Determinantes, Manteiga., Apuntes de Matemáticas Aplicadas

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DETERMINANTES 5.1. Iptroducción.- A toda matriz cuadrada y atun 2, a . 2, 21 *9 * 2n Es [9.¿)> E ea1 m2 ...o.. “an le vamos a asociar un polinomio al que llamaremos DETBRMIMANTE y que representaremos escribiendo la matriz correspondiente entre dos ba- rras, así: tu 2 +. Sn ¡ 8% Bo o.... on H ls > 124. ps corscororcon roo a lay o... A nl ES n2 nn Cuando todos los elementos de la matriz sean números, el determi- nante quedará reducido a un número (polinomio de grado cero). Hablaremos de determinantes de segundo orden, tercero, cuarto, +... según que las matrices a que están asociados sean de segundo, terce- ro, cuarto orden, etc. 5.2. Determinante de segundo o2rden.- Llamaremos así al polinomio que vamos a asignar a una matriz cuadrada de segundo orden y que es igual al producto de los elemen- tos de la diagonal principal menos el de los elementos de la diago- nal secundaria. Así, dada la matriz a=|2 ? c dl, el determinante de A será a b c d lA) = = ad —- be. 4 2 3 1 Ejemplo 1.- | PS Ejemplo 2.- 2-2 36 = 2.6 -= 3.(-2) =12 4 6 = 18, EJERCICIOS, 1.- Calcular los determinantes de las siguientes matrices: -2 -3 o 2 4 6 x 2-x 3 4|5]|-2 Oj y] -1/2 3/8| ; |1 +x x41 . 2.- Calcular: 2 3 YT :O 3/2 1/5 1/2 3 3.- Recordando que la traspuesta de una matriz es la que se obtie- al 5 | cosx sena sena cosa . ne intercambiando filas poe columnas, comprobar que una matriz y su traspuesta tienen igual determinante; es decir: a b cid: = a c bad Hazlo también con um ejemplo numérico. 4.- Comprobar que si en un determinante se permutan entre sí sus dos filas (o columas), se obtiene otro determinante igual que el dado pero con signo cambiado; es decir: c d a b a Ñ Te al ; Hacerlo también con un ejemplo numérico. 5.- Comprobar que ka b a b |- c d a b ke kd a ke d y Siendo k un número cualquie- ra. 6.- Comprobar que los siguientes determinantes son iguales a cero: a). Aquellos en los que todos los elementos de una línea son ce- ro; es decir: a b o o] = 0. b). Los que tienen las filas (o columnas) iguales; es decir: a b E O. 7.- Demostrar que si en a b ce d se cumple = = = entonces el determinante es cero; es decir; zz. 2 Po, C da cd 3 =214+30+6-27-5- 28=-3, 57 Obsérvese que el producto de los elementos de la diagonal princi- pal y el de los de las dos líneas paralelas a ella llevan el signo más; el producto de los elementos de la diagonal secundaria y el de los de sus dos líneas paralelas van afectados de signo menos. Todavía se puede abreviar más el cálculo utilizando los siguientes esquemas: 1 términos positivos términos negativos. Ejemplo 2.- 5-1 4 7 2 4 =5.2.5 4 7.3.4 + (-1).(-4).2 - 2.2.4 - T.(-1).5 - 2 3 5 - 3.(-4).5 =50 4 84 4 8 - 16 + 35 + 60 = 221, EJERCICIOS. 14.- Calcular los determinantes de las siguientes matrices: Pe 3 2] Daza 2 l/2 -2 2/3 71 3 23 0 1/3 1 4/5 [3 2 1] y [1.2 5 [1/5 -3 4/3|. 15.- Calcular: 113 3 3.4 (0) a -a -a 0:25 550- b b -—b 713 6 ; 0.2 6 y ec e cl. 16.- Resolver la ecuación -4 x =5| =2. 2 17.- Resolver la ecuación 2.04 -3 = 0% 3 Xx 5.4. Propiedades de los determinantes.- El cálculo de un determinante es a veces complicado cuando, por =25- ejemplo, los números son muy elevados. Vamos a ver, entonces, una se rie de vropiedades que nos van a simplificar el cálculo en gran medi da. Las siguientes propiedades las comprobaremos unicamente para los determinantes de orden tres, pero son válidas para determinantes de matrices cuadradas de cualquier orden. P.1.