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MATEMÁTICAS APLICADAS A LA BIOLOGÍA
EJERCICIOS y PROBLEMAS PARA SEMINARIOS II
- Una población que crece exponencialmente tiene 100 individuos en el instante t 0 y a los 90 días 150. a) ¿Cuántos individuos tendrá al cabo de 250 días? b) ¿Cuál es su tasa de crecimiento per capita?
- Si la tasa de crecimiento de una población es de 0,21 por día y se han contado 100, ¿cuántos individuos habrá siete días después?
- Determinar V t ( ), volumen de biomasa de un hábitat en el instante t, sabiendo que
evoluciona según el modelo: sen
(0) 2 tm
dV t dt V
- Resolver
y y y
^ ^
52. Una población de efectivos y t crece de acuerdo con la ley logística. La población en el
instante inicial consta de 40 individuos. Se duplica al cabo de dos horas y el tope o nivel de saturación es K= 1000. Calcular: a) Los efectivos al cabo de cuatro horas. b) Las tasas de crecimiento instantáneas para t = 2 y para t = 4. c) Las coordenadas del punto de inflexión de la curva de efectivos.
53. a) Sea y t la función de efectivos de una población ( t en días) para la que
y 0 20 , y 2 40 , y 4 60. Demostrar que y t , en estas condiciones, no
puede seguir una ley de crecimiento de Malthus.
b) Demostrar que si para y t es y 0 20 , y 2 40 e y 4 80 entonces puede
seguir una ley de Malthus pero no es posible que siga una ley logística. c) Considérese la situación tal como se presenta en el apartado a) y supóngase que esa población sigue una ley logística. Calcúlense los coeficientes r y K, el instante en que el crecimiento es máximo y el instante en que la población está formada por 80 individuos. d) Considérese la situación tal como se presenta en el apartado b) y supóngase que, en efecto, esa población sigue una ley de Malthus. Calcúlese el valor de la tasa de crecimiento instantáneo y el instante en que la población está formada por 60 individuos.
- ¿Cuántos individuos componen inicialmente una población que crece de acuerdo con la ley logística en un medio que admite un máximo de 54 individuos, sabiendo que hay 12 efectivos al cabo de una hora y 24 al cabo de 2 horas?
- Si la longitud y la altura de una vértebra lumbar se relacionan mediante la ley alométrica: dh (^) 1,5 dl h l
y para una longitud de 1cm la altura correspondiente es 0.099 cm a) Expresar el tamaño de la altura en función de la longitud. b) Para una longitud de 2 cm ¿cuál será su altura?
- Una población y t ( ), t medido en años, crece según el siguiente modelo:
0, 2 1 ( ), siendo 0 12 1
y t y t y t
^
a) Calcular la función de efectivos y t ( ). b) Hallar el valor de t para el que y t ( )sea mínima. ¿Cuántos efectivos hay en ese momento? ¿Cuál es el valor de la tasa instantánea de crecimiento en ese instante? c) ¿Se extingue y t ( )a tiempo finito? d) ¿Cuál es el comportamiento de y t ( )cuando t tiende a infinito? e) Comprobar que la población se duplica al cabo de 18 años y tres meses y que se cuadruplica transcurridos 4 años y seis meses desde la duplicación. f) ¿En qué instante se triplica la población?
- La ecuación diferencial dy^ Hy dx x
, siendo 0 H 1 una constante, es un modelo para
explicar la homeostasis (tendencia de un sistema biológico a mantener un equilibrio dinámico mediante la actuación de mecanismos reguladores), en el que y representa el contenido de nutriente en el consumidor y x el contenido de nutriente del alimento. a) Integrar la ecuación diferencial. b) ¿Qué valor tiene que tener H para que haya homeostasis en sentido estricto, es decir, el contenido de nutriente en el consumidor es independiente del contenido de nutriente del alimento?
- Una masa que contiene 50000 células se desarrolla en un ambiente con capacidad máxima para 100000. A los cinco años hay 60000 células. a) Determinar los parámetros del modelo de Verhulst que se ajustan a estos datos. b) Determinar la tasa instantánea de crecimiento de esta población en el instante t. c) ¿Cuál sería la tasa instantánea de crecimiento a los cinco años?
