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4.- PROPIEDADES ALGEBRAICAS DE LOS
ESTIMADORES MCOESTIMADORES MCO
P1.-
X ' u 0 Regresores y residuos son ortogonales
P2.-
y' u 0 siendo
MCO
y X
P3.-
y' y y' y u´ u
P4.-
u' u y' y y' y y' y ' X ' X y' y ' X ' y
n
P5.- Si el modelo tiene término constante:
i
i 1
n n
u 0
n n
i i
i 1 i 1
y y
45
Demostraciones…..
P6.- Suma Total de CuadradosP6. Suma Total de Cuadrados
n
2
2
i
i 1
STC y' y ny y y 0
i 1
P7.- Suma Explicada de Cuadrados :
2
Puede ser negativa, pero en modelos con término constante:
2
SEC y' y ny
n
2
2
y y ; SEC y' y ny y y 0
i
i 1
y y ; SEC y y ny y y 0
P8.- Suma de Residuos Cuadrados (SRC)
n
2
i
i 1
SRC u' u u 0
P9.-
STC SEC SRC ( en modelos con término constante )
Ejemplos…..
P10.-
1
X
y X ( X ' X ) X ' y P y
La estimación MCO de y, es decir el vector , se
obtiene proyectando sobre todo el conjunto de todas las
X
y P y
y
p y j
combinaciones lineales de los regresores.
y
P11.-
1
X
u ( I X ( X ' X ) X ') y M y
P11.
n X
u ( I X ( X X ) X ) y M y
Los residuos son la proyección del vector
y
X
u M y
sobre el espacio ortogonal al anterior.
y
X
47
5.- PROPIEDADES ESTADÍSTICAS DE LOS
ESTIMADORES
ˆ
P1.- Error muestral:
1
MCO
ˆ
( X ' X ) X ' u
P2.- El estimador MCO es insesgado
ˆ
E X
MCO
E X
P3.- Matriz de varianzas-covarianzas
1
2
MCO
ˆ
Var( X ) X ' X
Demostraciones Demostraciones…..
6.- BONDAD DEL AJUSTE
6.2.- R
2
CENTRADO o coeficiente de determinación:
Si el modelo tiene término constante:
STC SEC SRC
n n n
2 2 2
i i í
i 1 i 1 i 1
( y y ) ( y y ) u
Luego:
51
6.- BONDAD DEL AJUSTE
Si el modelo no incluye término constante y aún así sey y
calcula el coeficiente de determinación, éste podrá ser
negativo.
2
6.3.- : coeficiente de determinación corregido
2
R
n 1
2 2
n 1
R 1 1 R
n k
6.- BONDAD DEL AJUSTE
EJEMPLO
53
7.7.- ERROR ESTÁNDAR DE LA REGRESIÓN ERROR ESTÁNDAR DE LA REGRESIÓN
La varianza del término de error es:
2
2
2
2
2
n
E uu´ X I
0 0 ... 0
2
7.7.- ERROR ESTÁNDAR DE LA REGRESIÓN ERROR ESTÁNDAR DE LA REGRESIÓN
EJEMPLO