- El determinante de una matriz coincide con el de su traspues- ta; es decir, un determinante no varía si se cambian filas por co lumas. EJERCICIOS. 18.- Comprobar que a dr % a a a a, b, C, = br b, Bb, a Ba El e Co E . 19.- Calcular el determinante de la matriz A y el de su traspues- ta, siendo > " NN] O uy 1 7 3 . P.2.- Si en un determinante se cambian entre sí dos filas (o colum- nas), se obtiene otro determinante de igual valor absoluto pero de distinto signo. EJERCICIOS. 20.- Comprobar que a» a» a, “, b, =- a, db, “o, b b e 3% 3%. 21.- En el determinante de la matriz A del ejercicio 19, permutar dos filas y calcularlo. 22.- En el determinante obtenido en el ejercicio 21 permutando dos filas, permutar dos columnas y calcular el nuevo determinante. P.3.- Si todos los elementos de una línea (fila o columna) de un de- terminante se multiplican por un múmero k, el determinante queda multiplicado por k; si todos los elementos de una línea de un de- terminante son múltiplos de un número k, se puede "sacar factor comán" k en dicho determinante. Es decir, para el caso general de determinantes de orden n, tendremos: 4 = 2.24 4,0 14 2.1 + 4,3 6, lo que es lo mismo, escribiendo lo anterior de forma abreviada, e, = 20», + 40, , y diremos que la tercera columma es combinación lineal de las co- lumnas primera y segunda, de acuerdo con la siguiente definición. Definición de combinación lineal.- Dado el determinante o ce e pop 1 2 3 e WU NN AH 1. 2 2 ES] oc. 0 2. 2. pp a p (di diremos que la cuarta fila es combinación lineal de las filas segun- da y tercera si existen dos números A y P tales que a” la, +pa, b, = AD, +pb, e, = Ac, +po, dy = Ad, +paz $, escrito más brevemente, F, = AE, + pr. Analogamente, refiriéndonos a las columnas diremos, por ejemplo, aue la columa tercera es combinación lineal de las columnas prime- ra, segunda y cuarta, si existen tres números A, p y Y, tales que e, = da, + pd, +94, 0) = la, + pb, +04, 0, = Nay + pb, 494, Cy = Aa, +Pb, +4,» 6, más breve, Cy = AC, + 0,4 00, . EJERCICIOS. 24.- Construir un determinante de tercer orden de tal manera que la primera fila sea combinación lineal de las filas segunda y ter cera. 25.- Construir un determinante de tercer orden de tal manera que la tercera columna sea combinación lineal de las columnas prime- ra y segunda. 26.- Calcular los determinantes construidos tal como se ha indi- Cado en les ejercicios 24 y 25. =0- P.4.- Si en un determinante una fila (o columna) es combinación li- neal de dos 6 más filas (o columnas), el determinante es cero. EJERCICIO. 27.- Probar: a, = Ab, + po, a» a, = Ab, + pe, => a) D, Co[=0. = Ab, + a, = Ad, + po, 3 P.5.- Si todos los elementos de una fila (o columna) son cero, el de terminante también es cero. Ejemplos 4.- 10 3 be 2 0 -2|=0 ; o O|=0. -_3.504 pq Ur ETERCICIO. 28.- Demostrar la propiedad P.5 para el caso de determinantes de orden tres. Sugerencia: utilizar P.4 particularizando para el ca- O. P.6.- Si dos filas (o columnas) de un determinante son iguales, el so A= '" determinante es cero. Ejemplos 5.- L 1 3 a b c 2 2 -2|=0 ; a b cj=0, 33) 4 pa sr EJERCICIOS. 29.- Demostrar la propiedad anterior para el caso de determinan- tes de tercer orden. Suger.: utilizar P.4,con A= Ll y p= O. P.7.