- El modelo que define el crecimiento de la población z t ( )es el siguiente:
2 2 2
con 0 1 y en años
z t z t z t
z t
a) Hallar la función de efectivos de esta población. b) ¿Existe alguna analogía entre este modelo y el definido en el ejercicio anterior? Razonar la respuesta.
- En una excavación arqueológica se han extraído muestras de madera en las que se ha
determinado que la relación
14 12 0,
C
C
. Determinar cuándo se cortó la madera.
66. Una población y t , t en horas, integrada inicialmente por y 0 individuos, evoluciona de
acuerdo con la ley logística, o de Verhulst, duplicándose al cabo de dos horas y triplicándose al cabo de cuatro horas. Calcular: a) El tope K en función de y 0. b) El instante en que el crecimiento es máximo. c) ¿Depende del valor de y 0 la tasa de crecimiento instantánea? d) Si y 0 = 250, ¿en qué instante la población tendrá 900 individuos? ¿En qué instante tendrá 1000?
67. Una población y t , t en horas, inicialmente compuesta por y 0 y (0) individuos, sigue
una ley logística que triplica sus efectivos al cabo de media hora y los sextuplica al cabo de una hora. a) Calcular los parámetros r y K , en función de y 0. b) Si inicialmente hay 100 individuos, calcular el instante en que respectivamente hay 450 y 900 individuos. c) Calcular la tasa instantánea de crecimiento en el instante en que hay 450 individuos y el lim t k t ( )explicando el significado. d) Determinar la ley de crecimiento y la función de efectivos x t ( ) del modelo de Malthus, t en horas, que parte de 100 individuos y triplica sus efectivos en media hora. ¿Cuándo los sextuplica? e) Representar en la misma gráfica las funciones x t ( ) e y t ( ).
- Resolver la ecuación diferencial ey. y t t^3 0 con la condición inicial y t ( 1) 1.
69. Se sabe que una población y t que parte de y 0 individuos al cabo de un día tiene 10 y 0 y
al cabo de cuatro días 10 3 y 1. a) Razonar si puede crecer según el modelo de Malthus. b) Ídem según el modelo de Verhulst. c) Si se parte de cinco individuos, ¿cuántos habrá a las 84 horas?
- El crecimiento del número de células que componen un tumor puede responder a una de las dos leyes siguientes:
1ª) Logística o de Verhulst: y t r y t. ( ) 1 1 y t ( ) , siendo y t 0 104
K
^
2ª) Modelo de Gompertz: y t r y t e. ( ). ^ t , siendo y t 0 104
En las dos leyes y t representa el número de células para t en días, r 0, 2en ambos
modelos, K^ ^ 22.10^7 y 0, 02una constante que retrasa el crecimiento en el segundo modelo.
a) Calcular la expresión de y t que da el número de células del tumor de acuerdo
con la primera ley de crecimiento.
b) Dar la expresión de y t para el segundo modelo y comprobar que también existe
un tope poblacional y que coincide con el de la ecuación logística. c) Se sabe que para este tipo de tumores el crecimiento es máximo para t 50 días. Calcular el instante en que el crecimiento es máximo en cada uno de los modelos y
también y 50 . ¿Cuál de los dos modelos y por qué se ajusta al comportamiento
previsto?
71. Calcular el parámetro r de una población y t que sigue una ley logística con tope 160, t en
horas, y 0 4 y que al cabo de seis horas tiene 139 individuos. ¿Cuántos individuos
habrá en la población y t al cabo de doce horas? Dar las coordenadas del punto de
inflexión de la curva de efectivos e interpretar el resultado.
- Cierta especie que alcanza un tamaño máximo de 60 cm crece de acuerdo con la ley de von Bertalanffy para el valor de la constante k=0,096. Si el tiempo se mide en meses, a) ¿en qué instante alcanzará 30 cm, si en el instante inicial mide 1cm? b) ¿en qué instante medirá 59 cm?
