Vista previa parcial del texto
¡Descarga Pol y serieTylor y más Apuntes en PDF de Matemáticas Aplicadas solo en Docsity!
Estudio local de funciones. Polinomio de Taylor OM” Teresa González Manteiga Exceptuando las funciones polinómicas y los cocientes de funciones polinómicas, que son las funciones denominadas racionales, las funciones que normalmente aparecen en el Cálculo Infinitesimal, son difíciles de evaluar (a veces imposible) por medio de operaciones elementales. Una de las funciones más frecuentes en problemas de la Ciencia, y en concreto en la Biología, es la función y=e". El matemático británico Brook Taylor (1685-1731) se planteó la necesidad de aproximar en el entorno de un punto las funciones no polinómicas por funciones sencillas que se aproximen a ella lo más posible. Una función "sencilla" es un polinomio, por lo cual buscó un polinomio que se aproximase lo más posible a la función y cuyo estudio reflejase las propiedades de la función de partida. Definición Sea y = f(x) una función real definida en un intervalo / y sea ae/. Si esta función admite derivadas sucesivas hasta la de orden 1 >1 en el punto de abscisa x= a, se denomina Polinomio de Taylor de grado » de y = f(x) en el punto de la función de abscisa a, es decir A(a, f(a)) al polinomio: El polinomio de Taylor AA A es el ÚNICO solliotisn de grado menor o igual que n que satisface las relaciones: P,(x=a)=f(0) Pilx=a)=f(a% .... Pl(x=a)=f"(a) Esto significa que el polinomio de Taylor pasa por el punto A(a, F (a), esto es, que pasa por el mismo punto de la función, y también tiene la misma pendiente y la misma concavidad en ese punto. (a) Pl) Como además coinciden las n primeras derivadas del polinomio en el punto A(a, f (a)) con las derivadas del mismo orden de la función y = f(x) este polinomio se aproxima cada vez más, al aumentar el valor de n, en los puntos próximos al punto de abscisa x=a. Ejemplo: , en ln P (10) =esa=0)= 102 U 0): 20 2-0) +. LO -oy Es decir: Funciones analíticas. Desarrollo en serie de Taylor OM" Teresa González Manteiga Una función se dice que es analítica en el entorno del punto A(a, 3 (a) si es continua y tiene derivadas de cualquier orden continuas en un entorno del punto de abscisa a. Las funciones analíticas también se denominan de C” (clase infinito). Toda función analítica en el entorno de un punto admite un desarrollo en serie de Taylor en un entorno de dicho punto. Es decir, se puede escribir: “(a "(a 2 Wa ” 1(0=1(0)+2 S Hs= aj: El toa nd ( dm) +.. Si la función representa la evolución de una población en Biología, la variable independiente es el tiempo: (a "(a 2 “(a E 10-10) A- a La) A o ! ! ”n! Si el desarrollo se hace en un entorno del origen, se denomina desarrollo de Mac-Laurin: Funciones analíticas de utilidad en Biología son: e”, sen(t), cos(t), e”, sen(Bt), cos(Bt). Desarrollo en serie de Mac-Laurin de y= f(£) analítica QM” Teresa González Manteiga 4 DA =e ¡=- e? F(0)=1 F)=pé 08 20 eS po) pre F0)= 8" e 11 a n 14 Lr+ E PA A n! 2 ” a uN Ep, 2! n! t tf É i je =1+=+—+.+—+..= »— Caso particular: je 7 + pit Y MOMO =1+ 1 21 al a u PO GP re el =l+—-————+. + +... 1 2! 31 a! ICI CIA CIR CORA Como 2. 31741 ss. 6 7 os ad RS Por tanto: e'" =cos( Bt) +isen(Bt)| Fórmula de Euler => Casos particulares; e" =cost+1i sen t e" =cosr+isen a=-1+10=-1 e”=-Illole”+1=0 Esta fórmula, debida a Leonard Euler, en 1740, se dice que es la ecuación más bella del mundo. En ella aparecen las constantes 0 y 1, la unidad imaginaria i y el número irracional 77, las operaciones adición y multiplicación y la función exponencial de base e. 