- Si dos filas (o columnas) son proporcionales, el determinante es cero. Ejemplo 6.- 1 2 3 3 6 9|=0. Nótese la proporcionalidad de las dos pri- 3-2 4 meras filas. EJERCICIOS. 30.- Comprobar que a b e ka kb ke =0, Vke R pq or 31.- Demostrar P.7 para el caso de determinantes de orden tres. Para simplificar el cálculo de un determinante nos interesará te- ner el mayor número posible de ceros 6, por lo menos, conseguir nú- meros sencillos; para ello utilizaremos las propiedades anteriores. Desde el punto de vista práctico la de mayor utilidad es la octava. Veámoslo con algunos ejemplos. Ejemplo 8.- 10.6 r, - E) 1.06 p,-2r, 1.06 2-2, 3.14 15 o 3.14 15 -1.03 556 21 2 2 6 2256 1.056 P,+E, o. o 9 =|1 053 1.0 3=-18. 12.0 12.0 Ejemplo 9.- | 1 0 -2 0,4, 1 o -2 P,+, 1 0 -2 0,-0, (3-4 5| — |-3 4 1 3.4 1 | 556 -7 56 -1 2 2 0 0 -2 = -4 =b. 2 0) EJERCICIOS. 34.- Calcular: 112.5 7 -9 -15 3.4 7 ; -10 5 11 6. 8 a -11 10 18l. 35.- Calcular 13 14 15 1 -2 10 18 19 20 ; 3 2 -9 23 24 25 4 5 Mm]. (1).- Al indicar F¿E) mos la segunda. (2).- Cuando indicamos P,-2F, le vamos a restar el doble de la tercera. queremos decir que a la tercera fila le resta queremos decir que a la beguata fila Análogamente con las columnas; por ejemplo: C,+ 307 indicará que a los elementos de la columna segunda le vamos a sumar los corres pondientes de la primera columna, multiplicados estos últimos pre viamente por tres. 36.- Calenlar: la die 1d cta 1 Cc atd|. 37.- Resolver las siguientes ecuaciones: 15+2x 11 x -1 2 2 1143x 17 -2x|=0 5 -X 3 -_l|=0. Tx 14 -3x ra 38.- Resolver la ecuación: a-x x 1 atx -=x/2 —_3|=0. x x/3 (o) 39.- Dadas las matrices la .) dy *] e a a y B= b b , demos- 3004 3004 trar que |A].|B] =|/A.B] . 40.- Comprobar que |A] .|B| =|A.B] , siendo A y B las matrices si guientes: 2... 2 1.0 2 A= [1 2 3 y B= 13 4 5 2.3 4] 6 TJ. 41.- Calcular: 28 25 38 42 38 65 56 47 83 Sugerencia: sacar factor común entre los elementos de la vrimera columna. 42.- Demostrar que el determinante 1 1 1. a b Cc 2 2 2 a b c » llamado deter- minante de Van der Monde, es igual as(b-a)(c-a)(c-b). 5.5. Menor complementario adjunto.- Si en una matriz cuadrada de orden n se suprimen la fila y la columna que se cruzan en el elemento 84 se obtiene otra matriz cua- drada de orden n-1. Al determinante de esta matriz se le llama ME- NOR COMPLEMENTARIO del elemento aj y lo representamos por Mig : Llamaremos ADJUNTO del elemento 8; al menor complementario mM; precedido del signo + 6 -, según que la suma i4+j sea par o impar. Al adjunto de aj lo representaremos por A y será Ñ ij” 145 : As = (-1) M, . 130 EJERCICIOS. 43.- Hallar los menores y los adjuntos de todos los elementos de la matriz 0.5 -1 3]. 44.,- Dado el determinante Ll 2 7 2 3 3 4 5 -—1| , calcular los adjuntos de los elementos de la tercera columna. 45.- Calcular los adjuntos de los elementos 833 y 834 de la matriz 5-3 2 -4 -l 2 -1 3 -2 1-1 1 3 2 5 -1f/. 46.- Dada la matriz a. a 13 A= [23 oy “oz 1. ta] a, p.p» py comprobar que: o o) 19/ 231491+239A99+2,3473= 0 9 = 29/ 194 3+299473t83943 3 0 - 47.- Fiiémonos en el determinate del ejercicio 44. Se pide: 12/ Calcular el determinante. 22/ Calcular a] 3413427343423 3 % 48.- Dado el determinante 2 1 0 3-1 1 1.0 -2l, se pidez 10/ Calcularlo. 22/ Hallar los adjuntos de los elementos de la segunda fila. 2 32/ Calcular 271471 +290749942934o 3 . (1).- Estos resultados se suelen enunciar como una importante propie dad válida para matrices cuadradas de cualquier orden, asl: "La suma de los productos de los elementos de una fila (o colum- na) de una matriz cuadrada por los adjuntos de los de otra fila (o columna) es igual a cero! —= _L. 5.6. Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea.- ¿Podemos esperar algo práctico a la vista de los resultados ob- tenidos en los eiercios 47 y 48?.¿Observamos en ellos alguna particu laridad?. En el primero hemos multiplicado los elementos de la terce ra columna por sus respectivos adjuntos y, al sumar estos productos, el resultado que hemos obtenido ha sido el mismo que obtuvimos al calcular el determinante. Con otro determinante, el del ejercicio 48, hemos sumado los productos obtenidos al multiplicar los elemen- tos de la segunda fila por sus adjuntos respectivos y el resultado de esta adición ha sido también el obtenido al calcular directamente el determinante. Consideremos, ahora, el determinante a. a. a. 1 “2 %3 lal = fa), 877 2, EEES E cuyo desarrollo es lAl = a,,2)7233+a,,8)3231+8, 3291239791 1293239787 289123378] 3829831 > y sacando factor común cada uno de los elementos de la primera fila, tendremos: Ss Si = pa a | lal = a, (277233-82,323,)+2, ¿(2,3931 -871233)+8, ¿(2,723,-899231) 5 dl observemos que los paréntesis de la expresión anterior son precisa- mente los adjuntos de los elementos de la primera fila; en efecto: a, a, 141 22 23 Aj, =(-1) = a,,2,,-2,,2 11 o Az 2233 “2332 E _ _ _ A =D) OO E (291%37"%93831) = 293%317%21%3 31 33 a a 143 21 22 A =(-1) = a,,8,,-a,,a 13 31 % 2132 “22 31 y, sustituyendo lo anterior en [+] , obtenemos lal = a,,4,,+8,74,7+2, 3413 > Como todo ésto puede repetirse para las otras filas o para cual- quiera de las tres columnas, podremos enunciar entonces: "Un determinante puede obtenerse multiplicando los elementos de una fila (o columa) cualquiera por sus respectivos adjuntos y su- mando estos productos". Esta propiedad es válida para los determinantes de cualquier or- den y va a ser ésta precisamente, como veremos más adelante, la que NÓ 5.7. Gélculo de los determinantes de orden superior a tres.- Tal como hemos venido indicando repetidamente, todos los concep tos y propiedades que se han dado para los determinantes de tercer orden son válidos para los de orden superior; es decir, para los de- terminantes deducidos de las matrices cuadradas de orden cuatro 0 más elevado. De forma especial hemos señalado un gran interés en el desarrollo de un determinante por los elementos de una línea, que permite cal- cular un determinante utilizando otros de orden inferior. Ejemplo 1.- 5324 P,-*, 5.3.2 4 C,+20, 5.3.2 14 1 2 1 3 1.2 1 3 12 1 _ 2 2 1 1 100 -2 10.0 3251 3020 1 32 5 desarrallando por la 32 fila, 3 2 14 1 9 F, E, = 1,2 1 5 2 1 5|=50. 2.5 7 laos Recordemos la conveniencia de escoger la línea que tenga elementos más sencillos y cue interesa especialmente la que tenga más ceros de tal manera nue, en caso de nue no hubiera ceros, conviene conseguir- los de forma análoga a como lo hemos hecho en el ejemplo anterior, aplicando reiteradamente la propiedad octava de los determinantes. EJERCICIOS. 50.- Calcular el determinante: 4.6 3 2 571.3 Y 2 4 1 8-12 51% 51.- Calcular: 2 3-2 4 -2 1.2 3 2 314 2. 4 0 5l. 52.- Calcular: 1 -2 3-2 -2 2 -1 3 1. 1 1 1 4 3 2 5 3 -2 2 2 21, E 53.- Calcular: 0.0.0.0 O 1 00.00 0 2 1 00.032_1 0.004 3.21 0.5.4 3 2 1 65.4 3 2 1l, 54.