- Una población evoluciona de acuerdo con la ecuación diferencial:
2 2 siendo 0 40 y R=
y ty t y y R
a) Calcular la función de efectivos, es decir, la expresión de y t ( ). b) Analizar el comportamiento a la larga. ¿Tiene tope? En caso afirmativo, decir cuál es. c) Calcular y (4).
78. Dos especies coexistentes que representamos por y 1 t depredadora, e y 2 t , presa,
crecen siguiendo las leyes de un sistema de Volterra-Lotka de parámetros:
k 1 0,1; k 2 0, 2; 1 0,0002; 2 0,
siendo las condiciones iniciales del ecosistema y 1 0 10; y 2 0 400.
a) Calcular el punto de equilibrio. b) Determinar los valores máximos y mínimos entre los que varían los efectivos de las dos especies. c) Determinar las ecuaciones de los ciclos que describen los efectivos de las dos especies cuando se producen pequeñas desviaciones del punto de equilibrio.
- Para un sistema de Volterra-Lotka que gobierna el crecimiento de dos especies
coexistentes, y 1 t depredadora, e y 2 t , presa, de parámetros:
k 1 1; k 2 1; 1 0,125; 2 0,
y condiciones iniciales y 1 0 15; y 2 0 16.
a) Calcular el punto de equilibrio. b) ¿Pueden coexistir 30 presas y 50 depredadores en ese medio? c) ¿Qué tipo de ciclos describen los efectivos de las dos especies cuando se producen pequeñas desviaciones del punto de equilibrio?
- Para un sistema de Volterra-Lotka que gobierna el crecimiento de dos especies
coexistentes, y 1 t depredadora, e y 2 t , presa, de parámetros:
k 1 1; k 2 1; 1 0,01; 2 0,
y condiciones iniciales y 1 0 40; y 2 0 90.
a) Calcular el punto de equilibrio. b) Determinar los valores máximos y mínimos entre los que varían los efectivos de las dos especies. c) Razonar si es posible la coexistencia en ese medio de: c1. 30 depredadores con 100 presas. c2. 50 depredadores con 150 presas. c3. 50 depredadores con 78 presas. c4. 50 depredadores con 126 presas.
- En un modelo de Volterra-Lotka cuyas constantes toman los valores siguientes:
k 1 0,5; k 2 0, 4; 1 0,001; 2 0,
y 1 t representa la función de efectivos de unos insectos depredadores e y 2 t la de
insectos presa. Se pide: a) Sistema de ecuaciones diferenciales que gobierna la coexistencia de las dos especies. b) Punto de equilibrio del sistema. c) Si las condiciones iniciales son las que corresponden al punto de equilibrio, ¿qué se puede asegurar sobre el número de individuos de ambas poblaciones en el instante t? d) Si inicialmente hubiera 15 depredadores y 490 presas, escribir la ecuación del ciclo solución y determinar el mínimo y el máximo de depredadores y de presas. e) Razonar si con las condiciones iniciales del apartado d) pueden coexistir: e1. 23 depredadores con 500 presas. e2. 30 depredadores con 490 presas. e3. 25 depredadores con 700 presas. e4. 19 depredadores con 631 presas.
82. Dos especies coexistentes: y 1 t depredadora e y 2 t presa, t en años, evolucionan
según un modelo de Volterra-Lotka de parámetros:
k 1 0, 4; k 2 0,3; 1 0,001; 2 0,.
a) Escribir el sistema de ecuaciones diferenciales que describe el crecimiento de las dos especies. b) Hallar las coordenadas del punto de equilibrio del sistema.
c) Si las condiciones iniciales son y 1 0 18; y 2 0 420 , hallar el máximo y el
mínimo de los depredadores. d) Razonar acerca de la posibilidad de que se den, en algún instante, las situaciones siguientes:
d1. y 1 t 18; y 2 t 380
d2. y 1 t 12; y 2 t 400
d3. y 1 t 15; y 2 t 400
e) Razonar nuevamente sobre la posibilidad de que se den las situaciones descritas en el apartado anterior, en el supuesto de que las condiciones iniciales fueran:
y 1 0 15; y 2 0 400
