la
velocidad media vm = ∆x/∆t
donde ∆x = x 2 – x 1 , ∆t = t 2 – t 1 (positiva cuando el movimiento es hacia la derecha, negativa en caso contrario). Como la velocidad es constante, la velocidad instantánea será igual a la velocidad media en todo instante, por tanto:
v = ∆x/∆t
Esta es la fórmula de la velocidad en el MRU. Tomando t 1 = 0 (momento en que se comienza a contar el tiempo) y despejando ∆x en la expresión anterior, se llega a la expresión para el espacio recorrido:
∆x = vt. Si se desea expresar como varia la abscisa en función del tiempo, sustituyendo ∆x en la expresión anterior, se obtiene
x = xo + vt
donde se ha llamado xo a la posición de la partícula para t = 0. Si se grafica la velocidad en función del tiempo, se obtiene una recta paralela el eje de las t. En cambio, la ecuación de la abscisa en función del tiempo es la ecuación de una recta con intercepto xo y pendiente v. Ejercicio : Analizar como queda el gráfico cuando xo es negativo y la velocidad también. Unidades En el SI de unidades las longitudes se miden metros y el tiempo en segundos. Por tanto, [v] = [L]/[¨t] = m/s [a] = [v]/[t] = m/s^2
2.5 Movimiento a lo Largo de una Recta con a ≠≠≠≠ 0 (constante). MRUV Fórmula de la Velocidad en el Mov. Rectilíneo Uniformemente Variado En este caso la expresión de la aceleración, considerando una sola dimensión queda como a = dv/dt. Considerando la derivada como un cociente de infinitesimales un instante antes de alcanzar el límite, es posible trabajar con los diferenciales como si fueran números reales. Por tanto, despejando en la ecuación anterior, dv = a dt. La igualdad debe mantenerse cuando se integra a ambos lados de la expresión, considerando que para el instante inicial to la velocidad de la partícula tenía el valor to y que la aceleración es constante y se puede sacar fuera de la integral,
xo θ (v = tan θ)
x
t
0 x 1 ,t 1 x 2 ,t 2
r 2
r
r 1
r
Finalmente, como ∆x también puede escribirse como ∆x = vmt, sustituyendo la expresión (4) se llega a
∆x = (^)
(^) +
2
v (^) o v t (2.5.5)
Note que las ecuaciones (1) a la (5) se derivaron para el caso particular en que la aceleración es constante y a lo largo de una recta. No se pueden aplicar en ningún otro caso.
2.6 Caída Libre de los Cuerpos Resultados Experimentales Cuando es posible despreciar la resistencia del aire, todos los cuerpos caen verticalmente hacia la tierra con la misma aceleración, de aproximadamente g = 9.8 m/s^2. Esto se puede comprobar fácilmente en experimentos de cátedra, donde una pluma y una esfera pequeña de acero caen al unísono en un tubo al que se le ha extraído el aire previamente. Los ejes de la gráfica adjunta representan la distancia al punto inicial y el tiempo transcurrido desde que se deja caer un objeto cerca de la superficie terrestre. La gravedad acelera el objeto, que sólo cae unos 20 m en los primeros dos segundos, pero casi 60 metros en los dos segundos siguientes Como el movimiento de caída libre es con aceleración constante y a lo largo de una recta, se regirá por las mismas expresiones que el MRUV. Lo único que varía es el sistema de referencia, que ahora se encuentra vertical (equivale a rotar 90 o^ a la izquierda el sistema de referencia que se utiliza para el movimiento en el eje x. El convenio de signos se mantiene).
Con este convenio de signos, las ecuaciones de la caída libre
toman la forma siguiente:
v = vo – gt ∆y = vot – (1/2) gt^2 v^2 = vo^2 – 2g∆y
Notar que, al igual que el movimiento analizado en el eje x, la variable y representa la abscisa en un instante determinado, y no el espacio recorrido por la partícula. Usualmente el cero del sistema de referencia se toma de forma que coincida con la superficie de la tierra, pero es posible colocarlo en cualquier otro lugar.
2.7 Movimiento de Proyectiles Proyectil Un proyectil es cualquier objeto que se mueve bajo la acción exclusiva de la gravedad y de la resistencia del aire, después que se le aplica un impulso inicial. En lo que sigue no tomaremos en cuenta la resistencia del aire (aproximación válida cuando la distancia a recorrer por el proyectil no es muy grande). Cuando se analiza la variación de la posición (y = y(x)) se comprueba que cualquier proyectil describe una trayectoria característica (aproximadamente parabólica) representada esquemáticamente en la figura.El movimiento del proyectil se caracteriza por una serie de parámetros:
v o
r
: velocidad inicial
θo : ángulo de lanzamiento o ángulo inicial (note que el ángulo que forma la velocidad con la horizontal
a = -
v+
v-
0 v+
v-
y
x
θ^ xh o
v o
r
g
r
v
r
varía a medida que el proyectil avanza) ym : altura máxima que alcanza el proyectil xh: alcance horizontal (distancia recorrida a lo largo del eje x) tv : tiempo de vuelo (tiempo que el proyectil está en el aire)
Es posible encontrar relaciones entre todas estas magnitudes; por ejemplo, el alcance horizontal como función de la velocidad inicial y el ángulo de disparo. La posición del proyectil quedará determinada completamente en cada instante si se conoce su ley del movimiento , es decir, si se conoce la
dependencia r r(t)
r r =.
Como estamos en un movimiento en dos dimensiones, entonces (^) r xi yj
r r r = + , donde x = x(t) , y = y(t).^ Si
se conoce el vector de posición en cada instante, entonces se puede conocer también la velocidad en
cada instante, puesto que dt
dr v
r r =. Para calcular y(t) y x(t) analicemos la componente del movimiento en
cada eje por separado.
Movimiento en el Eje X La única aceleración actuando es la de la gravedad, que no tiene componente en el eje x. Por tanto, el movimiento en el eje x es con velocidad constante, a lo largo de una recta. Las expresiones a utilizar son las mismas del Movimiento Rectilíneo y Uniforme, tomando la proyección o componente de la velocidad inicial a lo largo del eje x: vx = vocosθo ∆x = vocosθot Movimiento en el Eje Y La componente de la velocidad inicial en eje y es: voy = vosenθo. Y se ve fácilmente que las expresiones serán las mismas que las de caída Libre (movimiento en el eje y con aceleración de la gravedad).
vy = vosenθo – gt ∆y = vosenθot – (1/2)gt^2 Tiempo de vuelo Cuando no hay fricción se comprueba fácilmente que el proyectil tarda el mismo intervalo de tiempo en llegar hasta su altura máxima que el que tarda en regresar posteriormente hasta el suelo. Por tanto, es posible escribir tv = 2t’
donde t’ es el tiempo que tarda en llegar a la altura máxima. El tiempo t’ se puede calcular considerando que, al alcanzar la altura máxima el proyectil invierte su recorrido en el eje y, y por tanto, en ese instante, vy = 0. De manera que, haciendo vy = 0 en la expresión correspondiente:
0 = vosenθo –gt’
t ' v sen^ o^ o g
θ
y como el tiempo de vuelo es el doble de este valor,
o o v
2v sen t 2t ' g
θ = =
Alcance horizontal Si se sustituye en la expresión de ∆x(t) el tiempo que el proyectil está en el aire (tv), obtendremos su máximo alcance. Sustituyendo:
∆x = vocosθo 2 g
v (^) osen θo
Considerando que 2senθocosθo = sen(2θo), xo = 0, agrupando y simplificando se obtiene:
