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Cap´ıtulo 2
Conceptos b´asicos sobre funciones
de una variable.
2.1. Intervalos.
En el Tema 0 se vieron los distintos tipos de intervalos reales que existen. Algunos ejemplos de intervalos son:
Ejemplo 1. [2, 7] = {x ∈ IR / 2 ≤ x ≤ 7 }, (2, 7) = {x ∈ IR / 2 < x < 7 },
[4, ∞) = {x ∈ IR / 4 ≤ x}, (−∞, 2) = {x ∈ IR / x < 2 }, (−∞, ∞) = IR
Definici´on. (Uni´on, intersecci´on y diferencia de conjuntos)
A ∪ B = {x / x ∈ A ´o x ∈ B}
El conjunto A ∪ B (se lee A uni´on B) est´a formado por los elementos que pertenecen a A ´o a B (al menos a uno de ellos).
A ∩ B = {x / x ∈ A y x ∈ B}
El conjunto A ∩ B (se lee A intersecci´on B) est´a formado por los elementos que pertenecen a A y a B (es decir, a ambos).
A \ B = {x / x ∈ A y x /∈ B}
El conjunto A \ B (se lee A menos B) est´a formado por los elementos que pertenecen a A pero no a B.
2 CAP´ITULO 2. CONCEPTOS B ASICOS SOBRE FUNCIONES DE UNA VARIABLE.´
Ejemplo 2. Sea A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } y B = { 3 , 6 }. Entonces A ∪ B = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }, A ∩ B = { 3 }, A \ B = { 1 , 2 , 4 , 5 }
Ejemplo 3. Sea A = (2, 7), B = [5, ∞). Entonces A ∪ B = (2, ∞), A ∩ B = [5, 7).
Ejemplo 4. Sea A = (−∞, 2), B = [3, ∞). Entonces A ∪ B = (−∞, 2) ∪ [3, ∞), (no se puede dejar de otra manera). Y A ∩ B = φ (conjunto vac´ıo).
Dos intervalos se dice que son disjuntos cuando su intersecci´on es el conjunto vac´ıo. Los intervalos del ejemplo anterior son disjuntos.
Pasamos a estudiar las funciones. El manejo de funciones en Econom´ıa es muy frecuente. Por ejemplo, la demanda de un bien es funci´on de su precio, el consumo de un individuo depende de su renta,...
En este tema abordaremos el estudio de las funciones reales de una variable. Por ejemplo, si consideramos que la cantidad demandada por el mercado, q, para un cierto bien depende s´olo de su precio, p, tendr´ıamos la funci´on de una variable q = f (p). Sin embargo si consideramos que la cantidad demandada q depende no s´olo del precio p 1 del bien en cuesti´on, sino tambi´en del precio p 2 de otro bien, tendr´ıamos la funci´on de dos variables q = f (p 1 , p 2 ). No las estudiaremos en este curso.
2.2. Concepto de funci´on de una variable.
Definici´on. Sea D un subconjunto dado de IR^1. Una funci´on real de variable real, f , definida en el conjunto D, es una regla (=f´ormula) que a cada punto x de D le hace corresponder un ´unico n´umero real, denotado f (x). Esquem´aticamente: f : D −→ IR x 7 → f (x)
A menudo se llama “y” a f (x). En la expresi´on de una funci´on, y = f (x), se suele llamar: variable independiente: x, variable dependiente: y.
(^1) Habitualmente D es un intervalo, en particular, puede ser todo IR.
4 CAP´ITULO 2. CONCEPTOS B ASICOS SOBRE FUNCIONES DE UNA VARIABLE.´
Ejemplo 6. La funci´on f : [0, 2] → IR definida como f (x) = x^3 tiene la siguiente gr´afica.
Esta gr´afica se ha obtenido haciendo previamente una tabla de valores como la siguiente
x 0 0 , 5 1 1 , 5 2 f (x) = x^3 0 0 , 125 1 3 , 375 8
En la primera fila damos valores a x y en la segunda calculamos las correspondientes im´agenes. As´ı, por ejemplo, para x = 2 su imagen es f (2) = 2^3 = 8.
En este ejemplo, el dominio de la funci´on nos dicen que es Dom(f ) = [0, 2]. En la gr´afica el dominio aparece como proyecci´on de dicha gr´afica sobre el eje horizontal. El conjunto imagen es Im(f ) = [0, 8]. Est´a formado por todas las im´agenes de todos los puntos x ∈ Dom(f ). En la gr´afica aparece como la proyecci´on de ´esta sobre el eje vertical. Obs´ervese que el dominio maximal de esta funci´on, f (x) = x^3 , es todo IR.
Ejemplo 7. Para la funci´on cuya gr´afica es la siguiente
observamos que: Dom(f ) = [− 3 , 3] y que Im(f ) = [0, 3].
2.3. DOMINIO E IMAGEN DE UNA FUNCI ON.´ 5
Ejemplo 8. Para la funci´on f : IR → IR definida por f (x) = 7, la gr´afica es
Observamos que Dom(f ) = IR, Im(f ) = { 7 }
Ejemplo 9. Para la funci´on definida por f (x) = 1/x, ¿cu´al es el dominio maximal? Estar´a formado por todos los valores de x para los que se puede calcular 1/x. El ´unico valor malo es x = 0, ya que 1/0 no existe. Por tanto, Dommax(f ) = IR \ { 0 }. Si queremos dibujar la gr´afica de esta funci´on, hacemos una tabla de valores, por ejem- plo:
x − 2 − 1 − 1 / 2 0 1 / 2 1 2 f (x) = 1/x − 1 / 2 − 1 − 2 no existe 2 1 1 / 2
La gr´afica es:
Al proyectar la gr´afica sobre el eje vertical, vemos que el conjunto imagen es: Im(f ) = IR \ { 0 }.
Ejemplo 10. Para la funci´on dada por g(x) =
x, ¿cu´al es el dominio maximal? Observamos que g(−4) =
−4 no existe, pero g(0) =
0 y g(7) =
7 s´ı existen. En general,
x existe si y s´olo si x ≥ 0. Por tanto, el dominio maximal es Dommax(g) = [0, ∞). Para hacer la gr´afica, una tabla de valores es:
x 0 1 2 3 4 g(x) =
x 0 1
2.3. DOMINIO E IMAGEN DE UNA FUNCI ON.´ 7
¿Cu´ales son todos los puntos x que pertenecen al dominio maximal de la funci´on dada? Parece que son los n´umeros menores o iguales que 5. Es decir, el dominio maximal ser´a el intervalo (−∞, 5].
Pero ´esta no es una buena forma de hallar el dominio. Es larga, poco precisa y propensa a equivocaciones. La mejor manera es, como se hizo antes, darse cuenta de que los puntos del dominio son los que cumplen que 5 − x ≥ 0 o, sea, 5 ≥ x.
O, para conocer un m´etodo m´as general, veamos otra forma de hallar el dominio maxi- mal en este ejemplo. Queremos saber para qu´e valores de x existe g(x) =
5 − x (o, equivalentemente, qu´e valores de x cumplen que 5 − x ≥ 0). Para ello: 1.- Igualamos a cero y resolvemos la ecuaci´on 5 − x = 0, cuya soluci´on es x = 5. 2.- Usando este punto descomponemos en intervalos: (−∞, 5), (5, +∞). 3.- Probamos con un punto arbitrario en cada intervalo. En (−∞, 5), cogemos, por ejemplo, x = 4 y vemos que g(4) =
1 s´ı existe. En (5, ∞), cogemos x = 6 y vemos que g(6) =
−1 no existe. Por ´ultimo, para el propio x = 5 vemos que g(5) =
0 s´ı existe. 4.- Concluimos que: Dommax(g) = (−∞, 5].
Ejemplo 13. Para la funci´on h(x) = x^3 − 50 x^2 + 10, el dominio maximal es todo IR, ya que la expresi´on anterior tiene sentido para todo n´umero real x.
Ejemplo 14. Si tenemos una funci´on de demanda q = f (p) =^50 2 − p que relaciona la cantidad demandada de un bien, q, con el precio unitario, p, de dicho bien, ¿cu´al es el dominio de esta funci´on?
Observamos que la variable independiente ahora no se llama x, sino p. La variable dependiente es q.
La expresi´on matem´atica^50 2 − ptiene sentido para todo valor real de p, por lo que el dominio maximal es todo IR.
Ahora bien, valores negativos para p o para q no tendr´ıan ning´un sentido econ´omico. Debe ser, pues, p ≥ 0 y q ≥ 0. Esto ´ultimo se traduce en que debe ser 50 − p ≥ 0, de donde p ≤ 50. As´ı que, refiri´endonos s´olo a la variable independiente p, debe ser 0 ≤ p ≤ 50. Es decir, el dominio econ´omico de esta funci´on ser´a el intervalo [0, 50].
Ejemplo 15. Hallaremos el dominio maximal de cada una de las funciones siguientes
a) f (x) =
x − 5 x^2 − 4 x + 3
, b) g(x) =
x − 2 x^2 − 4 x + 3
, c) h(x) =
x − 3 x^2 + 9
, d) F (x) =
x^2 − 25 ,
8 CAP´ITULO 2. CONCEPTOS B ASICOS SOBRE FUNCIONES DE UNA VARIABLE.´
Soluci´on: a) Los ´unicos puntos a excluir son la ra´ıces del denominador. Resolviendo la ecuaci´on x^2 − 4 x + 3 = 0, tenemos: x = 1, x = 3. Por tanto, Dommax(f ) = IR \ { 1 , 3 }.
b) Para que exista la ra´ız que aparece en el numerador, debe ser x − 2 ≥ 0, o sea, x ≥ 2. Tenemos por ahora el intervalo [2, ∞). Aparte de eso, debemos excluir los puntos x = 1 y x = 3 por ser ra´ıces del denominador. El punto x = 1 no pertenece al intervalo [2, ∞), por lo que ya est´a excluido. S´olo hay que quitar x = 3. Por tanto, Dommax(g) = [2, ∞) \ { 3 }.
c) Al resolver la ecuaci´on x^2 + 9 = 0, o sea, x^2 = −9, vemos que no tiene soluci´on. Eso significa que no hay que excluir ning´un punto por ser ra´ız del denominador. Y entonces Dommax(h) = IR.
d) Para ver cu´ando existe F (x) =
x^2 − 25, podemos hacer lo siguiente: Resolvemos x^2 − 25 = 0, resultando que x = ±5. Tenemos entonces que considerar tres intervalos: (−∞, −5), (− 5 , 5), (5, +∞). Probamos con un valor de x en el primer intervalo. Por ejemplo, x = −6. Hallamos F (−6) =
11 que s´ı existe. Por tanto, este intervalo s´ı forma parte del dominio. Probamos con x = 0 en el segundo intervalo. Vemos que F (0) =
−25 no existe. Probando con x = 6 en el tercer intervalo, tenemos que F (6) =
36 − 25 s´ı existe. El tercer intervalo tamb´en forma parte del dominio. Por ´ultimo, observamos que F (−5) =
0 existe, y F (5) tambi´en. Por tanto, Dommax(F ) = (−∞, −5] ∪ [5, +∞). (Los intervalos son cerrados en −5 y en 5 porque en estos dos puntos s´ı existe la funci´on)
