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MATEMÁTICAS APLICADAS A LA BIOLOGÍA
EJERCICIOS y PROBLEMAS PARA SEMINARIOS III
- Al observar el crecimiento de la población de Microtus Arvallis Pall en condiciones favorables, se ha obtenido la siguiente tabla:
xi (meses) (^0 2 6 ) zi (nº de ejemplares) (^2 5 20 )
a) Determinar la curva de regresión z a e. mx que mejor se ajusta a estos datos. b) Dar una medida del grado de ajuste. c) ¿Se puede estimar con la curva obtenida el número de estos roedores que habrá a a los cinco años? Nota: Una ayuda para resolverlo es consultar las páginas 130, 110 y 111, 115 y siguientes de mi libro: Estadística Aplicada. Una visión instrumental.
- A un depósito que contiene 1000 litros de agua limpia a partir del instante inicial
( t 0 ) entra una sustancia contaminante a una velocidad de un litro por minuto y
la solución homogénea sale del depósito por una tubería también a una velocidad de 1 litro por minuto. Se designa por y t ( ) la cantidad de contaminante disuelto en el agua del depósito en el instante t. a) Dar la ecuación de la velocidad de contaminación del agua del depósito en el instante t. b) Determinar la concentración de contaminante en el instante t. c) ¿Cuánto tiempo será necesario para que la concentración de contaminante sea del 20%?
- Calcular A^2^ , A^3^ y 2 A^3^ A^2 4 A 5 I siendo
A ^
- Calcular la inversa de la matriz
A ^
- Calcular A A. t y A At. siendo
A ^
. ¿Son iguales?
- Dadas las matrices:
2 1 0 , 4 5 y 3 0 1 0 3 1 2 7 1 0 2
A B C
^ ^ ^ ^ ^
hallar: a ) A , b ) A^2^ , ) c A B. , d ) AC e. , ) 3 A 8 C f , ) A ^1.
- Determinar un vector^1 2
x x x
^ ^
no nulo que verifique la igualdad A x. 3 x
siendo
A ^
- Hallar las matrices A y B que verifican:
1 8 9 3 2 6 8 7 12 28 47 5 7 52 28 22
A B
A B
^
^
^
- Hallar An siendo
A
^
- Calcular^2 cos sen siendo. sen cos
A A
- Dada la matriz
A
^
^
hallar A ^1.
- Escribir en forma matricial el sistema de ecuaciones: 2 0 3 2 4 5 3
x y z x y z x y z
^ ^ ^
y resolverlo utilizando el cálculo matricial.
- Calcular los determinantes de las siguientes matrices:
a)
, b)
, c) cos sen sen cos
, d) cos sen sen cos
- Bernardelli describe la matriz de proyección poblacional para una especie de escarabajo que vive sólo tres meses y que se reproduce únicamente en el tercer mes de vida. Por cada hembra de dos meses de edad observó que nacían, por término medio, seis nuevas hembras vivas, y estimó las probabilidades de supervivencia de las clases: p 0 (^) 1/ 2 y p 1 1/ 3. a) Si la población inicial es de 3000 hembras distribuidas en cantidades iguales en los tres grupos de edad, determinar la distribución de los individuos al cabo de un mes, de dos meses y de tres meses.
b) Ídem si se parte sólo de 180 hembras de dos meses.
- ¿Son linealmente independientes los vectores de 3 :
1 2 5 0 , 3 , 3 1 1 0
^ ^ ^
v w z?
- Demostrar, sin desarrollar, que el determinante:
a b c b a c c a b
es cero.