- Expresar en forma más sencilla el determinante: a aaa a b b b a b e a bc dl. 55.- Demostrar: atb a A +... a a atb 2 +... 2 a a a+b.... a = eL. (natb) a a Aa ».... atb siendo el determinante anterior de orden n. 5.8. Cálculo de la matriz _inversa.- En el tema anterior hemos visto el concepto de matriz inversa de una matriz A vero no sabíamos como calcularla. Ahora estamos en condiciones de hacerlo, A una matriz cuadrada, A, le vodemos asociar un determinante tal como hemos visto. Diremos nue esta matriz es REGULAR si su determi- nante es distinto de cero; es decir si (Al A 0. En caso contrario, es decir cuando |A] = 0 , a la matriz le llamaremos SINGULAR. Si tenemos una matriz cuadrada regular de orden n, A = las) su inversa, nue representaremos por ye, viene dada por la expre- sión: A A .... A 11 21 nl 1 1 1 Aro Aso .... Ano? n= rl = e AT | aissneneoss sos Ain Bon ..o.. An , en donde |A| es el determinante de la matriz A y los Aj son los ad- juntos de los elementos 3 Obsérvese que el adjunto A ocupa el lugar en donde se cruzan la columa i y la fila j, y no en el cruce de la fila i con la columna j. - 19 - ETERCICIOS, 59.- Calcular la matriz inversa de 2 3 1 12.3 3.1 2 60.- Dada la matriz 1.2 3 A = 2 2 1 2 2|, calcular su inversa y comprobar que se cumple: i -1 moco] ALA =AT,A= E a O 10 00: 1 61.- Hallar las inversas de las siguientes matrices: Pia 2 fi 2 3] 1.1 2 ; 3556 2 -1 1 [2 4 51 62.- Hallar la inversa de la matriz 1200 030.0 A=loo 2 1 0.0.0.3 63.- Siendo A la matriz del ejercicio anterior, comprobar que se e ana? ada 1 4" 5.9. Rango de una matriz.- Sea el sistema de ecuaciones xX4+ y+ z=-1 x +4 3y +22 =-4 2x + z= 1 , que, utilizando la notación matricial, vodemos escribirlo de la for- 1.11 1 x =il 1. 3 2 .ly| = |-4 2 0 1 z ij, Cabe esperar que la solución del sistema anterior, si es que exis- te, dependa de alguna forma de la matriz formada con los coeficien- tes de las incógnitas. En el tema siguiente veremos que tanto la naturaleza de las solu- ciones de un sistema como el hecho mismo de su existencia dependen del rango de la matriz de coeficientes, concepto este que introduci- remos inmediatamente. Si en una matriz A (cuadrada o rectangular) de dimensión nxp se to man h filas y h columas ( hén y htp ), los elementos pertenecien- tes ala intersección de las h filas y las h columas dan lugar a un determinante de orden h al que llamaremos MENOR DE ORDEN h de la matriz A. Ejemplo 1.- En la matriz 1123 4 A =|2 3.1 5 520.1), 1 2 2 3 es un menor de orden dos,formado por las dos primeras fi las y las dos primeras columnas. 1.3 5 O| es el menor de orden dos formado por las filas primera y tercera y vor las columnas primera y tercera. 11.4 2 5| es otro menor de orden dos,formado en este caso por las dos primeras filas y por las columnas primera y cuarta. 112.4 2.3 5 5 2 4 es un menor de orden tres de la matriz A; el formado por las tres primeras filas y por las columas primera, segunda y Cuarta. En esta matriz no vodemos formar menores de cuarto orden porque no hay más oue tres filas. Dado un menor de orden h, si se le añade una fila y una columna cualauiera distintas de las utilizadas nara construir el menor de or den h citado, se obtiene un menor de orden h4+1 que se llama MENOR AMPLIADO u ORLADO del dado. Ejemplo 2.- En la matriz A del ejemplo anterior, el menor de orden dos