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ESPACIOS VECTORIALES REALES
Nociones previas
Antes de definir la estructura algebraica de espacio vectorial necesitamos conocer
otras estructuras algebraicas, el grupo y el cuerpo.
• Un grupo es una estructura algebraica formada por un conjunto G de elementos
y una operación interna y cerrada
(
)
+
que opera con los elementos del conjunto G y que
cumple las siguientes propiedades:
- Asociativa:
.,,,)()( Gcbacbacbacba
∈
∀
+
+
=
+
+
=
+
+
- Existencia en G de elemento neutro: .,00 Gaaaa
∈
∀
=
+
=
+
- Existencia del opuesto de cualquier elemento de G:
.0)(/)(,
=
−
+
∈
−
∃
∈
∀
aaGaGa
Si además la operación es conmutativa:
Gbaabba
∈
∀
+
=
+
,,
el grupo se denomina conmutativo o abeliano.
•
Un
cuerpo
es una estructura algebraica formada por un conjunto K de elementos
y dos operaciones internas y cerradas, suma
(
)
+
y producto interno
(
)
⋅
que verifican:
(K,+) tiene estructura de grupo.
El producto interno verifica las siguientes propiedades:
- Asociativa: .,,),()( Kcbacbacbacba
∈
∀
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
- Distributiva respecto de la suma: .,,,)( Kcbacabacba
∈
∀
⋅
+
⋅
=
+
⋅
- Existencia en K de elemento neutro: .,11 Kaaaa
∈
∀
=
⋅
=
⋅
- Existencia del inverso de cualquier elemento de K distinto del neutro de la suma:
.1/,)0(
111
=⋅=⋅∈∃≠∈∀
−−−
aaaaKaaKa