- Calcular el determinante:
- ¿Es cierto que 2 2 2
a b c ( b a )( c a )( c b )? a b c
- ¿Es cierto que
2 2 2 2 3 3 3 3
a b c d b a c a d a c b d b d c a b c d a b c d
- Resolver la ecuación: 2
3
x x x
- Determinar A y B sabiendo que:
3 2 6 6 4 5 8 3 5 2 16 23 13 4
A B
A B
^
^
^
^
- Dadas las matrices
0 5 2 ; 4 4 1 y 1 1 0 1 3 0 1 2
A B C
^ ^ ^ ^
obtener la
matriz M ( A B ) C
- ¿Son iguales las matrices:
A B
^ ^ ^
- Calcular
^
^ ^ ^
- Explicar si son compatibles cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales y, en los casos que sea posible, dar las soluciones:
a)
x y z x y z x y z
^ ^ ^
b)
x y y z x z
^ ^
c)
x y z x y z y z
^ ^ ^
d)
x y z x y z x y z x y z
e)
x y z t x y z t x y z t
^ ^ ^ ^
116. a) Determinar los números 1 , 2 , 3 y 4 que verifican:
1 1 v 2 v 2 3 v 3 4 v 4 0 , siendo
v 1 (^) (0,1, 2,1), v 2 (^) ( 1,0,0, 1), v 3 (^) ( 1, 2, 4, 3) y v 4 (1,1,1,1) b) ¿Son linealmente dependientes estos cuatro vectores?
- Si
A
^
se pide:
a) Calcular los autovalores de A. b) Determinar los autoespacios correspondientes a los autovalores. c) ¿Se pueden encontrar tres autovectores linealmente independientes asociados a la matriz A? d) ¿A es una matriz diagonalizable? Si la matriz es diagonalizable dar una matriz diagonal semejante a A.
- En una ciudad de 10000 habitantes hay 100 personas con una enfermedad contagiosa, para la que no se conoce vacuna, los que se contagian no quedan inmunizados y se produce una epidemia. Un cuarto de los que están infectados siguen enfermos a la semana siguiente, mientras que el resto se cura. Además, la mitad de los que están sanos una semana se enferman a la semana siguiente. Calcular: a) ¿Cuántos enfermos habrá al cabo de una semana? b) ¿Cuántos al cabo de dos semanas? c) Dar el número de enfermos y de sanos al cabo de n semanas y su evolución a la larga.
- Un medicamento inyectado en vena pasa al hígado a una velocidad, expresada en mg/h, que es proporcional a los miligramos del medicamento presentes en cada instante en la sangre y con constante de proporcionalidad tres. En el hígado se metaboliza a una velocidad que es proporcional a los miligramos del medicamento presentes en cada instante en el hígado y con constante de proporcionalidad dos. Si en el instante inicial se inyecta en sangre 100 mg del medicamento, determinar la cantidad de medicamento presente en la sangre y en el hígado pasados 30 minutos.
- Dos cepas bacterianas A y B coexisten en un cultivo de forma que cada bacteria genera en su desarrollo una toxicidad que frena el desarrollo de la otra. En tales circunstancias se supone que sus poblaciones correspondientes x t ( ) e y t ( ) evolucionan siguiendo el siguiente sistema:
x t ay t y t x t
^ ^
en el que el factor a de toxicidad de la especie B sobre la A se desconoce. Diversos ensayos evidencian que cuando la población de la especie A es más del doble de la de la especie B, esta última especie se extingue, mientras que si es menor del doble, la que se termina extinguiendo es la especie A. a) Calcular los autovalores del sistema y los autoespacios correspondientes. b) En base a ellos y a las hipótesis anteriores, hallar el valor del factor de toxicidad a. c) Si un órgano se infecta por tales bacterias patógenas a largo plazo perecería. Razonar si es posible que se aniquilen mutuamente las dos poblaciones de bacterias, combatiéndose de esta forma la infección, si se parte de una proporción inicial, o provocada posteriormente desde el exterior. Justificar la respuesta.
- Calcular la solución general del sistema de ecuaciones diferenciales:
1 1 2 2
y t y t y t y t
^
- Calcular la solución general del sistema de ecuaciones diferenciales:
1 1 2 2
y t y t y t y t
^
- Calcular la solución general del sistema de ecuaciones diferenciales:
1 1 2 2
y t y t y t y t
^
- Calcular la solución general del sistema de ecuaciones diferenciales:
1 1 2 2
y t y t y t y t
^ ^
- Para el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales calcular: La SGH, una SPC, la SGC y la SPC para las condiciones iniciales dadas.
2 1 1 2 1 2 3 1 2 3 3 1 2 3
( ) 3 ( ) 3 ( ) con 0 101; 0 201; 0 100 ( ) 2 ( ) 2 ( )
y t y t e^ t y t y t y t y t y y y y t y t y t y t
136.Para el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales calcular: La SGH, una SPC, la SGC y la SPC para las condiciones iniciales dadas.
1 1 2 3 2 1 2 3 1 2 3 3 1 2 3
4 ( ) 7 ( ) 4 ( ) con 0 50; 0 150; 0 100 ( ) 3 ( ) 3 ( ) 3
t
t
y t y t y t y t e y t y t y t y t y y y y t y t y t y t e
137.Para el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales calcular: La SGH, una SPC, la SGC y la SPC para las condiciones iniciales dadas.
1 1 2 3 2 1 2 3 1 2 3 3 1 2
( ) ( ) ( ) con 0 99; 0 102; 0 99 ( ) ( )
y t y t y t y t e^ t y t y t y t y t y y y y t y t y t
- La evolución conjunta de tres poblaciones animales y 1 (^) ( ), t y 2 (^) ( ) e t y 3 ( ) t en el mismo hábitat viene descrita por el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales: 1 1 2 1 2 3 1 3
t t
y t y t e y t y t y t e y t y t y t
con las condiciones iniciales
Y
^
y el tiempo medido en años. Se pide: a) Calcular la solución particular del sistema completo para las condiciones iniciales dadas y escribir la función de efectivos de cada una de las tres especies cuyo crecimiento conjunto viene descrito por ese sistema de ecuaciones diferenciales. b) Analizar el comportamiento a la larga de las tres especies.
- La evolución conjunta de tres poblaciones animales y 1 (^) ( ), t y 2 (^) ( ) e t y 3 ( ) t en el mismo hábitat viene descrita por el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales: 1 1 2 3 2 1 2 3 3 3
t t t
y t y t y t y t e y t y t y t y t e y t y t e
con las condiciones iniciales
Y
^
y el tiempo medido en años. Se pide:
a) Calcular la solución general del sistema homogéneo. b) Dar una matriz fundamental para ese sistema homogéneo y explicar por qué es una matriz fundamental para dicho sistema. c) Determinar una solución particular del sistema completo. d) Dar la solución general del sistema completo. e) Calcular la solución particular del sistema completo para las condiciones iniciales dadas y escribir la función de efectivos de cada una de las tres especies cuyo crecimiento conjunto viene descrito por ese sistema de ecuaciones diferenciales. f) ¿Se extingue alguna de ellas a tiempo finito? Justificar la respuesta y en caso afirmativo calcular el número de efectivos de las tres especies en ese instante.
- En una región hay tres lagos comunicados por canales, que permiten que fluya el agua de uno a otro. Los volúmenes de los lagos son: 3 3 3 V 1 (^) 150 m , V 2 (^) 100 m , V 3 150 m. Se designa por Cij al caudal de agua que pasa del lago i al lago j en^ m^3 día y se
sabe que:
3 3 3 12 13 21 3 3 3 32 31 23
C m^ C m^ C m día día día C m^ C m^ C m día día día
Por lo tanto, el volumen de cada uno de los tres lagos en cada instante es constante porque el caudal que sale de cada uno de ellos a los otros dos es el mismo que el caudal que llega de los otros dos a él. Sólo en el lago 2 se vierte contaminante y a razón constante de 1 kg día. a) Con el objeto de estudiar la contaminación en cada instante producida por el vertido continuo en el lago 2, se pide plantear un modelo matemático que permita determinar la contaminación de los tres lagos en cada instante y resolverlo. Representar gráficamente las soluciones. b) Si el vertido contaminante cesa a los 10 días desde su inicio, calcular la contaminación de cada lago al finalizar el vertido. (De J.J. Moyano Fernández y F. Scrimieri Hernández)
